104年臺南區特招數學詳解

試題來源:臺南一中

解：

提示二：a=3x

提示三：a-6=b ⇒3x-6=b

提示四：55b=c⇒55(3x-6)=c

提示五：c+200=2015⇒55(3x-6)+200=2015⇒165x-330+200=2015

⇒165x-130=2015⇒165x=2145⇒x=13，故選(B)。

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解：

交點在y軸上，代表當x=0時，兩式y值相同。

即，左式y=4，右式y=8/b⇒4=8/b⇒b=2，故選(B)。

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解：

99/1858 =  0.053，故選(A)。

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解：

3713 ⇒2013年第37週，37/4=9餘1，故選(C)。

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解：

有31位同學，中位數落在第16人身上。

答對1題的人數+答對2題的人數+答對3題的人數+答對4題的人數+答對5題的人數+答對6題的人數 = 4+2+3+1+4+1 =  15，沒有人答對題數為7，加上答對題數為8的3人，15+3>16，所以中位數為8，故選(D)。

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解：

用圓周角對應的圓弧來解釋

CD為直徑⇒∠DBC=90°⇒弧DA+弧AC=90⇒弧AC=56

AB為直徑⇒∠ACB=90°⇒弧BE+弧DE+弧DA=90⇒32+弧DE+34=90⇒弧DE=24

CD為直徑⇒∠DAC=90°⇒弧CB+弧BE+弧ED=90⇒弧CB+32+24=90⇒弧CB=34

∠EDC =  弧CB+弧BE = 34+32 =66，故選(A)。

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解：

因此當x=1時有最小值-1，故選(A)。

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解：

假設公差為d，則a1+a2+a3=a1+(a1+d)+(a1+2d) = 3a1+3d = 3+3d = 30  ⇒ d=9。

假設最接近2015的數列為第n項，即a1+(n-1)d = 2015  ⇒1+(n-1)9=2015 ⇒9(n-1)=2014⇒n-1=2014/9=223.77⇒n=224.77，故選(C)。

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解：

無實數解 ⇒a²-96<0⇒-4√6<a<4√6⇒-9.8<a<9.8

有相異實數解 ⇒25-8a>0⇒25/8>a⇒a<3.125

兩式合併，可得-9.8<a<3.125⇒a=-9, -8, ..., 0, 1, 2, 3

共有13個整數解，故選(B)。

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解：

速度比，甲:乙=5:4，乙:丙=6:5

⇒甲:乙:丙=15:12:10

令甲=15K, 乙=12K,丙=10K

甲+乙+丙=15K+12K+10K=555⇒37K=555⇒ K= 15

甲-丙=15K-10K=5K=75，故選(D)。

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解：

從上圖黃色區域的數列1、9、17、25...

該數列為公差為8的等差數列a₁,a₂,...,a_n,...

當n為奇數時，順時針排列

當n為偶數時，逆時針排列

現在要求a_n，且a_n≤1023 ⇒1+(n-1)8≤1023⇒n≤128.75

當n=128時，a_n=1+(128-1)8=1017

n為偶數，逆時針排列如上圖，1023在第一象限，，故選(A)。

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解：

共有1+2+3+4+5+6=21個球，因此抽中各球的機率分別為：

1號球：1/21、2號球：2/21、3號球：3/21、4號球：4/21、5號球：5/21、6號球：6/21。

700元相當899元打77折(700/899=0.778)，因此抽中1~4號皆可用低於700元的價格買下路跑褲，其機率為(1+2+3+4)/21 = 10/21=0.476，故選(B)。

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解：

△ABC=△PAB+△PAC+△PBC = 12(2+3+h)/2 = 36√3

 ⇒5+h=6√3 ⇒ h=6√3-5 = 6×1.732(試題提供) -5= 5.392，

故選(C)。

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解：

此題相當於a⁴=20152015，求a=?

(A)40⁴=2560000

(B)50⁴=6250000

(C)60⁴=12960000

(D)70⁴=24010000

最接近20152015的是24010000，故選(D)。

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解：

假設台南市人口為a、左鎮區的65歲以上的人口為b，

依題意左鎮區的0~14歲的人口為0.07a，且

扶養比為(0.07a+b)/(a-0.07a-b) = 0.48 ⇒(0.07a+b)/(0.93a-b) 

⇒0.4464a-0.48b=0.07a+b⇒0.3764a=1.48b⇒b=0.2543a

，故選(D)。

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解：

f(x)有最小值 ⇒a>0

g(0)=a>0，只有圖(D)在x=0時，y值<0，因此圖(D)不符合g(0)>0的要求，故選(D)。

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解：

1184的所有正因數(1184除外)相加=1+2+4+8+16+32+37+74+148+296+592 = 1210，故選(A)。

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解：

BC=BE ⇒∠BCD=∠BED=x°

BE=BA ⇒∠AEB=∠BAE=y°

AC為正方形之對角線⇒∠BAC=∠BCA=45°

△ACE中，45+45+2x+2y=180⇒x+y=45，故選(C)。

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解：

見上圖：

5的對面只能填1,10；

4的對面可填入1、2、8；

6的對面可填入1、2、3。

由於不能重複，(5的對面、4的對面、6的對面)可能的順序為

(1、2、3)、(1、8、2)、(1、8、3)、(10、1、2)、(10、1、3)

(10、2、1)、(10、2、3)、(10、8、1)、(10、8、2)、(10、8、3)

共有10種可能，故選(D)。

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解：

正六邊形的內角為(6-2)×180/6=120度，△DRC為30-60-90的直角三角形，因此DR=a/2、RC=√3×a/2，如上圖。

SR=a/2+a+a/2 = 2a、RQ=√3×a/2+√3×a/2=√3×a

六邊形面積=SR×RQ=2a×√3×a=10√3⇒a=√5=2.236，故選(C)。

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解：

直角△ODB中，r²=h²+6²⇒r²-h²=6²⇒(r+h)(r-h)=36

直角△ADB中，10²=(r+h)²+6²⇒r+h=8代入上式可得r-h=36/8=9/2

由r+h=8及r-h=9/2⇒h=(8-9/2)/2=7/4，故選(C)。

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解：

令乙的速度為a，則甲的速度為3a/2。

速度比 甲：乙=3:2

相遇代表甲乙兩人合走的距離剛好等於長方形周長(16)

3K+2K=16⇒K=3.2⇒每次相遇，甲走了3×3.2=9.6、乙走了2×3.2=6.4；

第四次相遇，甲走了3×3.2×4=38.4，相當於兩圈(16×2=32)又6.4

，即M→2.5→A→3→B→0.9，最接近B點，，故選(B)。

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解：

AP:PC=1:2，令AP=a、PC=2a；

由於是正六邊形，所以Q是AC的中點，即AQ=(a+2a)/2=3a/2，

又AF=AB(邊長相等)=OP

直角△APN三內角為30-60-90⇒PN=AP/√3=a/√3

直角△AQB三內角為30-60-90⇒AB=AQ×(2/√3)=(√3)a

MP:PN=(MO+OP):PN=(PN+AB):PN=(a/√3  +(√3)a):a/√3  = (1+3):1 = 4:1 ⇒比值=4，故選(B)。

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解：

先證明△ADE與△AEB相似(符合AAA)

(1)∠A=∠A

(2)∠AED=∠ABE (對同弧的圓周角與弦切角相等)

由於兩△相似⇒AD:AE=AE:AB⇒AE×AE=AD×AB=(a/2)×a

⇒AE=(√2/2)a

△ABE面積:△ABC面積=AE:AC=(√2/2)a:a  =  (√2/2):1

△ABC面積 =√3a²/4⇒△ABE面積=(√3a²/4)× (√2/2)  = √6a²/8

，故選(A)。

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解：

延長BD交圓於E點，如下圖：

由於BE是直徑，所以∠BCE=90°⇒∠ACE=90-60=30°
∠ABE=∠ACE(對同弧的圓周角)=30°⇒∠ADB=180-∠ABD-∠BAD  = 180-30-75=75°⇒△BDA為等腰，即BD=AB
BE是直徑⇒△BAE為直角△，且三內角為30-60-90  ⇒ AB=BE×√3/2 =10×√3/2 =5√3
因BD=AB，故選(B)。

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--- END---