97年大學指考數學甲詳解

97學年度指定科目考試試題

數學甲

第壹部分：選擇題
一、單選題

1. 已 知 正 整 數 n 可 以 寫 成 兩 個 整 數 的 平 方 和。試 問 n 除 以 8 的 餘 數 不 可 能 為 以 下哪 一 選 項 ？
(1) 1 (2) 2 (3) 4 (4) 5 (5) 6


解：

$$n=\cases{0^2+1^2=1 \\ 1^2+1^2=2 \\ 0^2+2^2=4 \\ 1^2+2^2=5} \Rightarrow \cases{1 \text{ mod }8=1 \\2 \text{ mod }8=2 \\4 \text{ mod }8=4 \\5 \text{ mod }8=5 }，故選\bbox[red, 2pt]{(5)}$$

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2. 在 與 水 平 面 成 10° 的 東 西 向 山 坡 上 ， 鉛 直 （ 即 與 水 平 面 垂 直 ） 立 起 一 根 旗 竿 。當 陽 光 從 正 西 方 以 俯 角 60° 平 行 投 射 在 山 坡 上 時 ， 旗 竿 的 影 子 長 為 11 公 尺 ，如 下 圖 所 示 （ 其 中 箭 頭 表 示 陽 光 投 射 的 方 向 ， 而 粗 黑 線 段 表 示 旗 竿 的 影 子 ）。

試 問 旗 竿 的 長 度 最 接 近 以 下 哪 一 選 項 ？

(1) 19.1 公 尺 (2) 19.8 公 尺 (3) 20.7 公 尺 (4) 21.1 公 尺 (5) 21.7 公 尺

參 考 數 值 ：

sin10° ≈0.174   ， sin 20°≈ 0.342 °  ， cos10°≈ 0.985 °  ， cos20° ≈0.940 ° ≈ ， $\sqrt 3 \approx 1.732$ 。

解：

$$\overline{CD}= 11\cos 10^\circ \Rightarrow \cases{ \overline{AD}= \sqrt 3\overline{CD} = 11\sqrt 3 \cos 10^\circ \\ \overline{DB}= 11\sin 10^\circ}  \Rightarrow 旗竿長=\overline{AB} = \overline{AD}+ \overline{DB}\\ =11\sqrt 3 \cos 10^\circ +11\sin 10^\circ = 11\times 1.732 \times 0.985 + 11\times 0.174= 20.68，故選\bbox[red,2pt]{(3)}$$

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二、多選題

解： $$A=\begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \Rightarrow A^6= \begin{bmatrix} \cos 6\theta & -\sin 6\theta \\ \sin 6\theta & \cos 6\theta \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \Rightarrow 6\theta=180^\circ +360^\circ\times n, n\in Z \\ \Rightarrow \cases{n=0 \Rightarrow \theta=30^\circ \Rightarrow A=\begin{bmatrix} \cos 30^\circ & -\sin 30^\circ \\ \sin 30^\circ & \cos 30^\circ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sqrt 3/2 & -1/2 \\ 1/2 & \sqrt 3/2 \end{bmatrix} \\ n=1 \Rightarrow \theta=90^\circ \Rightarrow A=\begin{bmatrix} \cos 90^\circ & -\sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & \cos 90^\circ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \\ n=2 \Rightarrow \theta=150^\circ = 5\pi/6 \Rightarrow A=\begin{bmatrix} \cos 5\pi/6 & -\sin 5\pi/6 \\ \sin 5\pi/6 & \cos 5\pi/6 \end{bmatrix}}，故選\bbox[red,2pt]{(1,3,5)}$$

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4. 甲 、乙 、丙 三 人 參 加 一 投 擲 公 正 銅 板 的 遊 戲 ，每 一 局 三 人 各 擲 銅 板 1 次 ； 在 某局 中，當 有 一 人 投 擲 結 果 與 其 他 二 人 不 同 時，此 人 就 出 局 且 遊 戲 終止；否 則 就進 入 下 一 局，並 依 前 述 規 則 繼 續 進 行，直 到 有 人 出 局 為 止。試 問 下 列 哪 些 選 項是 正 確 的 ？
(1)第 一 局 甲 就 出 局 的 機 率 是 1/3
(2)第 一 局 就 有 人 出 局 的 機 率 是 1/2
(3)第 三 局 才 有 人 出 局 的 機 率 是 3/64
(4)已 知 到 第 十 局 才 有 人 出 局 ， 則 甲 出 局 的 機 率 是 1/3
(5)該 遊 戲 在 終 止 前 ， 至 少 玩 了 六 局 的 機 率 大 於1/1000

解： $$(1)\times: 甲出局的情況=(甲,乙,丙) =(正,反,反), (反,正,正)，共2種情況，機率為2/8=1/4\\ (2)\times: 第一局就有人出區= 甲出局或乙出局或丙出局，機率為3\times {1\over 4}= {3\over 4}\\(3)\bigcirc: 第三局才有人出局= 第一局無人出局且第二局無人出局且第三局有人出局\\ \qquad，機率為{1\over 4}\times {1\over 4} \times {3\over 4}= {3 \over 64}\\ (4) \bigcirc: 第十局有人出局，不是甲，就是乙或是丙，機率為1/3 \\ (5)\times: 至少玩六局代表前五局無人出局，機率最多為({1\over 4})^5 = 1/1024 <1/1000 \\，故選\bbox[red,2pt]{(3,4)}$$

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5. 某 人 進 行 一 實 驗 來 確 定 某 運 動 之 距 離 d 與 時 間 t 的 平 方 或 立 方 成 正 比，所 得 數據 如 下 ：

試 問 下 列 哪 些 選 項 是 正 確 的 ？
(1) 若 d =14.88 ， 則 $3< \log_2 d < 4$
(2) x 與 y 的 相 關 係 數 小 於 0.2
(3) 由 上 圖 可 以 觀 察 出 b > 2.5
(4) 由 上 圖 可 以 觀 察 出 a > 2
(5) 由 上 圖 可 以 確 定 此 運 動 之 距 離 與 時 間 的 立 方 約 略 成 正 比

解： $$(1)\bigcirc: 8 < d=14.88 < 16 \Rightarrow \log_2 8 < \log_2 d < \log_2 16 \Rightarrow 3< \log_2 d< 4\\ (2)\times: 由圖形可知，數據非常接近直線，即相關係數接近1，不可能小於0.2 \\(3) \times: 直線幾乎經過(-2, 0)及(0,4)，即斜率非常接近2，b不可能大於2.5 \\(4)\bigcirc: 直線幾乎經過(0, 4)，即a非常接近4，因此a>2 \\(5)  \times: y=a + bx \approx y=4+2x \Rightarrow \log_2 d = 4+2 \log_2 t = \log_2 (16t^2) \Rightarrow d=16t^2 \\ \qquad \Rightarrow 距離與時間的平方(不是立方)約略成正比\\故選\bbox[red,2pt]{(1,4)}$$

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解：
$$(1)\bigcirc: x^2-2x-n=0 \Rightarrow x=\cfrac{2\pm \sqrt {4+4n}}{2} = 1\pm \sqrt{n+1} \Rightarrow a_n= 1+\sqrt{n+1} >0, \forall n\in N\\ (2) \bigcirc: 兩根之和=2 \Rightarrow a_n+b_n = 2\\ (3)\times: \cases{b_n=1-\sqrt{n+1} \\ b_{n+1}=  1-\sqrt{n+2}} \Rightarrow b_{n+1}-b_n= \sqrt{n+1}-\sqrt{n+2} <0 \Rightarrow b_{n+1} < b_n \\ (4) \bigcirc: \lim_{n\to \infty} {a_na_{n+1} \over n} =  \lim_{n\to \infty} {(1+\sqrt{n+1})(1+\sqrt{n+2}) \over n} = \lim_{n\to \infty} {(1+\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2} +\sqrt{n^2+3n+2}) \over n} \\ \qquad = \lim_{n\to \infty} {(1/n+\sqrt{1/n+1/n^2}+\sqrt{1/n+2/n^2} +\sqrt{1+3/n+2/n^2}) \over 1} = 1 \\(5)\bigcirc: \lim_{n\to \infty} {a_n-b_n \over \sqrt n} =\lim_{n\to \infty} {2\sqrt{n+1} \over \sqrt n} =\lim_{n\to \infty} {2(\sqrt{1+1/n}) \over 1} = 2 \\\quad\quad\quad 故選\bbox[red,2pt]{(1,2,4,5)}$$

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7. 設 f '(x)  表 示 實 係 數 多 項 式 函 數 f (x)  的 導 函 數，已 知 y =f '(x) 的 圖 形 是 一 個 通 過點 (1 , 0) 和 點 (2 , 0) 且 開 口 向 上 的 拋 物 線 。 試 問 下 列 哪 些 選 項 是 正 確 的 ？
(1) f (x) 一 定 是 三 次 多 項 式
(2) f (x) 在 1  < x< 2 的 範 圍 內 必 為 遞 增
(3) f (x) 一 定 恰 有 兩 個 極 值
(4) f (x) =0 一 定 有 三 個 實 根
(5) f (x) =0 在 1  ≤  x ≤ 2 的 範 圍 內 一 定 有 實 根

解：
由題意知：x=1與x=2是f'(x)=0的兩個解，且f'(x)是開口向上的拋物線，因此f'(x)=a(x-1)(x-2)，其中a>0；
$$(1)\bigcirc: f'(x)為二次式 \Rightarrow f(x)為三次式\\ (2)\times: f(1)及f(2)均為極值，且a>0，因此f(1)為極大值，f(2)為極小值，則f(1)至f(2)之間為遞減；\\ (3)\bigcirc: 三次式最多有兩個極值，本例即為f(1)及f(2)\\ (4)\times: 若極小值f(2)>0，則f(x)=0只有一實根\\ (5)\times: 若f(1)>f(2)>0，則在1\le x\le 2的範圍內f(x)=0 沒有實根\\ 故選\bbox[red,2pt]{(1,3)}$$

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8. 在 坐 標 平 面 上 ， 設 拋 物 線 Γ 通 過 點 (8 , 4) ， 且 其 對 稱 軸 為 直 線 x −  2 = 0 。 試 問 下列 哪 些 選 項 是 正 確 的 ？

(1) 若 拋 物 線 Γ 的 頂 點 坐 標 為 (2 , 1) ， 則 其 焦 點 坐 標 必 為 (2 , 4)

(2) 若 拋 物 線 Γ 的 焦 點 坐 標 為 (2 , 12) ， 則 其 頂 點 坐 標 必 為 (2 , 3)

(3) 若 拋 物 線 Γ 也 通 過 點 (10 , 11) ， 則 其 準 線 方 程 式 必 為 y + 6 =0 

(4) 直 線 x −  2 =0 上 每 個 點 都 可 能 是 拋 物 線 Γ 的 頂 點

(5) 直 線 x −  2= 0 上 每 個 點 都 可 能 是 拋 物 線 Γ 的 焦 點

解： $$x=2為對稱軸\Rightarrow \Gamma: (x-2)^2=4c(y-k),其中(2,k)為頂點坐標\\, 又\Gamma 經過(8,4) \Rightarrow (8-2)^2=4c(4-k) \Rightarrow 9=c(4-k)\cdots (1)\\ (1) \bigcirc: 若頂點為(2,1) \Rightarrow k=1 \Rightarrow 9=c(4-1) \Rightarrow c=3 \Rightarrow 焦點坐標為(2,1\pm 3)=(2,-2)或(2,4)\\\qquad 由於頂點(2,1)比(8,4)低，所以\Gamma為凹向上\Rightarrow 焦點為(2,4) \\(2)\times: 若焦點為(2,12) \Rightarrow k+c=12 代入式(1) \Rightarrow 9=(12-k)(4-k) \Rightarrow k^2-16k+39=0 \\\qquad (k-13)(k-3)=0 \Rightarrow k=3或13;由於焦點(2,12)比(8,4)高，所以\Gamma為凹向下\Rightarrow 頂點為(2,13) \\(3) \bigcirc: (10,11)代入\Gamma \Rightarrow (10-2)^2=4c(11-k) \Rightarrow 16=c(11-k)\cdots (2)\\ \qquad,由式(2)及(2) \Rightarrow \cases{ 9=c(4-k) \\ 16=c(11-k)} \Rightarrow \cases{k=-5 \\ c=1} \Rightarrow 準線為 y=k\pm c =-5\pm 1, \\ \qquad 由於\Gamma 經過(8,4)及(10,11),因此圖形為凹向上\Rightarrow y=-5-1=-6 \Rightarrow y+6=0為準線 \\(4)\times: (2,4)為頂點，又經過(8,4)，代表\Gamma 有兩個極值點(極值為y=4)，矛盾! \\(5)\bigcirc: \cases{焦點F=(2,m) \\ P=(8,4)} \Rightarrow \overline{PF}= \sqrt{(8-2)^2 +(m-4)^2} =\sqrt{36+(m-4)^2} \ge 6\\ \qquad \Rightarrow 無論m值，可以找到準線L，使得\overline{PF}=d(P,L)\\，故選\bbox[red,2pt]{(1,3,5)}$$

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三、選填題

A.  用 大 小 一 樣 的 鋼 珠 可 以 排 成 正 三 角 形、正 方 形 與 正 五 邊 形 陣 列，其 排 列 的 規 律如 下 圖 所 示 ：

已 知 m 個 鋼 珠 恰 好 可 以 排 成 每 邊 n 個 鋼 珠 的 正 三 角 形 陣 列 與 正 方 形 陣 列 各 一個 ； 且 知 若 用 這 m 個 鋼 珠 去 排 成 每 邊 n 個 鋼 珠 的 正 五 邊 形 陣 列 時 ， 就 會 多 出9個 鋼 珠 。 則 n = ？ ， m =？

解：

$$令k為每邊鋼珠數 \Rightarrow \begin{cases} 正三角形鋼珠數a_k= \begin{cases}1 & k=1 \\ a_{k-1} +k & k \ge 2 \end{cases}= \cfrac{k(k+1)}{2},k\ge 1 \\ 正方形鋼珠數b_k =\begin{cases} 1 & k=1 \\ b_{k-1}+2k-1 & k\ge 2 \end{cases} = k^2,k\ge 1 \\ 正五邊形鋼珠數c_k =\begin{cases} 1 & k=1 \\ c_{k-1}+3k-2 & k\ge 2 \end{cases} =\cfrac{k(3k-1)}{2},k\ge 1\end{cases}\\ 依題意m=\cases{ a_n+b_n \\ c_n-9} \Rightarrow \cfrac{n(n+1)}{2} + n^2 = \cfrac{n(3n-1)}{2}+9 \Rightarrow n=9 \Rightarrow m=\cfrac{9(27-1)}{2}+9=126\\ \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{\cases{n=9 \\ m=126}}$$

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B. 若 空 間 中 一 球 面 S 與 兩 平 面 z = 4 及 z = 8 相 交 的 圓 面 積 皆 為 36π ， 則 S 與 平 面z = 7 相 交 的 圓 面 積 為 ？ π 。

解：

$$由兩平面與球相交的面積相等可知：球心O在平面z=6上，見上圖；\\ 相交圓面積36\pi = r_1^2\pi \Rightarrow r_1= 6 \Rightarrow r^2 = r_1^2 + \overline{OO_1}^2 = 36+ (6-4)^2 =40 \Rightarrow r=2\sqrt{10}\\ 同理, r^2= \overline{OO_3}^2 +r_3^2 \Rightarrow 40=1+ r_3^2 \Rightarrow r_3^2=39 \Rightarrow z=7與球相交圓面積為r_3^2\pi = \bbox[red,2pt]{39}\pi$$

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第貳部份：非選擇題

一、 (12 分 ) 設 p(x) 為 三 次 實 係 數 多 項 式 函 數，其 圖 形 通 過 (1, 3) , ( −1, 5)  兩 點。若 p(x)的 圖 形 在 點 (1, 3) 的 切 線 斜 率 為 7，而 在 點 ( 1, 5) − 的 切 線 斜 率 為 − 5，試 求 p( x)  。

解： $$令p(x)= ax^3+bx^2+cx+d \Rightarrow p'(x)=3ax^2 +2bx+c\\由題意知\cases{p(1)=3\\ p(-1)=5 \\ p'(1)=7\\ p'(-1)=-5} \Rightarrow \cases{a+b+c +d =3\cdots(1) \\ -a+b-c+d =5 \cdots(2) \\ 3a+2b+c =7\cdots(3) \\ 3a-2b+c=-5\cdots(4) } \Rightarrow (1)-(2),(3)+(4) \Rightarrow \cases{a+c=-1 \\ 3a+c=1} \\\Rightarrow \cases{a=1 \\ c=-2}代入(3) \Rightarrow 2b=6 \Rightarrow b=3, 代入(1) \Rightarrow 1+3-2+d=3 \Rightarrow d=1 \\ \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{p(x)=x^3+3x^2-2x+1}$$

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二、設 ∆ABC 的 三 高 分 別 為 $\overline{AD} = 6 、 \overline{BE} = 4 、 \overline{CF} = 3$ 。

(1) (6 分 ) 試 證 ： ∆ABC 是 一 鈍 角 三 角 形 。

(2) (8 分 ) 試 求 ∆ABC 的 面 積 。

解：

$$(1)\\令\cases{\overline{BC}=a  \\ \overline{AC}= b \\\overline{AB}=c } \Rightarrow \triangle ABC面積= 6a\div 2= 4b\div 2 = 3c \div 2 \Rightarrow a:b:c = 2:3:4\\ 因此令\cases{a=2k \\b = 3k \\ c=4k},k\in R \Rightarrow \cos \angle C = {4k^2+9k^2-16k^2 \over 12k^2} < 0 \Rightarrow \angle C>90^\circ \\ \Rightarrow \triangle ABC為鈍角三角形,故得證。\\(2)\\\cos \angle A = {9k^2+16k^2-4k^2 \over 24k^2} = {7\over 8} \Rightarrow \sin \angle A= {\sqrt{15} \over 8} = {\overline{CF} \over \overline{AC}} ={3 \over 3k} \Rightarrow {8 \over \sqrt{15}} \\\Rightarrow \triangle ABC面積= \overline{AB} \times \overline{CF}\div 2 = 4k \times 3 \div 2= 4\cdot {8\over \sqrt{15}} \times 3\div 2 = \bbox[red, 2pt]{16\sqrt{15} \over 5}$$

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-- END   (僅供參考)  --