96年大學指考數學乙詳解

96學年度指定科目考試試題

數學乙

第壹部分：選擇題
一、單選題

1. 科 學 家 測 得 南 極 上 空 臭 氧 層 的 破 洞 面 積 大 約 是 2300萬 平 方 公 里 ， 約 相 當 於 北美 洲 的 面 積 。 根 據 上 述 數 據 ， 估 計 地 球 的 表 面 積 ， 請 選 出 最 接 近 地 球 表 面 積的 選 項 ：

解：

$$北美洲面積占地球表面積的4.8\% \Rightarrow  地球表面積= 北美洲面積\times \cfrac{100}{4.8} \\ = 2300\times 10000\times \cfrac{100}{4.8} =2.3\times 10^7 \times \cfrac{100}{4.8} \approx 4.8 \times 10^8，故選\bbox[red, 2pt]{(3)}$$

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2. 某 地 區 12 歲 以 上 人 口 中 吸 煙 的 比 率 為 28% 。 今 將 12 歲 以 上 人 口 區 分 為 中 老年 、 青 壯 年 及 青 少 年 三 類 ， 所 佔 比 率 各 為 30%、 45%及 25%。 已 知 中 老 年 與 青壯 年 人 口 中 吸 煙 的 比 率 各 為 25%與 30%， 請 問 青 少 年 人 口 中 吸 煙 的 比 率 為 多少 ？ 選 出 正 確 的 選 項 ：

(1) 24% (2) 28% (3) 32% (4) 36% (5) 40%

解：

$$28\% = 30\%\times 25\% + 45\%\times 30\% + 25\%\times a \Rightarrow 0.28 = 0.075 + 0.135+0.25a \\ \Rightarrow 0.07=0.25a \Rightarrow a= \cfrac{0.07}{0.25} = 0.28 = 28\%，故選\bbox[red,2pt]{(2)}$$

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 3. 中 國 古 代 流 傳 的 一 本 數 學 書 中 有 下 面 這 段 文 字 ：（ 標 點 符 號 為 現 代 人 所 加 ）今 有 多 數 21， 少 數 15， 問 等 數 幾 何 ？ 草 曰 ： 置 21於 上 ， 15於 下 ， 以 下 15除 去上 21， 上 餘 6； 又 以 上 6除 去 下 15， 下 餘 3； 又 以 下 3除 去 上 6， 適 盡 。 則 下 3為等 數 合 問 。
在 上 文 中 「 等 數 」 指 的 是 ：
(1) 兩 數 之 和 (2) 兩 數 之 差 (3) 兩 數 之 積
(4) 兩 數 之 商 (5) 兩 數 之 最 大 公 因 數

解： $$該文字所描述的過程即為輾轉相除法，所得即是最大公因數，故選\bbox[red,2pt]{(5)}$$

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二、多選題
4. 假 設 地 面 是 一 個 可 以 無 限 延 伸 的 平 面 ， 如 果 採 用 形 狀 大 小 一 致 的 大 理 石 地 磚鋪 在 地 面 上 ， 並 且 要 求 鋪 設 時 地 磚 之 間 緊 密 連 接 不 留 空 隙 ， 試 問 可 以 採 用 哪一 種 形 狀 的 地 磚 ？ 請 選 出 正 確 的 選 項 ：
(1) 正 三 角 形
(2) 正 方 形
(3) 圓 形
(4) 正 五 邊 形
(5) 正 六 邊 形

解： $$(1)\bigcirc: 正三角形每個內角為60度，六個正三角形可緊密相連\\ (2)\bigcirc: 正方形每個內角為90度，四個正方形可緊密相連 \\(3) \times: 圓形無法緊密相連 \\(4) \times: 正五邊形每個內角為108度，無法湊成360度 \\(5) \bigcirc: 正六邊形每個內角為120度，三個正三角形可緊密相連\\，故選\bbox[red,2pt]{(1,2,5)}$$

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5. 下 面 每 一 個 選 項 都 是 以 行 列 式 表 達 坐 標 平 面 上 的 方 程 式 ， 請 問 哪 些 選 項 代 表橢 圓 ？

解： $$(1) \times:\begin{vmatrix} x & y & x\\ 1 & 2 & 1\\ 3 & 1 & 1\end{vmatrix} =0 \Rightarrow -4x+2y=0 \Rightarrow 直線 \\ (2) \bigcirc:\begin{vmatrix} x^2 & 2y^2 & x\\ 1 & 2 & 1\\ 3 & 1 & 1\end{vmatrix} =0 \Rightarrow x^2-5x+4y^2=0 \Rightarrow (x+{5\over 2})^2+4y^2= {25\over 4} \Rightarrow 橢圓\\ (3)\bigcirc: \begin{vmatrix} x^2 & y^2 & 2x\\ 1 & 2 & 1\\ 3 & 1 & 1\end{vmatrix} =0 \Rightarrow x^2+2y^2-10x=0 \Rightarrow (x-5)^2+2y^2 = 25 \Rightarrow 橢圓 \\(4)\times:\begin{vmatrix} x^2+y^2 & y & x^2\\ 1 & 2 & 1\\ 3 & 1 & 1\end{vmatrix} =0 \Rightarrow -4x^2+y^2+ 2y=0 \Rightarrow -4x^2+(y+1)^2=1 \Rightarrow 雙曲線  \\(5)\times:\begin{vmatrix} x^2-y^2 & y & x\\ 1 & 2 & 1\\ 3 & 1 & 1\end{vmatrix} =0 \Rightarrow x^2-y^2-5x+2y=0 \Rightarrow (x-{5\over 2})^2 -(y-1)^2={21 \over 4}\Rightarrow 雙曲線\\故選\bbox[red,2pt]{(2,3)}$$

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解：
$$(1) \bigcirc: x^2+kx+1=0 之兩根之積為1 \Rightarrow 一根為c,則另一根為{1\over c} \\(2) \bigcirc: 兩根為共軛複數，即一根為c= {a\over 3}+{b \sqrt 2\over 3}i，另一根為{1\over c} = {a\over 3}-{b \sqrt 2\over 3}i \\ (3)\times: x^2+kx+1=0 之兩根之和為-k \Rightarrow c+{1\over c}=-k\\ (4) \times: 兩根之和為-k = c+{1 \over c}= {2a\over 3} 不一定是整數(除非a是3的倍數) \\(5) \bigcirc: 兩根之積為1=({a\over 3}+{b \sqrt 2\over 3}i)({a\over 3}-{b \sqrt 2\over 3}i) \Rightarrow {a^2+2b \over 9}=1 \Rightarrow a^2+2b=9;\\ \qquad由於9為奇數且2b為偶數，因此a^2是奇數，即a為奇數\\ 故選\bbox[red,2pt]{(1,2,5)}$$

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解：
$$(1) \times: x= {\pi \over 3} \Rightarrow \cos 2x =\cos {2\pi \over 3} = -{1\over 2}< 0\\ (2) \bigcirc: 0< x< {\pi \over 2} \Rightarrow 0 < 2x < \pi \Rightarrow 0< \sin 2x \le 1 \Rightarrow \sin 2x >0 \\ (3) \times: x=0 \Rightarrow \cos^x - \sin^2x =1-0=1 > {1\over 2} \\ (4) \bigcirc: \sin x\cos x = {1\over 2}\sin 2x \Rightarrow -{1\over 2} \le  \sin x \cos x  \le {1\over 2}\\ (5) \bigcirc: \sin x+\cos x =\sqrt 2({1\over \sqrt 2}\sin x + {1\over \sqrt 2}\cos x) =\sqrt 2(\cos {\pi\over 4} \sin x +\cos x\sin {\pi \over 4}) \\ \qquad =\sqrt 2\sin(x+{\pi \over 4}) \le \sqrt 2 \Rightarrow \sin x+\cos x \le \sqrt 2 < {3\over 2}\\ 故選\bbox[red,2pt]{(2,4,5)}$$

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三、選填題
A. 某 棒 球 比 賽 有 實 力 完 全 相 當 的 甲 乙 丙 丁 四 隊 參 加 ， 先 將 四 隊 隨 機 抽 籤 分 成 兩組 比 賽 ， 兩 組 的 勝 隊 再 參 加 冠 亞 軍 決 賽 。 如 下 圖 ：

根 據 過 去 的 紀 錄，所 有 隊 伍 比 賽 時 各 隊 獲 勝 的 機 率 均 為 0.5。則 冠 亞 軍 決 賽 由甲 、 乙 兩 隊 對 戰 的 機 率 為？（ 四 捨 五 入 到 小 數 三 位 ）。

解：

$$甲乙都在第一組: 甲乙丙丁,甲乙丁丙, 乙甲丙丁, 乙甲丁丙，共4種情形;\\同理，甲乙都在第二組也有4種情形;\\因此甲乙不在同一組有4!-4-4=16種情形，機率為{16\over 4!}= {2\over 3};\\甲乙決賽對戰的機率為甲乙不同組且甲乙第一場都贏，機率為{2\over 3}\times {1\over 2}\times {1\over 2}= {1\over 6} = \bbox[red, 2pt]{0.167}$$

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B. 平 面 上 坐 標 皆 為 整 數 的 點 稱 為 格 子 點 。 我 們 將 原 點 以 外 的 格 子 點 分 層 ， 方 法如 下：若 (a , b )  是 原 點 (0,0) 以 外 的 格 子 點，且 |a| 和 |b| 中 最 大 值 為 n，則 稱 (a , b ) 是在 第 n 層 的 格 子 點 （ 例 如 (3, -4)  是 在 第 4 層 ； (8, -8)  是 在 第 8 層 ） 。 則 在 第 15層 的 格 子 點 個 數 為？

解：

$$第15層為一正方形，其四個頂點為(15,15)，(15,-15)，(-15,-15)，(-15,15)；\\因此格子點數為30\times 4 = \bbox[red, 2pt]{120}$$

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C. 如圖

A城 到 B城 之 間 有 甲 、 乙 、 丙 、 丁 、 戊 五 城 ， 其 間 連 結 的 道 路 如 圖 所 示 。 今 從A城 出 發 走 向 B城，要 求 每 條 道 路 都 要 經 過 並 且 只 經 過 一 次，則 總 共 有 ？ 種走 法 。

解：

$$甲丙之間有三條路，分別以x(甲乙丙)、y(甲丙)、z(甲丁戊)表示，\\每條路都要走過一次，相當於xyz排列數，共有3!=6種走法，因此有\bbox[red, 2pt]{6}種走法$$

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第貳部份：非選擇題

一、某別墅有一個由 四 塊正方形的玻璃拼成的田字形窗戶，窗外路燈的光線(假設路燈是 一個點光源)透過窗戶在地板上形成一個變形的田字形光影。在地板上建置一個直角坐標 系，發現田字形光影外框的四個頂點的坐標分別為(-4,40)， (16,0)，(16,40)和 (28,16) 。 求 田字形窗戶的中心投影在地板上的坐標 。（ 13 分 ）。 

解：

$$令\cases{A(-4,40)\\ B(16,0) \\ C(16,40) \\ D(28,16)},此題相當於求\overline{AD}與\overline{BC}的交點P(m,n),如上圖;\\由於\overline{BC}為一垂直線，即x=16 \Rightarrow m=16,又{\overline{AP} \over \overline{PD}}= {16-(-4) \over 28-16} = {20\over 12} ={5 \over 3} \\ \Rightarrow n= {5\times 16+ 3\times 40 \over 5+3} = {200\over 8} =25 \Rightarrow P\bbox[red, 2pt]{(16,25)}$$

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二、設 r , s 為 整 數 ， 已 知 整 係 數 多 項 式 $x^3+rx+s$ 的 因 式 分 解是$x^3+rx+s =(x+a)^2(x+b)$，其 中 a , b 為 相 異 實 數，求 證 a , b 都 是 有 理 數。 

解：

$$x^3+rx+s =(x+a)^2(x+b)= (x^2+2ax+a^2)(x+b) =x^3+ (2a+b)x^2+ (2ab+a^2)x+a^2b\\ \Rightarrow \cases{2a+b=0 \\ 2ab+a^2=r \\ a^2b=s} \Rightarrow \cases{b=-2a \\ -3a^2=r \\ -2a^3=s} \Rightarrow \cases{r=0 \Rightarrow a=b=0(不合,a,b需相異) \\ r\ne 0 \Rightarrow {-3a^2 \over -2a^3} ={r\over s} \Rightarrow {r\over s}={3\over 2a} \Rightarrow a={3s\over 2r}\Rightarrow b= -{3s\over r}}\\ 由於r,s均為整數，所以a,b均為有理數,故得證！$$

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-- END   (僅供參考)  --