115年成德高中教甄-數學詳解

新竹市立成德高級中學 115 學年度正式教師甄試

第一部份 填充題（每題 6 分），共 60 分

解答:$$5^2=3^2+4^2 \Rightarrow \angle A=90^\circ \Rightarrow \cases{A(0,0) \\B(3,0) \\C(0,4)} \Rightarrow 內切圓半徑r={3+4-5\over 2}=1 \Rightarrow 內心I=(1,1)\\ P(x,y) \Rightarrow \overrightarrow{AP}= \alpha \overrightarrow{AB} + \beta \overrightarrow{AC} \Rightarrow (x,y)= \alpha(3,0)+ \beta(0,4)=(3\alpha,4\beta) \Rightarrow \cases{\alpha=x/3\\ \beta=y/4} \\ \Rightarrow \alpha+\beta ={x\over 3}+{y\over 4} \Rightarrow \cases{P=I(1,1) \Rightarrow \alpha+\beta=7/12\\ P=B(3,0)\Rightarrow \alpha+\beta=1\\ P=C(0,4) \Rightarrow \alpha+\beta=1} \Rightarrow \alpha+\beta 最小值= \bbox[red, 2pt]{7\over 12}$$

解答:$$X\sim Ber(n,p) \Rightarrow \cases{E(X)=np\\ \sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}} \Rightarrow \cases{na=5nb\\ \sqrt{na(1-a)} =2\sqrt{nb(1-b)}} \Rightarrow \cases{a=5b\\ a(1-a)=4b(1-b)} \\ \Rightarrow 5b(1-5b)=4b(1-b) \Rightarrow 21b^2-b=b(21b-1)=0 \Rightarrow b={1\over 21} \Rightarrow a={5\over 21} \\ \Rightarrow (a,b) = \bbox[red, 2pt]{\left( {5\over 21},{1\over 21} \right)}$$

解答:$$由題意可知平面四邊形的第1組對邊與5x-2y=0平行，另一組對邊與7x+8y=0平行\\ 假設P=(0,0)，也就是L_1:5x-2y=0與L_2: 7x+8y=0的交點\\ 設P對角頂點為R \Rightarrow {1\over 2}\overline{PR}=Q \Rightarrow \overrightarrow{PR}=2\overrightarrow{PQ}=2(5,-1)=(10,-2) \Rightarrow R=(10,-2) \\ 將\cases{R(10,-2)代入5x-2y=54 \Rightarrow L_3:5x-2y=54\\ R(10,-2)代入7x+8y=54 \Rightarrow L_4:7x+8y=54} \\ \Rightarrow 平行四邊形面積={|0-54|\cdot |0-54|\over |5\times 8-(-2)\times 7|} =\bbox[red, 2pt]{54}$$

解答:$$取\cases{u=2x+y+z\\ v=x+2y+z\\ w=x+y+2z}\Rightarrow \cases{0\le u\le 1\\ 0\le v\le 2\\ 1\le w\le 3} \Rightarrow \left|\partial(u,v,w) \over \partial(x,y,z) \right| = \begin{vmatrix} 2& 1& 1\\1& 2& 1\\1& 1& 2 \end{vmatrix} =4 \\\Rightarrow 六面體體積 =\left|\partial(x,y,z) \over \partial(u,v,w) \right| \int_1^3 \int_0^2 \int_0^1 1\,dudvdw ={1\over 4}\cdot 2\cdot 2\cdot 1=\bbox[red, 2pt]1$$

解答:$$勝差要達到2局，只可能發生在偶數局，因此比賽結束只會發生在2、4、6局\\ \textbf{Case I: }2局結束(X=2)\\ \qquad 甲連勝或乙連勝，機率為 \left( {1\over 4} \right)^2+ \left( {3\over 4} \right)^2={5\over 8} =P(X=2)\\\textbf{Case II: }4局結束(X=4)\\\qquad 前二局不結束的機率:1-{5\over 8}={3\over 8}，後2局甲連勝或乙連勝，機率為{5\over 8} \Rightarrow {3\over 8}\cdot {5\over 8}={15\over 64}=P(X=4) \\ \textbf{Case III: }6局結束(X=6) \\\qquad P(X=6)=(前2局平手)\times(第3,4局平手)={3\over 8}\times {3\over 8}={9\over 64} \\\Rightarrow E(X)=2\times{5\over 8}+4\times {15\over 64}+6\times {9\over 64}= \bbox[red, 2pt]{97\over 32}$$

解答:$$取t=\cos x+\sin x =\sqrt 2 \sin(x+{\pi\over 4}) \Rightarrow -\sqrt 2\le t\le \sqrt 2 \\ \Rightarrow t^2=1+2\sin x\cos x=1+\sin 2x \Rightarrow \sin 2x=t^2-1 \Rightarrow {\sin(2x)-3\over \sin x+\cos x-2} ={t^2-1-3\over t-2} \\={t^2-4\over t-2}=t+2 \Rightarrow \cases{最大值M=2+\sqrt 2\\ 最小值m=2-\sqrt 2} \Rightarrow M-m= \bbox[red, 2pt]{2\sqrt 2}$$

 

解答:$$f(x)=x^2+2x+3+{8\over x}+{4\over x^2} \Rightarrow f'(x)=2x+2-{8\over x^2}-{8 \over x^3} ={ (2x+2)x^3-(8x+8)\over x^3} \\ f'(x)=0 \Rightarrow 2(x+1)(x^3-4) =0 \Rightarrow x=\sqrt[3] 4 \;(x為正數\Rightarrow  x=-1不合) \\ \Rightarrow f(\sqrt[3]4) = \sqrt[3]{16}+2\sqrt[3]4+ 3+{8\over \sqrt[3]4}+{4\over \sqrt[3]{16}}= \sqrt[3]{16}+2\sqrt[3]4+ 3+2\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]4 \\= \bbox[red, 2pt]{3\sqrt[3]{16}+ 3\sqrt[3]4+3}$$

解答:$$L:(\sqrt 3-1)x-(\sqrt 3+1)y=0 \Rightarrow y={\sqrt 3-1\over \sqrt 3+1}x=(2-\sqrt 3)x =\tan 15^\circ x\\ 假設\cases{旋轉\phi度的矩陣R(\phi)\\ 對斜率為\tan \alpha直線的鏡射矩陣A(\alpha)} \Rightarrow A(\alpha) R(\phi) = \begin{bmatrix}\cos(2\alpha)& \sin(2\alpha)\\ \sin(2\alpha) & -\cos(2\alpha) \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\cos \phi& -\sin \phi\\ \sin \phi& \cos \phi \end{bmatrix} \\= \begin{bmatrix}\cos(2\alpha-\phi)& \sin(2\alpha-\phi) \\ \sin(2\alpha-\phi)& -\cos(2\alpha-\phi) \end{bmatrix} 也是一個鏡射矩陣，其中鏡射直線斜率假設為\theta \\ \Rightarrow 2\theta=2\alpha-\phi=2\cdot 15^\circ-70^\circ=-40^\circ \Rightarrow \theta=-20^\circ \Rightarrow 鏡射-20^\circ 與180^\circ-20^\circ= \bbox[red, 2pt]{160^\circ} 相同$$

解答:$$a_{n+5}+a_{n+1} =a_{n+4}+a_n \Rightarrow a_{n+5}-a_{n+4}=-(a_{n+1}-a_n) \Rightarrow d_{n+4}=-d_n, 其中d_n=a_{n+1}-a_n \\ \Rightarrow \cases{n=1 \Rightarrow a_1=1\\ n=2 \Rightarrow a_2=4\\ n=3\Rightarrow a_3=9\\ n=4\Rightarrow a_4=16\\ n=5\Rightarrow a_5=25 } \Rightarrow \cases{d_1=3\\ d_2=5\\ d_3=7\\ d_4=9\\ d_5=-d_1=-3\\d_6=-d_2=-5\\ d_7=-d_3=-7\\ d_8=-d_4=-9 \\d_9=-d_5=d_1} \Rightarrow \cases{循環數8\\ d_1+d_2+\cdots+d_8=0} \\ 由於2030=8\times 253+6\Rightarrow a_{2031}=a_1+ \sum_{k=1}^{2030} d_k =a_1+\sum_{k=1}^{6} d_k =1+16= \bbox[red, 2pt]{17}$$

解答:$$t=2^x \Rightarrow t+t^2+t^3=39 \Rightarrow t^3+t^2+t-39=0 \Rightarrow (t-3)(t^2+4t+13)=0 \\ \Rightarrow t=2^x=3 \Rightarrow x= \bbox[red, 2pt]{\log_2 3}$$

第二部份 填充題（每題 8 分），共 40 分

解答:$$令a_k=  {k^2\over 2026}  及b_k= \left\lfloor a_k \right \rfloor ，找最大的k，使得a_k-a_{k-1}\lt 1\Rightarrow k=1013, 即a_{1013}-a_{1012} ={2025\over 2026}\lt 1 \\ \Rightarrow b_1=0至b_{1013}=506不會發生跳號，也就是有507個相異整數\\ 當k\ge 1014, a_k\gt a_{k-1} \Rightarrow k=1014-2026會產生(2026-1014+1)=1013個相異整數\\ 總共有507+1013= \bbox[red, 2pt]{1520}個相異整數$$

解答:$$\cases{x^2+2ax+16b=0有實根\Rightarrow 判別式:4a^2-64b\ge 0 \Rightarrow a^2\ge 16b \cdots(1) \\ x^2+2bx+2a=0 有實根\Rightarrow 判別式:4b^2-8a\ge0 \Rightarrow b^2\ge2a \cdots(2)} \\ 由(2) \Rightarrow b^4\ge 4a^2\ge 64b \Rightarrow b^3\ge 64 \Rightarrow b\ge 4 \Rightarrow a^2\ge 16\cdot 4=64  \Rightarrow a^2+b^2 \ge 4^2+64= \bbox[red, 2pt]{80}$$

解答:$$a_n=(-1)^n{n^2+n+1\over n!} =(-1)^n{n+1\over n!} -(-1)^{n-1}{ (n-1)+1\over (n-1)!} =b_n-b_{n-1} \\ \Rightarrow \sum_{n=1}^{2026} a_n =\sum_{n=1}^{2026} (b_n-b_{n-1}) =b_{2026}-b_0= \bbox[red, 2pt]{{2027\over 2026!}-1}$$

解答:$$w=1-\sqrt 3 i \Rightarrow w\bar w=|w|^2=4 \Rightarrow {2026z-4\over z-2026} =w \Rightarrow z={4-2026w\over 2026-w} \\ \Rightarrow|z|= \left| {4-2026w\over 2026-w}\right| = {|w\bar w-2026w| \over |2026-w|} = {|w||\bar w-2026| \over |2026-w|} = {|w||2026-w| \over |2026-w|} =|w|=\bbox[red, 2pt]2 $$

解答:

$$取\cases{O(0,0) \\A(-1,0) \\B(1,0)\\ C(0,1)\\E(0,1/3)} , \stackrel{\Large\frown}{AED} 的圓心為O'  \Rightarrow 兩圓心O,O'的對稱軸為\overline{AD} \Rightarrow \angle O'AD= \angle DAO=\theta \\ \Rightarrow O'(\cos 2\theta-1, \sin 2\theta) \Rightarrow \overline{O'E}=1 \Rightarrow (\cos 2\theta-1)^2+(\sin 2\theta-1/3)^2=1\Rightarrow 9\cos 2\theta+3\sin \theta=5 \\ 假設\tan  \theta=m \Rightarrow \cases{\cos 2\theta=(1-m^2)/(1+m^2) \\ \sin 2\theta=2m/(1+m^2)} \Rightarrow 9 \left( {1-m^2\over 1+m^2} \right)+ 3 \left( {2m\over 1+m^2} \right)=5 \\ \Rightarrow 7m^2-3m-2 \Rightarrow m= \bbox[red, 2pt]{3+\sqrt{65}\over 14} \;(\theta 為銳角\Rightarrow m\gt 0)$$

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