115年南港高工教甄-數學詳解

 臺北市立南港高級工業職業學校 115 學年度第1次教師甄選

一、 填充題(每題 6 分)

解答:$$n=1 \Rightarrow m=1,2,\dots, 9 \Rightarrow {n\over m}=1,{1\over 2},{1\over 3},\dots,{1\over 9}，共9個相異值\\ n=2 \Rightarrow m=1-4 \Rightarrow {n\over m}=2,{2\over 3}，共2個相異值 \\n=3 \Rightarrow m=1-3 \Rightarrow {n\over m}=3,{3\over 2}，共2個相異值 \\ n=4\Rightarrow m=1,2 \Rightarrow {n\over m}=4，共1個相異值 \\n=5 \Rightarrow m=1 \Rightarrow {n\over m}=5，共1個相異值 \\ n=6,7,8,9 \Rightarrow m=1 \Rightarrow {n\over m}=6,7,8,9，共4個相異值 \\ 以上合計:9+2+2+1+1+4= \bbox[red,2pt]{19} 個相異值$$

解答:$$d=d(E_1,E_2) ={12-4\over \sqrt{4+9+36}}= {8\over 7} \\ \cases{L方向向量\vec u=(1,2,2) \\ 兩平面法向量皆為\vec n=(2,3,6)} \Rightarrow \cos \theta={\vec u\cdot \vec n\over |\vec u||\vec v|}={20\over 21} ={d\over 欲求之截長} \\\Rightarrow 欲求之截長={21\over 20}\cdot {8\over 7}= \bbox[red, 2pt]{6\over 5}$$

解答:$$正弦定理: {\overline{AC} \over\sin B} ={\overline{BC} \over \sin A} \Rightarrow {2\over \sin 45^\circ} ={\overline{BC} \over \sin 60^\circ} \Rightarrow \overline{BC} =\sqrt 6 \\ \Rightarrow \triangle ABC面積={1\over 2}\cdot \overline{CA} \cdot \overline{CB} \sin C={1\over 2}\cdot 2\cdot \sqrt 6 \sin(180^\circ- 45^\circ-60^\circ)= \sqrt 6\sin(75^\circ) \\= \sqrt 6 (\sin 45^\circ \cos 30^\circ+ \sin 30^\circ \cos 45^\circ) =\sqrt 6 \left( {\sqrt 6\over 4}+ {\sqrt 2\over 4} \right) =\bbox[red, 2pt] {3+\sqrt 3\over 2}$$

解答:$$\lim_{x\to 3}{xf(3)-3f(x) \over x-3} =\lim_{x\to 3}{{d\over dx}(xf(3)-3f(x) )\over {d\over dx}(x-3)} = \lim_{x\to 3}{f(3)-3f'(x) \over 1} =5-3\cdot 5= \bbox[red, 2pt]{-10}$$

解答:$$|z|=1 \Rightarrow z在單位圓上\Rightarrow z=\cos \theta+i\sin \theta，而{-7+24i\over 25}也在單位圓上\\ 又z^3=\cos 3\theta+i\sin 3\theta，因此{-7+24i\over 25}=z^2 = \cos 2\theta+ i\sin \theta \Rightarrow \cases{\cos \theta=3/5\\ \sin \theta=4/5} \\ \Rightarrow z= \bbox[red, 2pt]{ {3\over 5}+i{4\over 5}}$$

解答:$$\int_b^x f(t)\,dt={1\over 2}(x^2+6x+10)^3 -{1\over 2}\Rightarrow f(x)={3\over 2}(x^2+6x+10)^2(2x+6) \Rightarrow x^5係數=a=3 \\ 又\int_b^bf(t)\,dt =0 ={1\over 2}(b^2+6b+10)^3-{1\over 2}=0 \Rightarrow (b^2+6b+10)^3=1 \Rightarrow b^2+6b+10=1 \\ \Rightarrow (b+3)^2=0 \Rightarrow b=-3 \Rightarrow (a,b)= \bbox[red, 2pt]{(3,-3)}$$

解答:$$假設公差d \Rightarrow \cases{a_1+a_3+ a_5=3a_1+6d=15\\ a_2+a_4+a_6=3a_1+9d=18} \Rightarrow \cases{a_1=3 \\ d=1}\\ \Rightarrow S_n={(2a_1+(n-1)d)n\over 2} ={n(n+5) \over 2} \Rightarrow \lim_{n\to \infty}{S_n\over n^2} =\lim_{n\to \infty} {n(n+5)\over 2n^2} =\bbox[red, 2pt]{1\over 2}$$

解答:$$\prod_{k=4}^{63} {\log_k(5^{k^2-1}) \over \log_{k+1}(5^{k^2-4})} =\prod_{k=4}^{63} {(k-1) (k+1)\log_k 5 \over (k-2)(k+2)\log_{k+1}5} = \prod_{k=4}^{63} {(k-1) (k+1)\log (k+1) \over (k-2)(k+2)\log(k)} \\ = \left( \prod_{k=4}^{63} {k-1\over k-2}\right) \cdot \left( \prod_{k=4}^{63} {k+1\over k+2}\right) \cdot \left( \prod_{k=4}^{63} {\log(k+1) \over \log k} \right) \\= \left( {3\over 2} \cdot{4\over 3} \cdot{ 5\over 4} \cdots{62\over 61}\right) \cdot \left( {5\over 6} \cdot {6\over 7} \cdot {7\over 8} \cdots{64\over 65} \right) \cdot  \left( {\log 5\over \log 4} \cdot {\log 6\over \log 5} \cdot {\log 7\over \log 6} \cdots{\log 64\over \log64}\right) \\={62\over 2}\cdot {5\over 65}\cdot {\log 64\over \log 4} =31\times {1\over 13}\times 3= \bbox[red, 2pt] {93\over 13}$$

解答:$$\omega=\cos{2\pi\over 7}+i\sin {2\pi\over 7} \Rightarrow \omega^7=1 \Rightarrow 1+\omega+\omega^2+\cdots+\omega^6=0   \Rightarrow \prod_{k=0}^6 (\omega^{3k} +\omega^k+1)\\ =(1+1+1) (\omega^3+\omega+1) (\omega^6+\omega^2+1) (\omega^9+ \omega^3+1)  (\omega^{12}+\omega^4+1)  (\omega^{15}+\omega^5+1)  (\omega^{18} +\omega^6+1) \\ =3(\omega^3+\omega+1) (\omega^6+\omega^2+1) (\omega^2+ \omega^3+1)  (\omega^{5}+\omega^4+1)  (\omega +\omega^5+1)  (\omega^4+\omega^6+1) \\= 3 \left[ (\omega^3+\omega+1) (\omega^4+\omega^6+1)\right] \left[ (\omega^6 +\omega^2+1) (\omega +\omega^5+1)\right] \left[ (\omega^2+\omega^3+1)  (\omega^{5} +\omega^4+1) \right] \\=3\cdot 2\cdot 2\cdot 2=\bbox[red, 2pt]{24}$$

解答:

$$圓C_1:\cases{圓心C_1(0,0)\\ 圓半徑r_1=1}、圓C_2:\cases{圓心C_2(0,3)\\ 圓半徑r_2=2}、圓C_3:\cases{圓心C_3(4,0)\\ 圓半徑r_3= 3}、圓C_4:\cases{圓心C_4(x,y)\\ 圓半徑r_4=r} \\ \Rightarrow \cases{d(C_4,C_1)=r_4-r_1\\ d(C_4,C_2)=r_4-r_2\\ d(C_4,C_3)=r_4-r_3\\ } \Rightarrow \cases{x^2+y^2=(r-1)^2 \\ x^2+(y-3)^2=(r-2)^2\\ (x-4)^2+y^2 =(r-3)^2} \Rightarrow \cases{x=r/2+1\\ y=r/3+1} \\\Rightarrow  \left( {r\over 2}+1 \right)^2+ \left( {r\over 3}+1 \right)^2= (r-1)^2 \Rightarrow 23r^2-132r-36=0 \Rightarrow (23r+6)(r-6=0 ) \Rightarrow r=6\\ \Rightarrow \cases{x=3+1=4\\ y=2+1=3} \Rightarrow 圓C_4: \bbox[red, 2pt]{(x-4)^2+(y-3)^2=36}$$

二、 問答題(每題 5 分)

以下是本校學生解題時常犯的錯誤，請寫出錯誤之處(3 分)並寫出正確答案(2 分)(不需要寫算式)。

解答:$$錯誤之處: 未將圓方程式中x^2係數化簡為1後,才能代入該公式\\正確作法:2x^2+2y^2-4x+6y-2=0 \Rightarrow x^2+y^2-2x+3y-1=0,再將P(-2,3)代入可得 \\ \sqrt{(-2)^2+3^2-2(-2)+3(3)-1} = \sqrt{25} =\bbox[red, 2pt]5$$

解答:$$錯誤之處: {x\over a}+{y\over b}=1無法表達通過原點的直線\\ 正確答案:除了x+y=5外,還包含過原點(0,0)及(2,3)的直線3x=2y, \\\qquad 因此正確答案為:\bbox[red, 2pt]{x+y=5,3x-2y=0}$$

解答:$$錯誤之處: 未先驗證數列收斂，就假設數列收斂至t\\正確的作法:a_1=0 \Rightarrow a_1=\sqrt[3]{16}, a_2=0, a_3=\sqrt[3]{16},... \Rightarrow 不收斂 \Rightarrow 極限\bbox[red, 2pt]{不存在}$$

解答:$$錯誤之處: 分母不得為0, 即x+2\ne 0, x\ne -2\\ 正確答案: 只有\bbox[red, 2pt]{0,1}$$

三、 教學題(每題 5 分)

請以簡明扼要說明在課堂上你會如何引導學生直觀理解以下概念，只寫計算過程或證明不予計分。

解答:$$\cases{第一區塊 (S_n)：a_1 + a_2 + \dots + a_n\\ 第二區塊 (S_{2n} - S_n)：a_{n+1} + a_{n+2} + \dots + a_{2n} \\第三區塊 (S_{3n} - S_{2n})：a_{2n+1} + a_{2n+2} + \dots + a_{3n}}\\ \Rightarrow \cases{第二區的每一項與第一區塊相對應每一項差值為nd, 即:a_{n+1}-a_1= a_{n+2}-a_2= \cdots= a_{2n}-a_n=nd \\第三區的每一項與第二區塊相對應每一項差值為nd,即:a_{2n+1}-a_{n+1}=\cdots=a_{3n}-a_{2n}=nd} \\ \Rightarrow \cases{(S_{2n}-S_n)-S_n=n^2d\\ (S_{3n}-S_{2n})-(S_{2n}-S_n)= n^2} \Rightarrow S_n,(S_{2n}-S_n), (S_{3n}-S_{2n})成等差$$

解答:$$假設 x_1 < x < x_2，點 P 介於 A 與 B 之間\Rightarrow \cases{線段 \overline{AP} 在 x 軸上的水平投影長度為:x - x_1\\線段 \overline{PB} 在 x 軸上的水平投影長度為:x_2 - x}\\ \Rightarrow 水平投影的長度比，會等於斜邊的長度比:\frac{x - x_1}{x_2 - x} = \frac{m}{n}\\ \Rightarrow x={nx_1+mx_2\over n+m}, y坐標也有相同的推演過程$$

解答:$$計算 \frac{du}{dx} 的動作，是為了找出 dx 與 du 之間的轉換比例$$

解答:$$把k想成看影片的轉速，正常轉速k=1，看完影片要花2\pi的時間; k=2代表2倍速看影片，\\看完影片就只需要2\pi/k的時間; 若k為負值，代表倒著播放影片，\\因此看完影片的時間(週期)={2\pi\over |k|}$$

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解題僅供參考，其他教甄試題及詳解