105 年度高中學力鑑定考試數學科詳解

臺閩地區 105 年度自學進修普通型高級中等學校畢業程度學力鑑定考試試卷

科目：數學

一、選擇題：(12 題，每題 5 分，共 60 分) 

解：

A中每一個元素可以有3種選擇，所以共有$3\times 3\times 3\times 3=3^4=81$

故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解：

$y^2=8x=4\times 2\times x\Rightarrow$焦點坐標為(2,0)

故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解：

$x^2=\pm 4cx$挑選最小的c值，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解： $$\begin{cases} 奇數項之和為15 \\ 偶數項之和為45 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a_{ 1 }+(a_{ 1 }+2d)+\cdots +(a_{ 1 }+8d)=15 \\ (a_{ 1 }+d)+(a_{ 1 }+3d)+\cdots +(a_{ 1 }+9d)=45 \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} 5a_{ 1 }+20d=15 \\ 5a_{ 1 }+25d=45 \end{cases}\Rightarrow d=6,a_1=-21$$

故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解：
挑選與平均值距離總和最大的數據
(A) 平均值→3，距離總和=2+1+0+1+2=6
(B) 平均值→9，距離總和=6+3+0+3+6=18
(C) 平均值→8，距離總和=2+1+0+1+2=6
(D) 平均值→3，距離總和=0+0+0+0+0=0

故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解：
直線L的方向向量為(3,-1,2)，與平面平行代表直線方向向量與平面法向量的內積為零；
(A) (3,-1,2)‧(3,-1,2)=9+1+4=14
(B) (3,-1,2)‧(1,2,3)=3-2+6=7
(C) (3,-1,2)‧(1,1,-1)=3-1-2=0
(D) (3,-1,2)‧(3,1,2)=9-1+4=12

故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解：
令a, b, c 為三角形之三邊長，則
$a:b:c=\sin{A}:\sin{B}:\sin{C} = 8:15:17\Rightarrow a=8k, b=15k, c=17k \\ \Rightarrow a^2+b^2=289k^2=c^2=(17k)^2\Rightarrow \triangle ABC為直角三角形$

故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解： $$\begin{cases} a_{ 1 }+a_{ 3 }=6 \\ a_{ 2 }+a_{ 4 }=12 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a_{ 1 }+a_{ 1 }r^{ 2 }=6 \\ a_{ 1 }r+a_{ 1 }r^{ 3 }=12 \end{cases}\Rightarrow \frac { a_{ 1 }+a_{ 1 }r^{ 2 } }{ a_{ 1 }r+a_{ 1 }r^{ 3 } } =\frac { 6 }{ 12 } \Rightarrow \frac { 1 }{ r } =\frac { 1 }{ 2 } \Rightarrow r=2$$

故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解： $$\begin{vmatrix} x+2 & 3 \\ 2 & x+1 \end{vmatrix}=0\Rightarrow \left( x+2 \right) \left( x+1 \right) -6=0\Rightarrow x^{ 2 }+3x-4=0\Rightarrow \left( x+4 \right) \left( x-1 \right) =0\\ \Rightarrow x=1(\because x\ge 0,\therefore x\neq -4)$$
故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解： $$\sqrt { 30+\sqrt { 60+\sqrt { 90 }  }  } =\sqrt { 30+\sqrt { 60+9.X }  } =\sqrt { 30+\sqrt { 69.X }  } =\sqrt { 30+8.Y } \\ =\sqrt { 38.Y } =6.Z$$

故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解： $$\left( A \right) \overline { PA } =12\neq 13\\ \left( B \right) \overline { PB } =\sqrt { 10^{ 2 }+5^{ 2 }+12^{ 2 } } =\sqrt { 269 } \neq 13\\ \left( C \right) \overline { PA } =\sqrt { 5^{ 2 }+12^{ 2 }+12^{ 2 } } =\sqrt { 313 } \neq 13\\ \left( D \right) \overline { PA } =\overline { PB } =\sqrt { 5^{ 2 }+0+12^{ 2 } } =13$$

故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解： $$\frac { \pi  }{ 4 } <1<\frac { \pi  }{ 3 } \Rightarrow \cos { \frac { \pi  }{ 3 }  } <\cos { 1 } <\cos { \frac { \pi  }{ 4 }  } \Rightarrow \frac { 1 }{ 2 } <\cos { 1 } <\frac { \sqrt { 2 }  }{ 2 }$$

故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解： $$C^{6+4}_3=C^{10}_3=\frac{10!}{3!7!}=120$$

答：$\bbox[red,2pt]{120}$

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解：
由題意可知：f(-1)=6且f(3)=-2；
令f(x)=P(x)(x+1)(x-3)+ax+b，則f(-1)=6=-a+b且f(3)=-2=3a+b，解聯立方程式可得a=-2,b=4，因此餘式為$\bbox[red,2pt]{-2x+4}$

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解：

$\lim _{ n\to \infty  }{ \frac { 2n-3 }{ n^{ 2 }+1 }  } =\lim _{ n\to \infty  }{ \frac { 2n }{ n^{ 2 } }  } =\lim _{ n\to \infty  }{ \frac { 2 }{ n }  } =0$

答：$\bbox[red,2pt]{0}$

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解：
令C為A、B的中點，則C=(3,4,5)；又過A、B直線的向量即為平面之法向量，即(5-1,6-2,7-3) = (4,4,4)，因此該平面方程式為4x+4y+4z+k=0。由於C在該平面上，即12+16+20+k=0，可得k=-48，平面方程式為4x+4y+4z-48=0即x+y+z-12=0。

答：$\bbox[red,2pt]{x+y+z-12=0}$

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解：
$$\vec{b}+t\vec{c}=(1,-2)+(0,2t)=(1,-2+2t)，又\vec{a}//(\vec{b}+t\vec{c}) \Rightarrow \frac{2}{1}=\frac{1}{-2+2t}\\ \Rightarrow -4+4t=1\Rightarrow t=\frac{5}{4}$$

答：$\bbox[red,2pt]{5/4}$

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解： $${ 4 }^{ -\frac { 3 }{ 2 }  }\times { 27 }^{ \frac { 1 }{ 3 }  }\div \sqrt { { 16 }^{ -3 } } =\frac { { \left( 2^{ 2 } \right)  }^{ -\frac { 3 }{ 2 }  }\times { \left( 3^{ 3 } \right)  }^{ \frac { 1 }{ 3 }  } }{ { 16 }^{ -\frac { 3 }{ 2 }  } } =\frac { 2^{ -3 }\times 3 }{ { \left( 2^{ 4 } \right)  }^{ -\frac { 3 }{ 2 }  } } =\frac { 2^{ -3 }\times 3 }{ 2^{ -6 } } =2^3\times 3=24$$

答：$\bbox[red,2pt]{24}$

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解： $$\begin{cases} 5=3^{ a } \\ 45=3^{ b } \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \log { 5 } =a\log { 3 }  \\ \log { 45 } =b\log { 3 }  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=\frac { \log { 5 }  }{ \log { 3 }  }  \\ b=\frac { \log { 45 }  }{ \log { 3 }  } =2+\frac { \log { 5 }  }{ \log { 3 }  } =2+a \end{cases}\\ \Rightarrow \overline { AB } 斜率=\frac { 45-5 }{ b-a } =\frac { 40 }{ 2 } =20$$

答$\bbox[red,2pt]{20}$

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解：
$\overrightarrow{BA}=(6-2,4-2,-4-1) = (4,2,-5)；\overrightarrow{BC}=(3-2,4-2,-1-1)=(1,2,-2)$
ABCD面積=$|\overrightarrow{BA}\times\overrightarrow{BC}|=|(4,2,-5)\times (1,2,-2)|=|(6,3,6)|$
$=\sqrt{6^2+3^2+6^2}=\sqrt{36+9+36}=\sqrt{81}=9$

答：$\bbox[red,2pt]{9}$

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解： $$H^3_6=C^8_6=28$$

答：$\bbox[red,2pt]{28}$

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解：
假設黑球有a個，則取兩球皆為白球的機率為$\frac{C^7_2}{C^{7+a}_2}=\frac{7}{22}$
$\Rightarrow \frac{7!}{5!2!}\times\frac{(a+5)!2!}{(a+7)!}=\frac{7}{22}\Rightarrow \frac{42}{(a+6)(a+7)}=\frac{7}{22}\Rightarrow a^2+13a+42=132$
$\Rightarrow (a-5)(a+18)=0\Rightarrow a=5$

答：$\bbox[red,2pt]{5}$

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-- END --