97年第2次國中基測數學詳解

97年第二次國民中學學生基本學力測驗

試題來源:師大心測中心

解：

一本x元，買了(x+2)本，共花了x(x+2)元

花了500元，找回17元，所以實際花了500-17元

上述兩式相等，即 x(x+2)=500-17，故選(A)。

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解：

BC=8⇒C=(9,-2+8)=(9, 6)；DC=6⇒D=(9-6, 6)=(3, 6)；
DE=4⇒E=(3, 6-4)=(3, 2)；EF=2⇒F=(3+2, 2)=(5, 2)，

故選(B)。

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解：

將y=18代入上式⇒2x+(5/6)18=7⇒2x+15=7⇒2x=-8⇒x=-4。
x+y=(-4)+18=14，故選(C)。

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解：

0.20523－0.20252=0.00271=2.71×10^-3，故選(A)。

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解：

$${2\over 3}\times (1+{1\over 2})-{3\over 2}\div ({1\over 2}-1) ={2\over 3}\times {3\over 2}-{3\over 2}\div (-{1\over 2}) =1-{3\over 2} \times (-2) =1+3=4,故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$。

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解：

以E為圓心，半徑為3畫一圓；以G為圓心，半徑為6畫一圓；兩圓相交處即為H(在乙區)，如下圖。

故選(B)

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解：

共有21球，其中3號球有6顆，因此抽中3號球的機率為6/21=2/7，故選(C)。

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(A)3  (B) 160  (C) 320  (D) 480

解：

故選(D)。

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解：

假設第4次的成績為a分，依題意: 
(87+83+88+a)/4=(87+83+88)/3 +1
⇒3(87+83+88+a)=4(87+83+88)+12
⇒3a=(87+83+88)+12=270⇒a=90，故選(D)。

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(A) 8   (B) 9   (C) 12   (D) 18

解：

假設BE為中垂線(如下圖)，則BD=BC=13。

在直角三角形ABD中，AD²+AB²=BD²⇒AB=12，故選(C)。

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解：

糖果數=21a+17=3×7×a+7×2+3=7×(3a+2)+3，故選(B)。
也就是分成21堆時，每堆有a顆糖；分成7堆時，每堆有(3a+2)顆糖。

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解：

故選(A)。

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解：

故選(A)。

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解：

頂點不變，表示圖形經過(2,3)，只有(A)符合條件，故選(A)。

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解：

同學總人數=1+6+4+x=11+x。
在成績1~15的次數為5%，即1/(11+x)=0.05，因此x=9。
y=x/(x+11)=9/20=45%，y=45。
z=5+30=35, u=5+30+20=55。故選(C)。

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解：

該數列為一等差數列，公差為4，第1個數為3、第2個數為4...，即a_n=(n-1)×4+3。a₁₅=(15-1)×4+3，a₂₀=(20-1)×4+3。
a₂₀-a₁₅=19×4-14×4=5×4=20，故選(D)。

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解：

該設各袋皆有a個球，即(甲, 乙, 丙)=(a, a, a)。
從甲袋取出3球放入乙袋：(a, a, a)⇒(a-3, a+3, a)
再從乙袋取出5球放入丙袋：(a-3, a+3, a)⇒(a-3, a+3-5, a+5) 
丙袋的球數為乙袋的2倍：a+5=2(a+3-5)=2(a-2)=2a-4⇒a=9⇒三袋共有3×9=27球，故選(B)。

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解：

假設第n排的座位有a_n個，即a_n=30+(n-1)×2。
前n排的座位共有s_n個，即s_n=n(n-1)+30n。
前7排共有s₇個座位，s₇=7(7-1)+30×7=252=20×12+12。也就是前7排坐了1~12班的同學，再加上第13班12位同學。
第8排有a₈=30+7×2=44個座位，即有8位第13班的同學及第14班全班(20位)及第15班44-8-20=16位同學坐在第8排，故選(C)。

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解：

故選(D)。

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解：

甲:乙=7:3⇒乙=(3/10)(甲+乙)⇒乙=(3/20)(甲+乙+丙+丁)
丙:丁=5:9⇒丙=(5/14)(丙+丁)⇒丙=(5/28)(甲+乙+丙+丁)
乙:丙=(3/20):(5/28)=21:25，故選(C)。

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解：

10^2a＋1＝1000000000=10⁹⇒2a+1=9⇒a=4

1000^b-1＝10^3b-3＝10⁹⇒3b-3=9⇒b=4

a+b=4+4=8，故選(A)。

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解：

B＝( 5x+6 )² ( 4x²-9 )=( 5x+6 )² (2x+3)(2x-3)⇒

A、B的公因式=(5x+6)(2x-3)，故選(B)。

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解：

△ABC為直角⇒AB²+BC²=AC²⇒AC=5
G為重心⇒D=(AC)/2=5/2
△ABC為直角且D為AC中心⇒AD=DC=BD=5/2
MG:BF=AG:AF=2:3⇒MG:(BC)/2=MG:3/2=2:3⇒MG=1
GN:EB=CG:CE=2:3⇒GN:2=2:3⇒GN=4/3
灰色面積=GN×MG=(4/3)×1=4/3，故選(D)。

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解：

五邊形內角總和=(5-2)×180=540⇒∠BCD＝540-(103+110+113+115) = 99。
AB//A'C⇒∠ABC=∠A'CC'=115
∠BCD=∠BCA'+∠A'CD=99--------(1)
∠A'CC'=∠A'CD+∠DCC'=115-----(2)
∠BCC'=直線=∠BCA'+∠A'CD+∠DCC'=180---(3)
(1)+(2)-(3)⇒∠A'CD=99+115-180=34，故選(C)。

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解：

故選(D)。

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解：

△ADH與△FGH相似⇒DH:HG=DA:FG=1:7⇒令DH=k, HG=7k⇒CD+DH+HG=7⇒1+k+7k=7⇒k=6/8=3/4，故選(B)。

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解：

x+y代表原袋中球數，為一固定值，即x+y=a，故選(C)。

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解：

(A) A到B的距離|a-b|與C到D的距離|2b|　　
(B) A到C的距離|b|與B到D的距離|a-2b|　　　
(C) B到C的距離|a|與B到原點的距離|b|　　　
(D) A到B的距離|a-b|與D到原點的距離|a-b|
故選(D)。

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29. 下列各選項所呈現的資料，哪一個中位數最小？

解：

各選項的累積百分比分別為
(A) 30%, 40%, 45%, 60%, 100%
(B)   5%, 20%, 45%, 85%, 100%
(C)   5%, 25%, 35%, 65%, 100%
(D) 35%, 65%, 85%, 95%, 100%
在(D)中，成績低於39分的人數已過半了，故選(D)。

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解：

由於E為圓心，FE=EC=半徑=12

在直角三角形FEB中，斜邊FE是BE的2倍長，因此∠FEB=60°⇒∠FEC=120°⇒扇形EFC面積=12×12×π/3=48π

△FBE面積=6√3×6÷2=18√3

灰色面積=48π+18√3，故選(A)。

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解：

72=12×6，12為其最大公因數，所以該數為2的倍數，也是3的倍數，也是4的倍數，不是8的倍數，也不是9的倍數。
2的倍數⇒b=0,2,4,6,8
3的倍數⇒1+a+b=3,6,9,12,15,18

先列出2的倍數，且為3的倍數，共有17個。在從中挑出4的倍數(末二位數是4的倍數)，共有8個。再扣掉不是8的倍數，也不是9的倍數，只剩下132與156，其a+b=5及11，故選(B)。

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解：

上方表面積=下方表面積=14, 合計28
左邊表面積=右邊表面積=背面表面積=16, 合計48
前方(凹進去)表面積=24
總共28+48+24=100，故選(D)。

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解：

∠CAB=90°且I為內心⇒∠CAI=45°⇒A向右1再向上1在直線AI上，即(3,2)在直線AI上。
通過(2,1)及(3,2)的直線方程式為y=x-1⇒x=0時，y=-1，即(0,-1)，故選(B)。
補充: 直線AI的斜率為1(因為角A為直角，且AI為角平分線)，直線AI方程式可寫成y=x+b，加上過(2,1)，可求得b=-1。

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對於兩人的做法，下列哪一個判斷是正確的？
(A) 兩人都正確　　(B) 兩人都錯誤　　
(C) 甲正確，乙錯誤　　(D) 甲錯誤，乙正確
解：

由於圓心與切點的連線垂直切線，且圓心也在圓上任一弦的中垂線上，所以兩者的交點為圓心，即甲的作法正確。

△OAB為直角⇒OA>AB⇒以A為圓心, AB為半徑畫出的圓並不會經過圓心O，所以乙的作法不正確。故選(C)。

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解題僅供參考,其他歷年試題及詳解