臺灣警察專科學校 115學年度專科警員班第45期正期學生組新生入學考試甲組數學科
※注意：（一）本科目為單選題，共 40 題，每題 2.5 分，計 100 分。
（二）未作答者不給分，答錯者不倒扣。
（三）請將正確答案以 2B 鉛筆劃記於答案卡內。
解答:$$(3+\sqrt 2)a-9-\sqrt 2b=(3a-9)+(a-b)\sqrt 2=3 \Rightarrow \cases{3a-9=3\\ a-b=0} \Rightarrow \cases{a=4\\b=4}\\ \Rightarrow a+b=4+4=8，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$
解答:$$\cases{10=\sqrt{100}\lt \sqrt{115} \lt \sqrt{121}=11 \Rightarrow 與\sqrt{115}距離小於4的整數點: 7,8, 9,10,11,12,13,14 \\ 6=\sqrt {36}\lt \sqrt{45}\lt \sqrt{49}=7 \Rightarrow 與\sqrt{45}的距離大於3的整數點:...,1,2,3,10,11,...} \\ 符合兩條件的整數點:10,11,12,13,14，共5個，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$
解答:$$x^2+y^2-2x+4y-10=0 \Rightarrow (x-1)^2+(y+2)^2=15 \Rightarrow 圓心P(1,-2)\\ \cases{(A) P至x軸距離=2 \\ (B) P至y軸距離=1\\ (C)P至x+y=1距離= \sqrt 2\\ (D)P至x=1距離=0} \Rightarrow 離圓心越近，所截的弦越長，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$
解答:$$圓C:(x-3)^2+(y-1)^2=8 \Rightarrow \cases{圓心P(3,1)\\ 圓半徑r=2\sqrt 2} \Rightarrow d(P,L)=0 \Rightarrow P在L上\\ \Rightarrow 相交於兩點，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$
解答:$$2x^2-x+4=2(x^2-{1\over 2}x+{1\over 16}+{31\over 16}) =2(x-{1\over 4})^2+{31\over 8} \gt 0 \not \lt 0，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$
解答:$$f(x)=2x^3+x^2+3x-2 \Rightarrow f({1\over 2})={1\over 4}+{1\over 4}+{3\over 2}-2=0 \Rightarrow 2x-1是因式，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$
解答:$$(A) \times: a_1= S_1=1^2=1\ne 0 \\(B) \times: a_2=S_2-S_1=2^2-1^2=3 \ne 4 \\(C) \times:{a_n\over a_{n-1}} ={S_n-S_{n-1} \over S_{n-1}-S_{n-2}} ={n^2-(n-1)^2 \over (n-1)^2-(n-2)^2} ={2n-1\over 2n-3}非常數 \\(D) \bigcirc: a_n=S_n-S_{n-2}=n^2-(n-1)^2=2n-1，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$
解答:$$\begin{array}{l}a_9=a_8+9^3\\ a_8=a_7+8^3 \\ a_7=a_6+7^3\\ \cdots \cdots\\ a_2=a_1+2^3 \\\hline a_9=a_1+2^3+3^3+\cdots+9^3\end{array} \\ \Rightarrow a_9=\sum_{k=1}^9 k^3 = \left( {9\cdot 10\over 2} \right)^2 =45^2=2025，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$
解答:$$二位數:10,11,\dots,99， 共有90個\Rightarrow 個位數字與十位數字相同:11,22,\dots,99，共9個\\ \Rightarrow 個位數字與十位數字不同機率={90-9\over 90} ={81\over 90} ={9\over 10}，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$
解答:$$至少喜歡一種球類的有37+30+25-20-13-17+5=47 \\ \Rightarrow 都不喜歡的有50-47=3人，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$
解答:$${3\over 4}=r\cdot {\sigma_y\over \sigma x} =r\cdot {\sigma_x\over \sigma_x}=r \Rightarrow r={3\over 4}，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$
解答:$$\overline{BC} =\overline{AB}\sin A= \sin A \Rightarrow \overline{BD} =\overline{BC}\cos B=\sin A\cos B= \sin A\sin A=\sin^2A，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$
解答:$$\cos 30^\circ\times \tan 30^\circ+ \sin 60^\circ\times \tan 60^\circ ={\sqrt 3\over 2} \times {1\over \sqrt 3}+ {\sqrt 3\over 2}\times \sqrt 3={1\over 2}+{3\over 2}=2，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$
解答:$$\triangle OAB面積={1\over 2}\cdot 6\cdot 8 \sin(130^\circ-70^\circ) =24\sin 60^\circ=24\times {\sqrt 3\over 2}=12\sqrt 3，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$
解答:$$y=f(x)=-(x+1)(x-2) 圖形為凹向下，與x軸交於(-1,0)及(2,0)\\\log_3 10 \gt 2 \Rightarrow f(\log_3 10)\lt 0 \Rightarrow (\log_3 10, f(\log_3 10)) 在第四象限，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$
解答:$$\cases{(A) \log_3 x=-1 \Rightarrow x={1\over 3} \\(B) -\log_3 x=-1 \Rightarrow x=3\\ (C) \log_5 x=-1 \Rightarrow x={1\over 5} \\ (D) \log_{1/5}x=-1 \Rightarrow x=5} \Rightarrow x=5最大，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$
解答:$$(A)\bigcirc: f(x)=x^3-3x=x(x-\sqrt 3)(x+\sqrt 3)=0 \Rightarrow 三根符合一正一負一原點 \\(B) \times: f(x)=x^3+3x=x(x^2+3)=0 \Rightarrow 僅有一實根0\\ (C)\times: y=f(x)=-x^3+3x 圖形為左上右下，與題目圖形不符\\ (D)\times: f(x)=x^3-3x^2=x^2(x-3) =0僅有兩根0,3與圖形不符，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$
解答:$$算幾不等式: x^2+{25\over x^2} \ge 2\sqrt{x^2\cdot {25\over x^2}}=10，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$
解答:$$\sin x=\sin 2x=2\sin x\cos x \Rightarrow 2\sin x\cos x-\sin x=0 \Rightarrow \sin x(2\cos x-1)=0\\ \Rightarrow \cases{\sin x=0 \Rightarrow x=0,\pi, 2\pi\\ 2\cos x-1=0 \Rightarrow \cos x=1/2 \Rightarrow x=\pi/3, 5\pi/3} \Rightarrow 共有5個交點，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$
解答:$$\cases{{5\pi\over 6} \gt {4\pi\over 5} \Rightarrow \cos {5\pi\over 6} =-{\sqrt 3\over 2}\lt a \\ {3\pi\over 4}\lt {4\pi\over 5} \Rightarrow \cos {3\pi\over 4}=-{\sqrt 2\over 2} \gt a} \Rightarrow -{\sqrt 3\over 2}\lt a\lt -{\sqrt 2\over 2}，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$
解答:$$\tan \theta={1\over 2} \Rightarrow \tan(2\theta) ={2\tan \theta\over 1-\tan^2 \theta} = {1\over 3/4} ={4\over 3} \Rightarrow \cos 2\theta={3\over 5} ={\overline{AC}=2\over \overline{AB}} \Rightarrow \overline{AB}={10\over 3}\\，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$
解答:$$f(x)= 3\sin x-4\cos x =5 \left( {3\over 5}\sin x-{4\over 5}\cos x \right) =5\sin(x-\theta) \Rightarrow 最大值5，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$
解答:$$當x\gt 0時，b^x \gt c^x \gt a^x\Rightarrow b\gt c \gt a\\，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$
解答:$$(A) \log_2 3=a\\ (B) \log_4 9={\log 9\over \log 4} ={2\log 3\over 2\log 2}={\log 3\over \log 2} =\log_2 3=a\\ (C) \log_8 26 \lt \log_8 27={3\log 3\over 3\log 2} ={\log 3\over \log 2}=a \Rightarrow \log_826 \lt a\\ (D) \log_{16} 82 \gt \log_{16}81 ={4\log3\over 4\log 2} ={\log 3\over \log 2}=a \Rightarrow \log_{16}81 \gt a \\ \Rightarrow (D)最大，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$
解答:$$0\lt x\lt 1\Rightarrow \cases{a=\log x \lt 0\\ b=\log \sqrt x={1\over 2} \log x={1\over 2}a \gt a\\ c=\log x^2 =2\log x\lt a} \Rightarrow b\gt a\gt c，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$
解答:$$假設\cases{O(0,0)\\ C(1,0)} \Rightarrow \cases{D=(1/2, \sqrt 3/2) \\ F=(-1,0) \\ A=(-1/2,-\sqrt 3/2) \\B=(1/2,-\sqrt 3/2)} \Rightarrow \overrightarrow{DF}=(-{3\over 2},-{\sqrt 3\over 2}) =s(-{1\over 2},-{\sqrt 3\over 2})+t({1\over 2},-{\sqrt 3\over 2}) \\ \Rightarrow \cases{-s+t=-3\\ \sqrt 3s+\sqrt 3t=\sqrt 3} \Rightarrow (s,t)=(2,-1)，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$
解答:$$(A) \cos \theta ={\vec u\cdot \vec v_1\over |\vec u||\vec v_1|} = {5\over 5\sqrt 2} ={\sqrt 2\over 2} \\ (B) \cos \theta ={\vec u\cdot \vec v_2\over |\vec u||\vec v_2|} = {5\over 5\sqrt 2} ={\sqrt 2\over 2} \\ (C) \cos \theta ={\vec u\cdot \vec v_3\over |\vec u||\vec v_3|} = {7\over 5\sqrt 2} ={7\sqrt 2\over 10} \\ (D) \cos \theta ={\vec u\cdot \vec v_4\over |\vec u||\vec v_4|} = {1\over 5\sqrt 2} ={\sqrt 2\over 10} \\ \Rightarrow (C)的\cos \theta 最大，即\theta最小，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$
解答:$$取\cases{D(0,0,0) \\C(5,0,0) \\A(0,5,0) \\E(0,5,5) \\H(0,0,5)} \Rightarrow \cases{P(2,5,0) \\Q(0,2,5)} \Rightarrow \overline{PQ} =\sqrt{4+9+25}= \sqrt{38}，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$
解答:$$\vec a與\vec a+3\vec b所張成的三角形面積為9 \Rightarrow {1\over 2}|\vec a\times(\vec a+3\vec b)| ={1\over 2} |\vec a\times \vec a+ 3\vec a\times \vec b|= {1\over 2} |3\vec a\times \vec b|=9 \\ \Rightarrow {3\over 2} |\vec a\times \vec b|=9 \Rightarrow |\vec a\times \vec b|=6 \\\vec 2a+ \vec b與 \vec b所張成的三角形面積={1\over 2}|(2\vec a+\vec b)\times \vec b| ={1\over 2}|2\vec a\times \vec b+ \vec b \times \vec b| ={1\over 2}|2\vec a\times \vec b| \\=|\vec a\times \vec b|=6，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$
解答:$$\cases{A(2,-5,1) \\B(3,1,-7) \\C(c,0,0)} \Rightarrow \cases{\overrightarrow{CA} =(2-c,-5,1) \\ \overrightarrow{CB}=(3-c,1,-7)} \Rightarrow \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}=(2-c)(3-c)-5-7=0\\ \Rightarrow c^2-5c-6=0 \Rightarrow (c-6)(c+1)=0\Rightarrow c=6 \Rightarrow C(6,0,0)，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$
解答:$$假設立方體邊長1,取\cases{O(0,0,0) \\ A(1,0,0) \\B(1,1,0) \\C(0,1,0) \\ D(0,0,1) \\E(1,0,1) \\ F(1,1,1)} \Rightarrow \cases{\overrightarrow{AC} =(-1,1,0) \\ \overrightarrow{AE}=(0,0,1)} \Rightarrow \vec u=\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AE} =(1,1,0) \\(A) \bigcirc:\overrightarrow{CE}=(1,-1,1) \Rightarrow \overrightarrow{CE} \cdot \vec u=0 \Rightarrow \overrightarrow{CE} \bot \vec u \\(B) \times :\overrightarrow{EF} =(0,1,0) \Rightarrow \overrightarrow{EF} \cdot \vec u=1\ne 0\\ (C) \times :\overrightarrow{OF}=(1,1,1) \Rightarrow \overrightarrow{OF} \cdot \vec u=2 \ne 0\\ (D) \times: \overrightarrow{OB}=(1,1,0) \Rightarrow \overrightarrow{OB} \cdot \vec u=2\ne 0\\，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$
解答:$$假設\cases{O(0,0,0) \\A(1,2,3) \\B(1,-2,3)} \Rightarrow \vec n= \overrightarrow{OA}\times \overrightarrow{OB} =(1,2,3) \times (1,-2,3) =(12,0,-4)\\ \Rightarrow E:12x-4z=0 \Rightarrow 3x-z=0\\ \cases{(A) P=(-1,3,-2) \Rightarrow d(P,E)={1\over \sqrt{10} }\\(B)P=(1,3,-2) \Rightarrow d(P,E)={5\over \sqrt{10}} \\(C)P=(-1,3,2) \Rightarrow d(P,E) ={5\over \sqrt{10}} \\ (D)P=(1,-3,-2) \Rightarrow d(P,E)={5\over \sqrt{10}}} \Rightarrow {1\over \sqrt{10}}最小，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$
解答:$$直線L的方向向量與平面E的法向量皆為(3,-2,5) \Rightarrow L與E垂直，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$
解答:$$兩人都沒命中的機率:(1-0.6)(1-0.8)=0.08 \Rightarrow 至少一人命中機率=1-0.08=0.92\\，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$
解答:$${1\times 99\%\over 1\times 99\%+999\times 0.01\%} \approx 0.908，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$
解答:$$A= \begin{bmatrix}1& 2\\2&-1 \end{bmatrix} \Rightarrow A^2= \begin{bmatrix}5&0\\0& 5 \end{bmatrix} \Rightarrow A^4= \begin{bmatrix}25&0\\0& 25 \end{bmatrix} \Rightarrow a+b+c+d =50，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$
解答:$$\left[ \begin{array}{rr|rr}5&-2& 1& 0\\7&-3&0&1 \end{array} \right] \xrightarrow{R_1/5\to R_1} \left[ \begin{array}{rr|rr}1 &-2/5& 1/5& 0\\7&-3 &0 &1 \end{array} \right] \xrightarrow{R_2-7R_1 \to R_2} \left[ \begin{array}{rr|rr}1 &-2/5& 1/5& 0\\ 0&-1/5 &-7/5 &1 \end{array} \right] \\ \xrightarrow{R_1-2R_2\to R_1} \left[ \begin{array}{rr|rr}1 &0 & 3& -2\\ 0&-1/5 &-7/5 &1 \end{array} \right] \xrightarrow{-5R_2\to R_2} \left[ \begin{array}{rr|rr}1 &0 & 3& -2\\ 0&1 &7 &-5 \end{array} \right] \\ \Rightarrow A^{-1} = \begin{bmatrix}3& -2\\7& -5 \end{bmatrix} \Rightarrow a+b+c+ d=3-2+7-5=3，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$
解答:$$轉移矩陣A= \begin{bmatrix}0.8& 0.5\\0.2& 0.5 \end{bmatrix} \Rightarrow A^2 \begin{bmatrix}0.6\\ 0.4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0.74& 0.65\\0.26& 0.35 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}0.6\\ 0.4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0.704\\0.296 \end{bmatrix} \\\Rightarrow 2年後安全區的比例為0.704，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$
解題僅供參考，其他警專入學試題及詳解
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