109年身心障礙學生大學甄試-數學甲-詳解

109學年度身心障礙學生升學大專校院甄試試題

甄試類(群)組別：大學組

考試科目(編號)：數學甲

單選題，共 20 題，每題 5 分

解： $$(A)\log(3+5) =\log 8 < 1\\(B)\log3 + \log 5= \log (3\times 5)=\log 15 > 1\\ (C) \log 3\times \log 5 < 1 \\(D) \cfrac{\log 3}{\log 5} < 1\\，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：
$$A\left[\matrix{4 \\ 3}\right] = A\left(2\left[\matrix{1 \\ 2}\right]+\left[\matrix{2 \\ -1}\right] \right) =2A\left[\matrix{1 \\ 2}\right] +A\left[\matrix{2 \\ -1}\right] =\left[\matrix{0 \\ 0}\right]+\left[\matrix{-5 \\ 10}\right] =\left[\matrix{-5 \\ 10}\right] =\left[\matrix{a \\ b}\right] \\ \Rightarrow \cases{a=-5 \\b=10} \Rightarrow a+b=5，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$|x-1|+|x-3|=7 \Rightarrow \cases{x=11/2 \Rightarrow |x-10|+|x-15|=14\\ x=-3/2 \Rightarrow |x-10|+|x-15|=28\ne 14} \\ \Rightarrow 只有一解，即x=11/2，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解：
$$\cases{y=-7x^3 圖形經過第2及第4象限\\ y=2^x-2圖形經過第1,3,4象限} \Rightarrow 兩圖形交點只會出現在第4象限，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$\cos \theta+\sin \theta=0 \Rightarrow \sin \theta=-\cos \theta \Rightarrow \tan \theta =\cfrac{\sin\theta}{\cos \theta} = \cfrac{-\cos\theta}{\cos \theta} =-1，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解：

$$\cases{\angle POA=90^\circ \\ \angle OAP=45^\circ} \Rightarrow \overline{OA}=\overline{OP}=324;同理 \cases{\angle POB=90^\circ \\ \angle OBP=30^\circ} \Rightarrow \overline{OB}=324\sqrt 3;\\ 又\cases{\overrightarrow{AO}為北方\\ \overrightarrow{AB}為東方} \Rightarrow \angle OAB=90^\circ \Rightarrow x^2= \overline{OB}^2-\overline{OA}^2 =324^2(3-1) = 2\times 324^2 \\\Rightarrow x=324\sqrt 2，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$\cases{L_1:ax+4y=5 \cdots(1)\\ L_2:x+y=2 \cdots(2)\\ L_3:2x-y=a \cdots(3)} \Rightarrow 由(2)及(3)可得\cases{x={a+2 \over 3} \\ y={4-a \over 3}} 代入(1)\Rightarrow {a(a+2) \over 3} +{4(4-a)\over 3}=5 \\ \Rightarrow a^2-2a+1=0 \Rightarrow (a-1)^2=0 \Rightarrow a=1，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：

$$由題意知:\overline{CA} =\overline{CB} =\overline{CD} =2，且點B、C、D在一直線上；\\因此C為\triangle ABD外接圓圓心且\overline{BD}為直線\Rightarrow \angle BAD=90^\circ \Rightarrow \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}=0，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$\triangle ABC面積= {1\over 2}\overline{AB}\times \overline{AC} \times \sin (180^\circ-150^\circ) = {1\over 2} \times 3\times 6\times {1\over 2}= {9\over 2}\\ 令圓半徑為r \Rightarrow \triangle ABC面積= {1\over 2}(\overline{AB}\times r+ \overline{AC}\times r) = {1\over 2}(9r) = {9\over 2} \Rightarrow r=1，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$(A)=(B)=(C)={1\over 2}|ad-bc|\ne (D)={1\over 4}|ad-bc|，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：

$$\cases{L_2:4x-3y+5=0 \\ L_3:2x+y=0} \Rightarrow 交點A(-{1\over 2},1); 同理\cases{L_1:4x-3y=0 \\ L_4:2x+y+a=0} \Rightarrow 交點B(-{3a\over 10},-{2a\over 5}); \\又\cases{L_1:4x-3y=0 \\ L_3:2x+y=0} \Rightarrow 交點O(0,0) \Rightarrow \cases{\overrightarrow{OA}=(-{1\over 2},1) \\ \overrightarrow{OB}= (-{3a\over 10},-{2a\over 5})} \\\Rightarrow 平行四邊形ABCD 面積= \left|\begin{vmatrix} -1/2 & 1\\ -3a/10 & -2a/5\end{vmatrix}\right| = \left|{1\over 2}a \right| =10 \Rightarrow a=20，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$\log_2 a-\log_2 b=1 \Rightarrow \log_2 {a\over b}=1 \Rightarrow {a\over b}=2 \Rightarrow a=2b 代入2^a-2^b=12 \\ \Rightarrow 2^{2b}-2^b=12 \Rightarrow (2^b)^2-2^b-12=0 \Rightarrow (2^b-4)(2^b+3)=0 \Rightarrow 2^b=4 \\ \Rightarrow b=2 \Rightarrow a=2b=2\times 2=4 \Rightarrow a+b=6，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：
$$\begin{cases} E:x+2y+2z=5 \\ L:\cases{x=1-2t\\ y=-2-2t \\ z=-2-t}\end{cases} \Rightarrow \cases{E的法向量\vec n=(1,2,2) \\ L的方向向量\vec u=(-2,-2,-1)} \\\Rightarrow \cos \theta = \cfrac{\vec n\cdot \vec u}{|\vec n||\vec n|} =\cfrac{-2-4-2}{\sqrt{1+4+4}\times \sqrt{4+4+1}} =-\cfrac{8}{9} (此仍鈍角)\\ \Rightarrow 銳角的\cos \theta = \cfrac{8}{9}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$|\vec u\times \vec v|= \sqrt{|\vec u|^2|\vec v|^2- (\vec u\cdot \vec v)^2} \Rightarrow 2\sqrt 3= \sqrt {2^2|\vec v|^2-2^2} \Rightarrow 12=4|\vec v|^2-4 \Rightarrow |\vec v|^2=4 \\ \Rightarrow |\vec v|=2，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$(4+3i)(a+bi) = (4a-3b)+(3a+4b)i = 24+7i \Rightarrow \cases{4a-3b=24 \\ 3a+4b=7} \Rightarrow \cases{a=117/25 \\ b=-44/25} \\ \Rightarrow a^2+b^2 = \cfrac{117^2+44^2}{25^2} = 25，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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16. 某 彩 券 的 玩 法 是 電 腦 從 1 到 49 的 整 數 中 ， 隨 機 抽 出 6 個 相 異 整數 做 為 當 次 的 中 獎 號 碼 。 購 買 者 可 從 1 到 49 的 整 數 中 ， 任 意 挑選 6 個 相 異 整 數，做 為 一 組 彩 券 號 碼，如 果 這 組 彩 券 號 碼 與 當 次的 中 獎 號 碼 完 全 相 同 ， 就 可 得 到 頭 獎 。 因 為 小 明 的 爸 爸 、 媽 媽 、哥 哥 還 有 自 己 生 日 的 月 與 日 這 8 個 整 數 皆 相 異，所 以 小 明 考 慮 購買 所 有 由 這 8 個 整 數 可 以 組 成 的 彩 券 號 碼。試 問 小 明 可 得 頭 獎 的機 率 為 何 ？

解： $$小明買了C^8_6張(組)彩券，總共有C^{49}_6組中獎號碼，機率為\cfrac{C^8_6}{C^{49}_6}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$\cases{x^2f(x)-1=(x+1)P(x) \Rightarrow (-1)^2f(-1)-1=0 \Rightarrow f(-1)=1 \\ x^2f(x)+1=(x-1)Q(x) \Rightarrow 1^2f(1)+1=0 \Rightarrow f(1)=-1 \\ f(x)=(x^2-1)R(x)+ (ax+b)} \\ \Rightarrow \cases{f(-1)=-a+b=1 \\ f(1)=a+b=-1} \Rightarrow \cases{a=-1\\ b=0} \Rightarrow 2a+3b=-2，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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18. 某 校 開 設 文 學 、 藝 術 與 生 活 科 技 三 門 特 色 課 程 。 該 校 共 有 30 位同 學，每 位 同 學 都 至 少 選 修 兩 門 以 上 的 特 色 課 程。文 學 與 藝 術 這兩 門 課 都 選 的 同 學 有 10 位 ； 藝 術 與 生 活 科 技 這 兩 門 課 都 選 的 同學 有 11 位 ；而 文 學 與 生 活 科 技 這 兩 門 課 都 選 的 同 學 有 15 位 。 現在 從 這 30 位 同 學 中 ， 抽 出 一 位 參 加 演 講 比 賽 ， 試 問 抽 中 的 這 位同 學 三 個 課 程 都 參 加 的 機 率 為 何 ？

解： $$令a=三課程都參加的人數\Rightarrow 10+11+15-2a=30 \Rightarrow a=3 \Rightarrow 機率為{3\over 30} ={1\over 10}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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19. 某 公 司 舉 辦 抽 獎 活 動 ， 抽 獎 箱 有 金 球 、 白 球 各 若 干 顆 ， 每 個 球 被抽 中 的 機 率 相 等。抽 獎 規 則 為 抽 到 金 球 可 得 獎 金 650元，其 餘 情 形皆 沒 有 獎 金 。 甲 、 乙 、 丙 、 丁 四 位 來 賓 依 序 由 箱 中 抽 取 一 球 ， 且取 後 不 放 回 。 甲 抽 到 金 球 ， 並 看 了 箱 中 剩 下 的 球 ， 得 知 乙 抽 到 金球 的 機 率 是 4/7。 結 果 乙 也 抽 到 金 球 ， 並 且 看 了 箱 中 剩 下 的 球 ， 發現 丙 抽 到 金 球 的 機 率 是 5/9。 接 著 丙 也 抽 到 金 球 ， 試 求 此 時 丁 得 到獎 金 的 期 望 值 為 何 ？
(A) 325 元
(B) 350 元
(C) 375 元
(D) 400 元

解： $$假設\begin{cases} 金球有a顆\\ 白球有b顆 \end{cases} \Rightarrow 甲抽到金球後，乙抽到金球的機率為{a-1 \over a+b-1}={4\over 7};\\ 乙也抽到金球後，丙抽到金球的機率為{a-2\over a+b-2}= {5\over 9};\\ 由上述二式\cases{{a-1 \over a+b-1}={4\over 7} \\ {a-2\over a+b-2}= {5\over 9}} \Rightarrow \cases{3a-4b=3 \\ 4a-5b=8}\Rightarrow \cases{a=17\\ b=12};\\ 接下來丙抽到金球後，丁抽到金球的機率為{a-3 \over a+b-3} ={14 \over 26} \Rightarrow 期望值 = 650\times {14\over 26} =350\\，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$z=a+bi \Rightarrow z^2= (a^2-b^2)+2abi; 又|z-i|=|z+i| \Rightarrow ab=0 \Rightarrow z^2= a^2-b^2\\ \Rightarrow z^3 = (a^2-b^2)(a+bi) = (a^3-ab^2)+(a^2-b^2)bi; 由於|z^3-i| =|z^3+i| \Rightarrow (a^2-b^2)b=0 \\ \Rightarrow a^2b-b^3=0 \Rightarrow -b^3=0 \Rightarrow b=0，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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-- end --