朱式幸福: 105年警專35期乙組數學科詳解

$\bbox[blue,2pt]解：$

$a=\log _{ 2 }{ 3 } ,b=\log _{ 3 }{ 11 } \Rightarrow ab=\log _{ 2 }{ 11 } \\ \log _{ 22 }{ 33 } =\frac { \log { 33 } }{ \log { 22 } } =\frac { \log _{ 2 }{ 33 } }{ \log _{ 2 }{ 22 } } =\frac { \log _{ 2 }{ 3 } +\log _{ 2 }{ 11 } }{ \log _{ 2 }{ 2 } +\log _{ 2 }{ 11 } } =\frac { a+ab }{ 1+ab }$

故選

$\bbox[red,2pt]{(A)}$

$\bbox[blue,2pt]解：$

$\overrightarrow { AB } \cdot \overrightarrow { BC } =\left| \overrightarrow { AB } \right| \left| \overrightarrow { BC } \right| \cos { \left( 180°-60° \right) } =2\times 2\times \left( -\frac { 1 }{ 2 } \right) =-2$

故選

$\bbox[red,2pt]{(A)}$

$\bbox[blue,2pt]解：$

$\begin{cases} \left| x-3 \right| \le 2 \\ \left| x-1 \right| \le 2 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 1\le x\le 5 \\ -1\le x\le 3 \end{cases}\Rightarrow 1\le x\le 3\\ \Rightarrow \left| x-2 \right| \le 1\Rightarrow \left( a,b \right) =\left( 2,1 \right)$

故選

$\bbox[red,2pt]{(D)}$

$\bbox[blue,2pt]解：$

$\left( 2+\sqrt { 3 } \right) x+\left( 1-\sqrt { 3 } \right) y=-3\sqrt { 3 } \Rightarrow \left( 2x+y \right) +\left( x-y \right) \sqrt { 3 } =-3\sqrt { 3 } \\ \Rightarrow \begin{cases} 2x+y=0 \\ x-y=-3 \end{cases}\Rightarrow x=-1,y=2$

故選

$\bbox[red,2pt]{(B)}$

$\bbox[blue,2pt]解：$

$f\left( x \right) =\left( 1-x \right) +{ \left( 1-x \right) }^{ 2 }+{ \left( 1-x \right) }^{ 3 }+\cdots +{ \left( 1-x \right) }^{ 10 }\\ =\frac { \left( 1-x \right) \left[ 1-\left( 1-x \right) ^{ 10 } \right] }{ 1-\left( 1-x \right) } =\frac { \left( 1-x \right) -\left( 1-x \right) ^{ 11 } }{ x } \\ \Rightarrow xf\left( x \right) =\left( 1-x \right) -\left( 1-x \right) ^{ 11 }\Rightarrow x^{ 3 }的係數=C^{11}_8=165$

故選

$\bbox[red,2pt]{(A)}$

$\bbox[blue,2pt]解：$

$C^7_3\times C^4_2\times C^2_2=210$ ，故選

$\bbox[red,2pt]{(C)}$

$\bbox[blue,2pt]解：$

假設正方形邊長為x，則

$\overline{BM}=\overline{MC}=\frac{x}{2}，且\overline{AC}=\sqrt{2}x, \overline{AM}=\frac{\sqrt{5}x}{2}$ ，如上圖。
利用餘弦定理：

${ \overline { MC } }^{ 2 }={ \overline { AM } }^{ 2 }+{ \overline { AC } }^{ 2 }-2{ \overline { AM } }\cdot { \overline { AC } }\cos { \angle MAC } \\ \Rightarrow \frac { x^{ 2 } }{ 4 } =\frac { 5x^{ 2 } }{ 4 } +2x^{ 2 }-\sqrt { 10 } x^{ 2 }\cos { \alpha } \Rightarrow \cos { \alpha } =\frac { 3 }{ \sqrt { 10 } }$

故選

$\bbox[red,2pt]{(B)}$

$\bbox[blue,2pt]解：$
相當於由

$\overrightarrow{AB}及\overrightarrow{AC}$ 所展開的平行四邊形面積的4倍，即

$4\times \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \\ -1 & 4 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}=4\times \left( 3+8-1-2+3-4 \right) =4\times 7=28$ 故選

$\bbox[red,2pt]{(A)}$

$\bbox[blue,2pt]解：$

$\overline{BC}=\overline{AB}\times\sqrt{3}\div 2=3$ ，故選

$\bbox[red,2pt]{(B)}$

$\bbox[blue,2pt]解：$
直線L: x-2y+2=0，斜率為1/2。與此直線垂直的直線M 斜率為-2，因此M可寫成 y=-2x+b。
由於A經過M，所以

$0=-2\times 3+b\Rightarrow b=6$ ，M: y=-2x+6。
兩直線L與M的交點B為 (2, 2)。
令對稱點座標為(m, n) 則

$\frac{m+3}{2}=2且\frac{n+0}{2}=2$ ，可求得m=1,n=4。
故選

$\bbox[red,2pt]{(A)}$

$\bbox[blue,2pt]解：$

先求各直線的交點A、B、C、D如上圖，再將各點代入-2x+y找出最小值。
可求出B點代入-2x+y=-4+1=-3，為最小值，故選

$\bbox[red,2pt]{(C)}$

$\bbox[blue,2pt]解：$
令

$x=\sin{\theta},y=\cos{\theta}\Rightarrow -3x+4y=-3\sin{\theta}+4\cos{\theta} = 5\left( \frac{-3}{5}\sin{\theta}+\frac{4}{5}\cos{\theta}\right)$

$=5\sin{(\alpha+\theta)}\Rightarrow$ 最小值為-5，故選

$\bbox[red,2pt]{(A)}$

$\bbox[blue,2pt]解：$
(A)對稱點為(-a, b, c)
(B) (a,b,c)到原點的距離

$\sqrt{a^2+b^2+c^2}$
(C)(a, b, c)到x軸距離=

$\sqrt{b^2+c^2}$

只有(D)是正確的，故選

$\bbox[red,2pt]{(D)}$

$\bbox[blue,2pt]解：$
E: 2016x+2017y+2018z=k，經過(0,0,0)，所以k=0，故選

$\bbox[red,2pt]{(C)}$

$\bbox[blue,2pt]解：$
解聯立方程組，可求得a=0, b=-2, c=-2，因此-8a-b-c=0+2+2=4，故選

$\bbox[red,2pt]{(B)}$

$\bbox[blue,2pt]解：$
星期三坐捷運的機率=星期二坐捷運且星期三坐捷運及星期二坐公車且星期三坐捷運
=

$0.3\times 0.3+0.7\times 0.4 = 0.09+0.28=0.37$ ，故選

$\bbox[red,2pt]{(B)}$

$\bbox[blue,2pt]解：$
sin的週期為

$2\pi$ ，所以x的週為

$\pi$ ，故選

$\bbox[red,2pt]{(A)}$

$\bbox[blue,2pt]解：$
找抽樣誤差較大的，即p(1-p)要最大，故選

$\bbox[red,2pt]{(B)}$

$\bbox[blue,2pt]解：$
括號內的數字需小於1，只有(D)符合此條件，故選

$\bbox[red,2pt]{(D)}$

$\bbox[blue,2pt]解：$

令最大的正方形S1的邊長為a，第2二大的正方形邊長為b，如上圖。
由於

$\triangle EFG$ 與

$\triangle ABC$ 相似，所以

$\overline{EF}:\overline{GF}= \overline{AB}: \overline{BC}=4:6 \Rightarrow a-b:b=2:3 \Rightarrow$ a:b=5:3

$\Rightarrow S_1:S_2=a^2:b^2 =25:9$
因此所有內接正方形面積的總和S=

$S_1+\frac{9}{25}S_1+{\left(\frac{9}{25}\right)}^2S_1+... = \frac{S_1}{1-\frac{9}{25}}$
由

$\overline{AD}:\overline{ED}=\overline{AB}:\overline{BC}\Rightarrow (4-a):a:4:6$

$\Rightarrow a=\frac{12}{5}\Rightarrow S_1=a^2=\frac{144}{25}\Rightarrow S= \frac{\frac{144}{25}}{1-\frac{9}{25}} = 9$

故選

$\bbox[red,2pt]{(C)}$

$\bbox[blue,2pt]解：$
平方數:

$1^2, 2^2, ..., 9^2, 10^2$ 共有10個；立方數:

$1^3, 2^3, 3^3, 4^3$ 共有4個；
其中

$1^2=1=1^3, 4^3=64=8^2$ ，有2個重複計算，因此共有100-10-4+2=88個，故選

$\bbox[red,2pt]{(B)}$

$\bbox[blue,2pt]解：$

$(A)\sum_{k=1}^{n}{1}=1+1+..+1=n\\ (B)\sum_{k=1}^{3}{a_k}= a_1+a_2+a_3 \neq a_4+a_5+a_6=\sum_{k=4}^{6}{a_k}\\ (C)\sum_{k=1}^{n}{k(k+1)}= \sum_{k=1}^{n}{k^2+k)} =\sum_{k=1}^{n}{k^2}+\sum_{k=1}^{n}{k}\\ (D) \sum_{k=1}^{n}{k^2}=1^2+2^2+...+n^2\neq (1+2+...+n)^2={\left(\sum_{k=1}^{n}{k}\right)}^2$

故選

$\bbox[red,2pt]{(C)}$

$\bbox[blue,2pt]解：$
(A)

$\vec{a}與\vec{b}$ 不同方向，兩者不相等
(C)

$\vec{a}+\overrightarrow{AB}-\vec{b}=0\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a}$
(D)

$\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{DC}=\vec{a}+vec{b}$
故選

$\bbox[red,2pt]{(B)}$

$\bbox[blue,2pt]解：$
由雙曲線方程式可知: a=2, b=

$2\sqrt{3}$ ，因此c=4。又

$\begin{cases} \overline { PF_{ 1 } } +\overline { PF_{ 2 } } =16 \\ \overline { PF_{ 1 } } -\overline { PF_{ 2 } } =2a=4 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \overline { PF_{ 1 } } =10 \\ \overline { PF_{ 2 } } =6 \end{cases}\\ \Rightarrow \triangle PF_{ 1 }F_{ 2 }之三邊分別為\overline { PF_{ 1 } } =10,\overline { PF_{ 2 } } =6,\overline { F_{ 1 }F_{ 2 } } =2c=8\\ \Rightarrow \triangle PF_{ 1 }F_{ 2 }為一直角三角形\Rightarrow 面積=6\times 8\div 2=24$

故選

$\bbox[red,2pt]{(B)}$

$\bbox[blue,2pt]解：$
迴歸直線方程式為

$y-\mu_y=b(x-\mu_x)$ ，由題意可知:

$\mu_x=40\div 10=4, \mu_y=50\div 10=5$ ，且直線過(3,0)，可推得

$0-5=b(3-4)\Rightarrow b=5$ ，因此直線為 y-5=5(x-4)，即 y=5x-15，故選

$\bbox[red,2pt]{(D)}$

$\bbox[blue,2pt]解：$

$\sum{x_i}=8,\sum{x^2_i}=8$
平均數

$\mu_x = 8/10=0.8$ ,標準差=

$\sqrt{(8-10\times 0.8^2)\div 10}=\sqrt{1.6\div 10}=0.4$

故選

$\bbox[red,2pt]{(D)}$

$\bbox[blue,2pt]解：$

$\frac{3}{4}\cdot 8=6$ ，故選

$\bbox[red,2pt]{(D)}$

$\bbox[blue,2pt]解：$

$P\left( B'|A' \right) =\frac { P\left( B'\cap A' \right) }{ P\left( A' \right) } =\frac { 1-P\left( A\cup B \right) }{ 1-P\left( A \right) } =\frac { 1-\left( P\left( A \right) +P\left( B \right) -P\left( A\cap B \right) \right) }{ 1-P\left( A \right) } \\ =\frac { 1-\left( \frac { 3 }{ 4 } +\frac { 1 }{ 3 } -\frac { 3 }{ 4 } \times \frac { 1 }{ 3 } \right) }{ 1-\frac { 3 }{ 4 } } =\frac { 1-\left( \frac { 13 }{ 12 } -\frac { 1 }{ 4 } \right) }{ \frac { 1 }{ 4 } } =\frac { 2 }{ 3 }$

故選

$\bbox[red,2pt]{(C)}$

$\bbox[blue,2pt]解：$

$\left( \log _{ 3 }{ 4 } +\log _{ 9 }{ 2 } \right) \left( \log _{ 4 }{ 9 } +\log _{ 8 }{ 27 } \right) =\left( 2\log _{ 3 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 2 } \log _{ 3 }{ 2 } \right) \left( \log _{ 2 }{ 3 } +\log _{ 2 }{ 3 } \right) \\ =\left( \frac { 5 }{ 2 } \log _{ 3 }{ 2 } \right) \left( 2\log _{ 2 }{ 3 } \right) =5$

故選

$\bbox[red,2pt]{(A)}$

$\bbox[blue,2pt]解：$

$令f\left( x \right) =x^{ 3 }+2x^{ 2 }-3x-1=(x+2)^{ 3 }-4(x+2)^{ 2 }+(x+2)+5\\ \Rightarrow f\left( -2.01 \right) =(-0.01)^{ 3 }-4(-0.01)^{ 2 }+(-0.01)+5\\ =-0.000001-0.0004-0.01+5\approx -0.01+5=4.99$

故選

$\bbox[red,2pt]{(C)}$