南二中105學年下學期高三自然組數學期末考詳解

試題來源: exam.naer.edu.tw

解：


x越大則f(x)越大，所以a>0;
圖形與Y軸交於正值，即f(0)=d>0
圖形有兩極值，代表f '(x)有兩實根，且一正一負(兩根之積<0)，又正根離Y軸的距離大於負根離Y軸的距離(即兩根之和>0)
$f'(x)=3ax^2+2bx+c$有兩實根，即$\left(2b\right)^2-12ac>0\Rightarrow b^2-3ac>0$
兩根之積<0 $\Rightarrow \frac{c}{3a}<0\Rightarrow c<0$
兩根之和>0 $\Rightarrow \frac{b}{-3a}>0\Rightarrow b<0$
因此：a>, b<0, c<0, d>0,$b^2-3ac>0$, 故選$\bbox[red,2pt]{(B)、(C)}$。

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解：  $$f '(x)=0\Rightarrow 6x^2+6x-36=0\Rightarrow (x+3)(x-2)=0$$ 因此圖形在x=-3, x=2有極值。由f(2)=16+12-72+25=-19, f(-3)=-54+27+108+25=106，可知圖形如下

 故選$\bbox[red,2pt]{(B)(C)(D)}$。

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解：  $$\begin{cases} \int _{ 0 }^{ 2 }{ \left( a{ x }^{ 2 }+bx-8 \right)  } dx=12 \\ \int _{ 3 }^{ 4 }{ \left( a{ x }^{ 2 }+bx-8 \right)  } dx=64 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \left. { \left[ \frac { a }{ 3 } { x }^{ 3 }+\frac { b }{ 2 } { x }^{ 2 }-8x \right]  } \right| ^{ 2 }_{ 0 }=12\Rightarrow \left( \frac { 8a }{ 3 } +2b-16 \right) =12 \\ \left( \frac { 64a }{ 3 } +8b-32 \right) -\left( 9a+\frac { 9b }{ 2 } -24 \right) =64 \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} 4a+3b=42 \\ 74a+21b=432 \end{cases}\Rightarrow a=3,b=10\\ $$ 因此(a,b)=$\bbox[red,2pt]{(3,10)}$。

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解：  $$\int _{ 2 }^{ 4 }{ \left( { x }^{ 3 }+2x+2 \right)  } dx=\left. { \left[ \frac { 1 }{ 4 } { x }^{ 4 }+{ x }^{ 2 }+2x \right]  } \right| ^{ 4 }_{ 2 }=\left( 64+16+8 \right) -\left( 4+4+4 \right) =88-12=76$$ ，答：$\bbox[red,2pt]{(76)}$。

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解：  $$\left| x+1 \right| =\begin{cases} x+1 & x\ge -1 \\ -x-1 & x\le -1 \end{cases}\Rightarrow \int _{ -3 }^{ 2 }{ \left( \left| x+1 \right| +x \right)  } dx=\int _{ -3 }^{ -1 }{ \left( -x-1+x \right)  } dx+\int _{ -1 }^{ 2 }{ \left( x+1+x \right)  } dx\\ =\int _{ -3 }^{ -1 }{ \left( -1 \right)  } dx+\int _{ -1 }^{ 2 }{ \left( 2x+1 \right)  } dx=(-2)+(6)=4$$ ，答：$\bbox[red,2pt]{(4)}$。

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解：  $$f\left( x \right) =\int _{ 1 }^{ x }{ \left( t-1 \right) \left( { t }^{ 2 }-4t+5 \right)  } dt=\int _{ 1 }^{ x }{ \left( t-1 \right) \left( t-5 \right) \left( t+1 \right)  } dt$$ 由上式可知x=2,5,-1時，f(x)有極值。又 $$f\left( x \right) =\int _{ 1 }^{ x }{ \left( t-1 \right) \left[ { \left( t-1 \right)  }^{ 2 }+1 \right]  } dt=\int _{ 1 }^{ x }{ \left( t-1 \right) ^{ 3 }+\left( t+1 \right)  } dt=\left. \left[ \frac { 1 }{ 4 } { (t-1) }^{ 4 }+\frac { 1 }{ 2 } { (t-1) }^{ 2 } \right]  \right| ^{ x }_{ 1 }\\ =\frac { 1 }{ 4 } { (x-1) }^{ 4 }+\frac { 1 }{ 2 } { (x-1) }^{ 2 }\Rightarrow f\left( 2 \right) <f\left( -1 \right) <f\left( 5 \right) \Rightarrow x=2有最小值$$ 答：x=$\bbox[red,2pt]{(2)}$。

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解：  $$\int _{ -1 }^{ 1 }{ \left( x^{ 3 }+x+1 \right) ^{ 3 }\left( 3x^{ 2 }+1 \right)  } dx=\left. \left[ \frac { 1 }{ 4 } { (x^{ 3 }+x+1) }^{ 4 } \right]  \right| ^{ 1 }_{ -1 }=\left[ \frac { 81 }{ 4 }  \right] -\left[ \frac { 1 }{ 4 }  \right] =20$$ 答$\bbox[red,2pt]{(20)}$。

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解：
f(x)=x(x+2)(x-2)，因此f(x)與X軸交於(0,0),(2,0)及(-2,0)，可得圖形如下：

f(-1)至f(3)之間與x軸圍成的面積為 $$\int _{ -1 }^{ 3 }{ \left| f\left( x \right)  \right|  } dx=\int _{ -1 }^{ 0 }{ f\left( x \right)  } dx+\int _{ 0 }^{ 2 }{ -f\left( x \right)  } dx+\int _{ 2 }^{ 3 }{ f\left( x \right)  } dx\\ =\left. \left[ \frac { 1 }{ 4 } { x }^{ 4 }-2{ x }^{ 2 } \right]  \right| ^{ 0 }_{ -1 }+\left. \left[ -\frac { 1 }{ 4 } { x }^{ 4 }+2{ x }^{ 2 } \right]  \right| ^{ 2 }_{ 0 }+\left. \left[ \frac { 1 }{ 4 } { x }^{ 4 }-2{ x }^{ 2 } \right]  \right| ^{ 3 }_{ 2 }\\ =\frac { 7 }{ 4 } +4+\frac { 25 }{ 4 } =12$$

答：$\bbox[red,2pt]{(12)}$。

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解： $f'\left( x \right) =3x^{ 2 }-4x+1=(3x-1)(x-1)$，因此x=1,x=1/3有極值。
f(1)=1-2+1-1=-1,  f(1/3)=1/27-2/9+1/3-1=-23/27，兩者相加=-50/27

答：$\bbox[red,2pt]{(-50/27)}$。

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解：  $$f'\left( x \right) =3x^{ 2 }+2ax+b=3(x-3)(x-1)=3x^{ 2 }-12x+9\\ \Rightarrow a=-6,b=9\Rightarrow f\left( x \right) =x^{ 3 }-6x^{ 2 }+9x+c\\ x=3有極小值2\Rightarrow f(3)=27-54+27+c=2\Rightarrow c=2\\ \therefore a+b+c=-6+9+2=5$$
答：$\bbox[red,2pt]{(5)}$。

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解：  $$令\int _{ 1 }^{ 2 }{ f\left( x \right)  } dx=k\Rightarrow \int _{ 1 }^{ 2 }{ \left[ 12x^{ 3 }-21{ x }^{ 2 }+2kx-20 \right]  } dx=k\\ \Rightarrow \left. \left[ 3x^{ 4 }-7{ x }^{ 3 }+kx^{ 2 }-20x \right]  \right| ^{ 2 }_{ 1 }=k\Rightarrow \left[ 48-56+4k-40 \right] -\left[ 3-7+k-20 \right] =k\\ \Rightarrow \left[ 4k-48 \right] -\left[ k-24 \right] =k\Rightarrow k=12\\ \Rightarrow f\left( x \right) =12x^{ 3 }-21{ x }^{ 2 }+24x-20\Rightarrow f\left( 1 \right) =\bbox[red,2pt]{-5}$$

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解：
先求兩拋物線交點，即$6x-x^2=x^2-2x\Rightarrow  2x(x-4)=0\Rightarrow$ x=0,x=4有交點。

兩拋物線所圍面積= $$\int _{ 0 }^{ 4 }{ \left[ \left( 6x-x^{ 2 } \right) -\left( x^{ 2 }-2x \right)  \right]  } dx=\int _{ 0 }^{ 4 }{ \left[ -2x^{ 2 }+8x \right]  } dx=\left. \left[ \frac { -2 }{ 3 } x^{ 3 }+4x^{ 2 } \right]  \right| ^{ 4 }_{ 0 }\\ =\frac { -128 }{ 3 } +64=\frac { 64 }{ 3 }$$

答：$\bbox[red,2pt]{(\frac{64}{3})}$。

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解：

上圖斜線區域與下圖是一樣的，目前水量相當於下圖斜線區域繞X軸所得之體積

斜線區域繞X軸所得之體積= $$\int _{ a/2 }^{ a }{ { \pi y }^{ 2 } } dx=\pi \int _{ a/2 }^{ a }{ { a }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } } dx=\pi \left[ { a }^{ 2 }\times \frac { a }{ 2 }  \right] -\pi \left. \left[ \frac { 1 }{ 3 } { x }^{ 3 } \right]  \right| ^{ a }_{ a/2 }\\ =\frac { { \pi a }^{ 3 } }{ 2 } -\frac { 7{ \pi a }^{ 3 } }{ 24 } =\frac { 5{ \pi a }^{ 3 } }{ 24 }$$ 流出水量=半球體積減去上述體積，即 $$\frac { 4{ \pi a }^{ 3 } }{ 3 } \times \frac { 1 }{ 2 } -\frac { 5{ \pi a }^{ 3 } }{ 24 } =\left( \frac { 2 }{ 3 } -\frac { 5 }{ 24 }  \right) { \pi a }^{ 3 }=\bbox[red,2pt]{\frac { 11 }{ 24 } { \pi a^3 }}$$

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解：  $$令g\left( t \right) =2t^{ 100 }+3t^{ 10 }-1\Rightarrow \lim _{ x\rightarrow -1 }{ \frac { F(x) }{ x+1 }  } =g\left( -1 \right) =2+3-1=4$$ 答：$\bbox[red,2pt]{(4)}$。

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解：

上圖每一矩形的寬皆為1/n，高分別為$1^2, (1+1/n)^2, (1+2/n)^2, ..., [1+(n-1)/n]^2$
下和=上圖所有矩形面積的和= $$\frac { 1 }{ n } \sum _{ k=0 }^{ n-1 }{ { \left( 1+\frac { k }{ n }  \right)  }^{ 2 } } =\frac { 1 }{ n } \sum _{ k=0 }^{ n-1 }{ { \left( 1+\frac { 2k }{ n } +\frac { { k }^{ 2 } }{ { n }^{ 2 } }  \right)  } } =\frac { 1 }{ n } \sum _{ k=0 }^{ n-1 }{ 1 } +\frac { 2 }{ n^{ 2 } } \sum _{ k=0 }^{ n-1 }{ k } +\frac { 1 }{ n^{ 3 } } \sum _{ k=0 }^{ n-1 }{ { k }^{ 2 } } \\ =\frac { 1 }{ n } \times n+\frac { 2 }{ n^{ 2 } } \times \frac { (n-1)n }{ 2 } +\frac { 1 }{ n^{ 3 } } \times \frac { (n-1)n(2n-1) }{ 6 } =1+\frac { n-1 }{ n } +\frac { (n-1)(2n-1) }{ 6{ n }^{ 2 } } \\ =1+1-\frac { 1 }{ n } +\frac { 2{ n }^{ 2 }-3n+1 }{ 6{ n }^{ 2 } } =2-\frac { 1 }{ n } +\frac { 1 }{ 3 } -\frac { 1 }{ 2n } +\frac { 1 }{ 6{ n }^{ 2 } } =\frac { 7 }{ 3 } -\frac { 3 }{ 2n } +\frac { 1 }{ 6{ n }^{ 2 } } \\ \Rightarrow a=\frac { 7 }{ 3 } ,b=-\frac { 3 }{ 2 } ,c=\frac { 1 }{ 6 }$$

上圖每一矩形的寬皆為1/n，高分別為$(1+1/n)^2, (1+2/n)^2, ..., [1+n/n]^2$
上和=上圖所有矩形面積的和= $$\frac { 1 }{ n } \sum _{ k=1 }^{ n }{ { \left( 1+\frac { k }{ n }  \right)  }^{ 2 } } =\frac { 1 }{ n } \sum _{ k=1 }^{ n }{ { \left( 1+\frac { 2k }{ n } +\frac { { k }^{ 2 } }{ { n }^{ 2 } }  \right)  } } =\frac { 1 }{ n } \sum _{ k=1 }^{ n }{ 1 } +\frac { 2 }{ n^{ 2 } } \sum _{ k=1 }^{ n }{ k } +\frac { 1 }{ n^{ 3 } } \sum _{ k=1 }^{ n }{ { k }^{ 2 } } \\ =\frac { 1 }{ n } \times n+\frac { 2 }{ n^{ 2 } } \times \frac { (n+1)n }{ 2 } +\frac { 1 }{ n^{ 3 } } \times \frac { (n+1)n(2n+1) }{ 6 } =1+\frac { n+1 }{ n } +\frac { (n+1)(2n+1) }{ 6{ n }^{ 2 } } \\ =1+1+\frac { 1 }{ n } +\frac { 2{ n }^{ 2 }+3n+1 }{ 6{ n }^{ 2 } } =2+\frac { 1 }{ n } +\frac { 1 }{ 3 } +\frac { 1 }{ 2n } +\frac { 1 }{ 6{ n }^{ 2 } } =\frac { 7 }{ 3 } +\frac { 3 }{ 2n } +\frac { 1 }{ 6{ n }^{ 2 } } \\ \Rightarrow d=\frac { 7 }{ 3 } ,e=\frac { 3 }{ 2 } ,f=\frac { 1 }{ 6 }$$ 因此a+b+c+d+e+f = $2(\frac{7}{3}+\frac{1}{6})=\bbox[red,2pt]{5}$。

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解： 令g(x)=$\frac{1}{3}x^3-4x+a$，由題意可知f(x)=g'(x)=$x^2-4$。因此 $$\int _{ 2 }^{ x }{ f\left( t \right)  } dt=\int _{ 2 }^{ x }{ \left[ t^{ 2 }-4 \right]  } dt=\left. \left[ \frac { 1 }{ 3 } t^{ 3 }-4t \right]  \right| ^{ x }_{ 2 }=\frac { 1 }{ 3 } x^{ 3 }-4x+\frac { 16 }{ 3 } \Rightarrow a=\bbox[red,2pt]{\frac { 16 }{ 3 }}$$
 令f(x)=0，則$x^2-4=0$，函數與X軸交於A=(2,0)及B(-2,0)兩點，圖形如下

該圖形繞X軸所圍體積為 $$\int _{ -2 }^{ 2 }{ \left[ f\left( x \right)  \right] ^{ 2 }\pi  } dx=\int _{ -2 }^{ 2 }{ \left[ x^{ 2 }-4 \right] ^{ 2 }\pi  } dx=\int _{ -2 }^{ 2 }{ \left[ x^{ 4 }-8x^{ 2 }+16 \right] \pi  } dx=\pi \left. \left[ \frac { 1 }{ 5 } x^{ 5 }-\frac { 8 }{ 3 } x^{ 3 }+16x \right]  \right| ^{ 2 }_{ -2 }\\ =\pi \left[ \frac { 32 }{ 5 } -\frac { 64 }{ 3 } +32 \right] -\pi \left[ -\frac { 32 }{ 5 } +\frac { 64 }{ 3 } -32 \right] =\pi \left[ \frac { 64 }{ 5 } -\frac { 128 }{ 3 } +64 \right] =\bbox[red,2pt]{\frac { 512 }{ 15 } \pi}$$

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解：

把圖形逆時鐘豎起來，就會得到以下圖形(紅線區域為水)

紅色區域可以許多的綠色三角形所組成。以上圖$\triangle ABC$為例，依題意：$\overline{OA}=半徑=4，且\angle CBA=45度$。
令$\overline{OB}=x\Rightarrow \overline{AB}=\sqrt{4^2-x^2} \Rightarrow \triangle ABC= {\overline{AB}}^2\div 2={\sqrt{4^2-x^2}}^2\div 2$。因此體積可由下式求得：
$$\int _{ -4 }^{ 4 }{ \left[ \frac { 1 }{ 2 } { \sqrt { { 4 }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } }  }^{ 2 } \right]  } dx=\frac { 1 }{ 2 } \int _{ -4 }^{ 4 }{ \left[ 16-{ x }^{ 2 } \right]  } dx=\frac { 1 }{ 2 } \int _{ -4 }^{ 4 }{ 16 } dx-\frac { 1 }{ 2 } \int _{ -4 }^{ 4 }{ { x }^{ 2 } } dx\\ =64-\frac { 1 }{ 2 } \left. \left[ \frac { 1 }{ 3 } { x }^{ 3 } \right]  \right| ^{ 4 }_{ -4 }=64-\frac { 128 }{ 6 } =\bbox[red,2pt]{\frac { 128 }{ 3 }}$$

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-- end --