國立臺南第一高級中學115學年度第1次教師甄選初試
一、填充題:12題【說明】：1-8題每題6分，9-12 題每題8分，共80分。
解答:
$$圓\Gamma: x^2+y^2=25 \Rightarrow \sqrt{6x+8y+50}+\sqrt{-6x+8y+50} \\=\sqrt{6x+8y+x^2 +y^2+ 25}+\sqrt{-6x+8y+x^2 +y^2+ 25} \\ =\sqrt{(x+3)^2+(y+4)^2} +\sqrt{(x-3)^2+(y+4)^2} = \overline{PA}+\overline{PB},其中\cases{P(x,y) \in\Gamma \\ A(-3,-4)\in\Gamma\\ B(3,-4) \in\Gamma} \\ 因此最大值發生在P等於\overline{AB}的中垂線與圓的交點上, 即P=(0,5) \Rightarrow \overline{PA}+\overline{PB} = \bbox[red, 2pt]{6\sqrt{10}}$$
解答:$$D是\overline{BC}的中點\Rightarrow \overrightarrow{AD}={1\over 2}\overrightarrow{AB}+ {1\over 2}\overrightarrow{AC} \Rightarrow \overrightarrow{AP} ={3\over 5} \left( {1\over 2}\overrightarrow{AB}+ {1\over 2} \overrightarrow{AC} \right) ={3\over 10}\overrightarrow{AB}+ {3\over 10} \overrightarrow{AC} \\ 已知\cases{ \overrightarrow{AM} =\alpha \overrightarrow{AB} \\\overrightarrow{AN} =\beta \overrightarrow{AC}} \Rightarrow \cases{\overrightarrow{AB} =\overrightarrow{AM}/ \alpha\\ \overrightarrow{AC} =\overrightarrow{AN} /\beta} \Rightarrow \overrightarrow{AP} ={3\over 10}{\overrightarrow{AM} \over \alpha}+ {3\over 10}{\overrightarrow{AN}\over \beta} ={3\over 10\alpha} \overrightarrow{AM} +{3\over 10\beta} \overrightarrow{AN} \\ M,P,N三點共線 \Rightarrow {3\over 10\alpha}+{3\over 10\beta}=1 \Rightarrow {1\over \alpha}+{1\over \beta}={10\over 3} \\ 在{1\over \alpha}+{1\over \beta}={10\over 3}的條件下求{1\over \alpha^2}+{4\over \beta^2}的最小值，可用\text{ Lagrange Multiplier} 計算\\ 求得\cases{\alpha=3/8\\ \beta=3/2}有極值，但\beta ={3\over 2} \not \le 1,因此極值發生在端點上,即\cases{\beta=1 \\\alpha=3/7} \\ \Rightarrow {1\over \alpha^2}+{4\over \beta^2}={49\over 9}+4=\bbox[red, 2pt]{85\over 9}$$
解答:$$MM^T = \begin{bmatrix}x_1&y_1 &z_1\\ x_2 &y_2& z_2 \\ x_3 & y_3& z_3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1& x_2& x_3 \\ y_1& y_2& y_3\\ z_1& z_2 &z_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1& 0& 0\\ 0& 1&0\\ 0&0& 5 \end{bmatrix} \Rightarrow \cases{|\vec a|^2=1\\ |\vec b|^2=1\\ |\vec c|^2=5 \\ \vec a\cdot \vec b= \vec a\cdot \vec c= \vec a\cdot \vec b=0} \\ \Rightarrow |3\vec a-2\vec b-2\vec c|^2 =(3\vec a-2\vec b-2\vec c) \cdot (3\vec a-2\vec b-2\vec c) =9|\vec a|^2+ 4\vec b|^2+4|\vec c|^2=9+4+20=33\\ \Rightarrow |3\vec a-2\vec b-2\vec c| =\sqrt{33}$$
解答:
$$假設\cases{\overline{AB}=3\\\overline{AC} =\overline{AD} =\overline{BC}= \overline{BD} =\overline{CD}=2} \Rightarrow \triangle ACD與\triangle BCD都是邊長2的正\triangle \\ 並令\cases{N=\overline{AB}中點\\ M=\overline{CD}中點} \Rightarrow \cases{\overline{AM} 為\triangle ACD的高\Rightarrow \overline{AM} =\sqrt 3\\ \overline{BM} 為\triangle BCD的高\Rightarrow \overline{BM} =\sqrt 3} \Rightarrow 等腰\triangle ABM的高\overline{MN}= {\sqrt 3\over 2} \\ 假設\cases{N(0,0,0)\\ \overleftrightarrow{AB}為x軸 \\ \overleftrightarrow{MN} 為z軸} \Rightarrow \cases{A(-3/2,0,0) \\B(3/2,0,0) \\M(0,0,\sqrt 3/2) \\C(0,1,\sqrt 3/2) \\D(0, -1,\sqrt 3/2)} \Rightarrow \cases{外接球心O(0,0,a) \\ 球半徑r} \Rightarrow \cases{\overline{OA}^2=a^2+9/4\\ \overline{OC}^2=a^2-\sqrt 3a+7/4} \\ \Rightarrow \overline{OA}^2 =\overline{OC}^2 \Rightarrow a=-{1\over 2\sqrt 3} \Rightarrow r^2={7\over 3} \Rightarrow r= \bbox[red, 2pt]{\sqrt{21}\over 3}$$
解答:
$$\Gamma: {x^2\over 12}+{y^2\over 3}=1 \Rightarrow \cases{a=\sqrt{12}=2\sqrt 3\\ b=\sqrt 3} \\ 外切矩形由兩組平行線所組成，假設第一組平行線的斜率為k,則兩條平線方程式為\\ y=kx \pm \sqrt{a^2k^2+b^2} \Rightarrow 兩平行線距離d_1={2\sqrt{a^2k^2+b^2} \over \sqrt{1+k^2}}\\ 矩形另一組平行線斜率為-{1\over k}, 同理可得d_2={2\sqrt{a^2+b^2k^2} \over \sqrt{1+k^2}} \\將k=\tan \theta 代入可得\cases{d_1= 2\sqrt{a^2\cos^2 \theta+b^2\sin^2\theta} \\d_2=2\sqrt{a^2\sin^2 \theta+b^2\cos ^2\theta}}\\ \Rightarrow 面積= d_1\cdot d_2= 4\sqrt{ a^2b^2+{(a^2-b^2)^2 \over 4}\sin^2(2\theta)} \\\Rightarrow \cases{M=4\sqrt{ a^2b^2+{(a^2-b^2)^2 \over 4} }=2(a^2+b^2)=30\\ m=4\sqrt{ a^2b^2 }= 4ab=24} \Rightarrow (M,m)= \bbox[red, 2pt]{(30,24)}$$
解答:$$黑球只會越來越少，因此先求黑球數的期望值，再計算白球數的期望值\\ 假設第n次操作後，袋中黑球數量的期望值為E(B_n)\\ 在第n+1次操作時，每顆球被抽中的機率皆為{2\over 10}={1\over 5}，也就是{4\over 5}的黑球被留下 \\因此E(B_n)={4\over 5}E(B_{n-1}) \Rightarrow E(B_{4} )=E(B_0)\cdot ({4\over 5})^4 =10\cdot ({4\over 5})^4={512\over 125} \\ \Rightarrow 白球的期望值=10-{512\over 125}= \bbox[red, 2pt]{738\over 125}$$
解答:$$假設\cases{a_n: 第n位數為1的情況數量\\ b_n: 第n位數為4的情況數量\\ c_n: 第n位數為(2,3,5,6)的情況數量 } \Rightarrow 計算「1與4不相鄰」的數量 \\ n=1 \Rightarrow \cases{a_1=1\\ b_1=1\\ c_1=4} \Rightarrow 合計6\\ n=2 \Rightarrow \cases{a_2=a_1+c_1=5\\b_2=b_1+c_1 =5\\ c_2= 4(a_1+b_1 +c_1)=24} \Rightarrow 合計34\\ n=3 \Rightarrow \cases{a_3=a_2+c_2=29\\ b_3=b_2+c_2=29\\ c_3= 4(a_2+b_2+c_2)=136} \Rightarrow 合計194\\ n=4 \Rightarrow \cases{a_4=a_3+c_3=165\\b_4=b_3+c_3=165\\ c_4=4(a_3+b_3+ c_3)= 776} \Rightarrow 合計1106 \\n=5 \Rightarrow \cases{a_5=a_4+c_4= 941\\ b_5=b_4+c_4=941\\ c_5= 4(a_4+b_4+c_4) =4424} \Rightarrow 合計6306\\ 接著計算「相異數字少於三個」的數量\\ 1種數字: 11111,22222,\dots, 66666，共6種\\ 2種數字 \cases{不含1也不含4:180 \\ 含1或含4:240\\ 含1且含4:0} \Rightarrow 合計420 \\ \Rightarrow 「相異數字少於三個」共有6+420=426 \\ 符合條件的五位數有6306-426= \bbox[red, 2pt]{5880}$$
解答:
$$假設\cases{\vec a=\overrightarrow{OA} \\ \vec b=\overrightarrow{OB} \\ \vec c=\overrightarrow{OC}} \Rightarrow \cases{|\vec a|= \overline{OA}=16\\ |\vec b|=\overline{OB}=10 \\ \vec a-\vec c= \overrightarrow{CA} \\ \vec b-\vec c =\overrightarrow{CB}} \Rightarrow \cos \angle AOB =\cos 60^\circ ={1\over 2} ={16^2+10^2-\overline{AB}^2 \over 2\cdot 16\cdot 10} \\ \Rightarrow \overline{AB} =14 ,又 \overrightarrow{CA} 與\overrightarrow{CB} 的夾角為120度\Rightarrow \angle ACB=120度\\ 取\cases{O(0,0)\\ A(16,0) \\B(10\cos 60^\circ, 10\sin 60^\circ) =(5,5\sqrt 3)} 並假設\triangle ABC外接圓圓心K, 圓半徑R \\ \Rightarrow {\overline{AB} \over \sin \angle ACB}={14\over \sqrt 3/2} =2R \Rightarrow R={14\over \sqrt 3} \\ M=\overline{AB}中點 =({21\over 2},{5\sqrt 3\over 2}) \Rightarrow \overline{KM} =\sqrt{R^2-7^2} ={7\over \sqrt 3} \\ \overrightarrow{AB}=(-11,5\sqrt 3) \Rightarrow 垂直\overrightarrow{AB}的單位向量\vec u={1\over 14}(5\sqrt 3,11) \Rightarrow 圓心K=M \pm \overline{KM} \cdot \vec u \\欲求\overline{OC}的最小值，取K=M+ \overline{KM}\cdot \vec u=({21\over 2},{5\sqrt 3\over 2})+ {7\over \sqrt 3} \cdot {1\over 14}(5\sqrt 3,11) =(13,{13\over \sqrt 3}) \\ \Rightarrow 最小的\overline{OC}= \overline{OK}-R = \bbox[red, 2pt]{4\sqrt 3}$$
解答:$$a_{n+2} =2a_{n+1}-2a_n=2(2a_n-2a_{n-1})-2a_n =2a_n-4a_{n-1} \\ \Rightarrow a_{n+3}=2a_{n+2}-2a_{n+1}=2(2a_n-4a_{n-1})-2(2a_n-2a_{n-1} )=-4a_{n-1}\\ \Rightarrow a_{n+4} =2a_{n+3}- 2a_{n+2}=2(-4a_{n-1})-2(2a_n-4a_{n-1}) =-4a_n \\ \Rightarrow a_{n+4}=-4a_n \\S_4=a_1+a_2+a_3+a_4=a_1+a_2+(2a_2-2a_1)+(2a_2-4a_1)=5a_2-5a_1 \\ \Rightarrow \sum_{n=5}^8 a_n= -4a_1-4a_2-4a_3-4a_4=-4S_4 \Rightarrow \sum_{n=9}^{12}=(-4)^2 S_4 \\ \Rightarrow S_{20}=205=\sum_{n=1}^{20} =S_4-4S_4+16S_4-64S_4+256S_4= 205S_4 \Rightarrow S_4=1 \\ \Rightarrow S_{10}=29 =\sum_{n=1}^{10}a_n= S_4-4S_4+a_9+a_{10} =1-4+(-4)^2a_1+(-4)^2a_2 \\ \Rightarrow 16(a_1+a_2) =29+3 \Rightarrow a_1+a_2= \bbox[red, 2pt]2$$
解答:$$a^3+b^3+c^3 -3abc= (a+b+c)(a^2+ b^2+c^2 -ab-bc-ca) \\=(a+b+c)((a+b+ c)^2-3(ab+bc+ca)) =(-1)((-1)^2-3(ab+bc+ca)) \\ \Rightarrow a^3+b^3+c^3= 3abc+3(ab +bc+ca)-1 \cdots(1) \\又(a+1)(b+1)(c+1 ) =abc+ (ab+bc+ca)+(a+b+c)+1 =abc+ (ab+bc+ca) \\ \Rightarrow (a+1) (b+1) (c+1) =abc+ ab+bc+ca \cdots(2) \\ 將(1)及(2)代入 a^3+ b^3+c^3 +10(a+1) (b+1) (c+1)=2001 \\ \Rightarrow 3abc+ 3(ab+ bc+ca)+10(abc+ab+bc+ca)=2001 \\ \Rightarrow 13(abc+ab +bc+ca)-1=2001 \Rightarrow abc+ab+bc+ca=154 \\ \Rightarrow (a+1)(b+1)(c+1)=154= 2\times 7\times 11 \\ 由於a+b+c=-1 \Rightarrow \cases{a=-8\\ b=-3\\ c=10} 或\cases{a=-12\\ b=-2\\ c=13}\Rightarrow 2a-b+3c= \bbox[red, 2pt]{17}$$
二、計算題:3 題，每題 10 分，共 30 分。
解答:$$\textbf{(1) }y=f(x)=2x^3-6x^2+a \Rightarrow f'(x)=6x^2-12x \\ 假設切點P(t,2t^3-6t^2+a) \Rightarrow 切線斜率為f'(t)=6t^2-12t \\ \Rightarrow 切線方程式: y=f'(t)(x-t)+2t^3-6t^2+a=(6t^2-12t)(x-t) +2t^3-6t^2+a\\ 切線通過(0,3) \Rightarrow 3=(6t^2-12t)(-t)+ 2t^3-6t^2+a \\ \Rightarrow g(t)=4t^3-6t^2+3-a=0 有三相異實根 \Rightarrow g'(t)=12t^2-12t=0 \Rightarrow t=0,1 \\\Rightarrow g(0)g(1) \lt 0 \Rightarrow (3-a)(1-a)\lt 0 \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{1\lt a\lt 3}\\\textbf{(2) } a為整數 \Rightarrow a=2 \Rightarrow 4t^3-6t^2+3-a=0 \Rightarrow 4t^3-6t^2+1=0 \Rightarrow (2t-1)(2t^2-2t-1)=0 \\ \Rightarrow \cases{k=1/2 \Rightarrow k=6t^2-12t =-9/2\\ k=(1\pm \sqrt 3)/2 \Rightarrow k不是有理數} \Rightarrow 切線方程式: y=-{9\over 2}x+3 \\ \Rightarrow 欲求兩圖形\cases{y=-9x/2+3\\ y=2x^3-6x^2+2} 的交點\Rightarrow 2x^3-6x^2+2=-{9\over 2}x+3\\ \Rightarrow 4x^3-12x^2+9x-2 =(2x-1)^2(x-2)=0 \Rightarrow x={1\over 2},2 \\ \Rightarrow 面積= \int_{1/2}^2 \left[ \left( -{9\over 2}x+3 \right)-(2x^3-6x^2+2)\right] \,dx = \bbox[red, 2pt]{27\over 32}$$
解答:$$|z|=1 \Rightarrow z=\cos \theta+ i\sin\theta \Rightarrow (\cos \theta+i\sin \theta)^4+\cos\theta+i\sin \theta=1\\ \Rightarrow (\cos 4\theta+ \cos \theta) +i(\sin 4\theta+ \sin \theta)=1 \Rightarrow \sin 4\theta+ \sin \theta= 2\sin {5\theta\over 2} \cos{3\theta\over 2} =0 \\ \textbf{Case I: }\cos {3\theta\over 2}=0 \Rightarrow \cos 4\theta+ \cos \theta= 2\cos{5\theta\over 2} \cos {3\theta\over 2}=0不合,實部不為0 \\ \textbf{Case II: }\sin{5\theta\over 2}=0 \Rightarrow \theta={2k\pi\over 5} \Rightarrow \cos 4\theta+ \cos \theta \ne 1, k\in Z \\ \Rightarrow 交點數為\bbox[red, 2pt]0$$
解題僅供參考，其他教甄試題及詳解
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