97年大學指考數學乙詳解

97學年度指定科目考試試題

數學乙

第壹部分：選擇題
一、單選題

1. 根據一百多年來的氣象紀錄，美國費城年雨量平均值為41.0英吋，標準差為6.1英吋。今欲將此項統計資料的單位由英制換為公制，請問該城市一百多年來年雨量的標準差最接近下列的哪一個選項？（註：1英吋等於25.4毫米。）

(1) 0.240毫米
(2) 1.61毫米
(3) 6.10毫米
(4) 155毫米
(5) 1041毫米
解：

$$令\cases{Y代表毫米 \\ X代表英吋} \Rightarrow Y=25.4X \Rightarrow \sigma(Y)= 2.54\times \sigma(X) =25.4 \times 6.1=154.94 ，故選\bbox[red, 2pt]{(4)}$$

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解：

$$令\cases{\vec a= \overrightarrow{AB} \\ \vec b= \overrightarrow{AC} \\ D為\overline{AB}的中點 \\ E為\overline{AC}的中點} \Rightarrow \cases{\overrightarrow{BC} = \vec b-\vec a \\ \overrightarrow{AD} ={1\over 2} \vec a \\ \overrightarrow{AE} ={1\over 2} \vec b } \Rightarrow \overrightarrow{DE} = {1\over 2} \vec b -{1\over 2} \vec a ={1\over 2} \overrightarrow{BC} \Rightarrow {1\over 2} \vec b -{1\over 2} \vec a={1\over 2}(\vec b-\vec a )\\，故選\bbox[red,2pt]{(2)}$$

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 3. 解下列聯立方程式時， $$\cases{x+2y=3 \\ 4x-5y=-1}$$ 將相關的係數與常數以矩陣A表達如下： $$\begin{pmatrix} 1& 2& 3\\ 4& -5& -1\end{pmatrix}$$ 對矩陣A進行高斯消去法的一個步驟：第一列不改變，並將第二列減去第一列的四倍成為新的第二列。
試問下列哪一個選項中的矩陣乘積代表對A進行上述步驟？

解： $$A=\begin{pmatrix} 1& 2& 3\\ 4& -5& -1\end{pmatrix} \xrightarrow{對A作列運算} BA,其中B=\begin{pmatrix} a& b\\ c& d\end{pmatrix}\\ 作完列運算後A的第一列不變，因此B=\begin{pmatrix} 1& 0\\ c& d\end{pmatrix},\\又A的第2列減去第1列的4倍，因此B=\begin{pmatrix} 1& 0\\ -4 & 1\end{pmatrix}，故選\bbox[red,2pt]{(5)}$$

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二、多選題
4. 有一個不公正的骰子，投擲的時候，二點、三點、四點、五點和六點出現的機率都是$\log_{10}({3\over 2})$，今以a表 $\log_{10}({3\over 2})$， 以 b 表 投 擲 的 時 候 一 點 出 現 的 機 率 ， 請 選出 正 確 的 選 項 。
(1)a>0
(2)a>1
(3)b<1/6
(4)$b<\log_{10}({4\over 3})$
(5)a>b

解： $$(1) \bigcirc: {3\over 2}>1 \Rightarrow \log_{10} {3\over 2} > \log_{10} 1=0 \Rightarrow a>0\\ (2)\times: {3\over 2} < 10 \Rightarrow \log_{10} {3\over 2} < \log_{10} 10=1 \Rightarrow a<1 \\(3) \bigcirc: b=1-5a = 1-5\log_{10} {3\over 2} = 1-5( \log_{10}3 -\log_{10}2) =1-5(0.4771-0.301)\\ \qquad  = 0.1195 < 0.1666={1\over 6} \Rightarrow b<{1\over 6} \\ (4) \bigcirc: \log_{10} {4\over 3}- (1-5\log_{10} {3\over 2}) =\log_{10} ({3^4\over 2^3} )-1 = \log_{10} {81\over 80} >0 \Rightarrow \log_{10} {4\over 3}>b \\ (5)\bigcirc: a-b= \log_{10} {3\over 2}-(1-5\log_{10} {3\over 2}) = 6\log_{10} {3\over 2} -1 = \log_{10}{3^6 \over 2^6\times 10} =\log_{10}{ 729 \over 640}>0 \\ \qquad \Rightarrow a>b \\，故選\bbox[red,2pt]{(1,3,4,5)}$$

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5. 給定二次多項式 $f(x)=x^2+ax+b$，已知多項式$x^3+3x^2+4x+2$除以f(x)其餘式為3x+2，多項式 $x^3+x^2-x-1$除以f(x)其餘式為4x+1，請選出正確的選項。
(1) a=3
(2) b=-1
(3) 方程式f(x)=0無實根 
(4) f(x)的極小值為5/4
(5) f(x)除以(x+3)其餘式為1

解： $$\cases{x^3+3x^2+4x+2 = p(x)f(x)+3x+2 \\ x^3+x^2-x-1= q(x)f(x)+4x+1} \Rightarrow \cases{f(x) \mid (x^3+3x^2+4x+2)-(3x+2) \\ f(x) \mid (x^3+x^2-x-1)-(4x+1)} \\ \Rightarrow \cases{f(x) \mid x^3+3x^2+x \\ f(x) \mid x^3+x^2-5x-2 } \Rightarrow f(x) \mid (x^3+3x^2+x)-(x^3+x^2-5x-2)=2x^2+6x+2 \\ \Rightarrow f(x) = x^2+3x+1 \Rightarrow \cases{a=3 \\b=1}\\(1)\bigcirc: a=3\\ (2)\times: b=1\\ (3) \times f(x)=0 \Rightarrow x^2+3x+1=0 \Rightarrow 判別式3^2-4>0 有2相異實根\\ (4) \times: f(x)=x^2+3x+1 = (x+{3\over 2})^2-{5\over 4} \Rightarrow 極小值為-{5\over 4} \\(5)\bigcirc: f(-3)=9-9+1=1 \Rightarrow 餘式為1\\故選\bbox[red,2pt]{(1,5)}$$

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6. 有 四 個 相 異 的 正 整 數 ， 由 小 到 大 依 序 為 k,l,m,n ， 其 和 等 於 16 ， 亦 即0 < k < l < m < n , k + l + m + n = 16 。 請 問 單 獨 再 增 加 下 列 哪 一 個 選 項 中 的 條 件 ，可 以 保 證 k 等 於 1？

(1) l 是 奇 數 ， m 是 偶 數

(2) l , m 是 偶 數

(3) k,l,m,n 是 等 差 數 列

(4) l , n 是 奇 數

(5) l , m 是 奇 數

解：
$$(1)\times: \cases{k=2\\ l=3(奇數)\\ m=4(偶數)\\ n=7} \Rightarrow k+l+m+n=16,但k\ne 1\\(2)\bigcirc: \cases{k+l+m+n=16 \\ \cases{l為偶數\\ m為偶數 } } \Rightarrow \cases{l=2,m=4 \Rightarrow \cases{k=1\\ n=9} \\ l=2,m=6 \Rightarrow \cases{k=1\\ n=7} \\ l=2,m \ge 8 \Rightarrow \cases{k=1 \\n < m(不合) } \\ l \ge 4,m \ge 6 \Rightarrow k+n \le 6 \Rightarrow n < m (不合)  } \Rightarrow k=1\\ (3)\bigcirc: \cases{k+l+m+n=16 \\ \cases{l=k+d\\ m=k+2d \\ n=k+3d},d\in N} \Rightarrow k+(k+d)+(k+2d)+(k+3d) = 4k+6d=16\\ \qquad \Rightarrow 2k+3d=8 \Rightarrow \cases{k=1 \Rightarrow d=2\\ k=2 \Rightarrow d=4/3(不合)\\ k=3 \Rightarrow d=2/3(不合) \\ k=4 \Rightarrow d=0(不合)\\ k\ge 5 \Rightarrow d<0 (不合)} \Rightarrow k=1 \\(4) \times: \cases{k=2\\ l=3(奇數)\\ m=4\\ n=7(奇數)} \Rightarrow k+l+m+n=16,但k\ne 1 \\(5) \times: \cases{k=2\\ l=3(奇數)\\ m=5(奇數)\\ n=6} \Rightarrow k+l+m+n=16,但k\ne 1 \\\quad\quad\quad 故選\bbox[red,2pt]{(2,3)}$$

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7. 請問對於下列哪些選項，可以找到實數a，使得選項裡面所有的數都同時滿足一元二次不等式 $x^2+(2-a)x-2a<0$？
(1) -1,0
(2) 1,2,3, ... （ 所 有 的 正 整 數 ）
(3) - 3, -4, -5, .... （ 所 有 小 於 −2 的 整 數 ）
(4) 97, 2008
(5) −π ,π （ π 是 圓 周 率 ）

解：
$$f(x)=x^2+(2-a)x-2a <0 \Rightarrow (x-a)(x+2)<0 \\(1) \bigcirc: 只要取a>-2(例如取a=1)\Rightarrow  -2< \{-1,0\} < a=1 \Rightarrow f(x)<0 \\(2)\times: f(x)為凹向上 \Rightarrow 當x趨近無窮大時，f(x)>0 \\(3) \times:  f(x)為凹向上 \Rightarrow 當x趨近負無窮大時，f(x)>0 \\(4) \bigcirc: 只要取a>-2且比2008還要大，例如a=2009 \Rightarrow  -2< \{97,2008 \} < 2009 \Rightarrow f(x)<0 \\ (5)\times: f(x)<0 \Rightarrow \cases{-2< x< a,如果a>-2 \\ a< x< -2,如果a<-2}，以上二式皆不能同時包含\pi與-\pi\\ 故選\bbox[red,2pt]{(1,4)}$$

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三、選填題
A. 趙氏與錢氏兩對夫婦、以及孫先生、李先生圍坐一個六人座圓桌吃飯，其中趙先生和孫先生已在兩個相鄰的位子坐定。若限定夫妻不得相鄰，則其他四人就座的方法共有？種。

解：

夫妻不能相鄰，趙太太只能坐B、C、D；
趙太太坐B：錢氏夫妻只能坐AC或AD，共有$2\times 2=4$種坐法；
趙太太坐C：錢氏夫妻只能坐AD或BD，共有$2\times 2=4$種坐法；
趙太太坐D：錢氏夫妻只能坐AC，只有2種坐法；
因此共有$4+4+2= \bbox[red, 2pt]{10}$種坐法。

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解：

$$\begin{vmatrix} a & b\\ 0 & c\end{vmatrix} =0 \Rightarrow ac=0 \Rightarrow (a,c)=(0,0-3),(1-3,0)，共有4+3=7種，\\又b有4種選擇，因此ac=0有7\times 4=28種情形；\\(a,b,c)全部有4^3=64種可能，所求之機率為\cfrac{28}{64} = \bbox[red, 2pt]{\cfrac{7}{16}}$$

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解：

$$餘弦定理\Rightarrow \cos \angle BAC = \cfrac{\overline{AB}^2 +\overline{AC}^2 -\overline{BC}^2}{ 2\times \overline{AB} \times \overline{AC}} \Rightarrow \cfrac{1}{\sqrt 5}= \cfrac{64+ 80 -\overline{BC}^2}{2\times 8\times 4\sqrt 5} \Rightarrow \overline{BC}=4\sqrt 5\\ 再由正弦定理\Rightarrow \cfrac{\overline{BC}}{\sin \angle BAC} = \cfrac{ \overline{AB}}{\sin \angle ACB} \Rightarrow  \cfrac{4\sqrt 5}{2/\sqrt 5} = \cfrac{ 8}{\sin \angle ACB} \Rightarrow \sin \angle ACB = \bbox[red, 2pt]{\cfrac{4}{5}}$$

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第貳部份：非選擇題

一、坐 標 平 面 上 有 兩 條 拋 物 線 ， 第 一 條 拋 物 線 的 頂 點 在 (−4,0) ， 焦 點 在 (−4,4) ， 第二 條 拋 物 線 的 頂 點 在 (4,4) ， 焦 點 在 (4,0) ， 求 兩 條 拋 物 線 的 交 點 。 

解： $$\cases{\Gamma_1:c_1=4-0=4 \Rightarrow (x+4)^2 = 4\times c_1(y-0) \Rightarrow (x+4)^2 = 16y \\ \Gamma_2:c_2=0-4 =-4 \Rightarrow (x-4)^2 = 4\times c_2(y-4) \Rightarrow (x-4)^2 = -16(y-4) } \\ 求交點: \cases{(x+4)^2=16y \cdots(1) \\ (x-4)^2=-16(y-4) \cdots(2)}, \xrightarrow{(1)+(2)} 2x^2+32= 64 \Rightarrow x=\pm 4代回(1) \Rightarrow y=4,0\\ \Rightarrow   交點為\bbox[red, 2pt]{(4,4), (-4,0)}$$

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二、建 築 公 司 在 房 市 熱 絡 時 推 出 甲 、 乙 兩 型 熱 門 預 售 屋 。 企 劃 部 門 的 規 劃 如 下 ：
甲 型 屋 每 棟 地 價 成 本 為 500 萬 元 ， 建 築 費 用 為 900 萬 元 ， 乙 型 屋 每 棟 地 價 成
本 為 200 萬 元 ， 建 築 費 用 為 1500 萬 元 ， 公 司 在 資 金 部 分 限 制 地 價 總 成 本 上
限 為 3500 萬 元 ， 所 有 建 築 費 用 的 上 限 為 1 億 2000 萬 元 ； 無 論 甲 型 或 乙 型 售
出 ， 每 棟 獲 利 皆 為 500 萬 元 ， 假 設 推 出 的 預 售 屋 皆 可 售 出 ， 請 問 推 出 甲 、 乙兩 型 預 售 屋 各 幾 棟 ， 公 司 才 可 得 到 最 大 利 潤 。 

解：

$$\cases{甲型x棟 \\ 乙型y棟} \Rightarrow \cases{500x+200y \le 3500 \\ 900x+1500y \le 12000\\ x,y\ge 0} \Rightarrow \cases{5x+2y \le 35 \\ 3x+5y \le 40\\ x,y\ge 0} \stackrel{封閉區域頂點}{\Longrightarrow} \cases{A(0,8) \\ B(5,5) \\ C(7,0)\\ O(0,0)} \\ 令f(x,y)= 500x+500y \Rightarrow \cases{f(A)=4000 \\ f(B)=5000 \\ f(C)=3500 \\f(O)=0} \Rightarrow f(B)為最大值，即\bbox[red, 2pt]{甲、乙型各售5棟}有最大利潤$$

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-- END   (僅供參考)  --