101年警專31期甲組數學科詳解

解： $$\frac { n }{ 7 } <\sqrt { 11 } <\frac { n+1 }{ 7 } \Rightarrow \frac { n^{ 2 } }{ 49 } <11<\frac { (n+1)^{ 2 } }{ 49 } \Rightarrow n^{ 2 }<539<\left( n+1 \right) ^{ 2 }\\ \Rightarrow n=23$$

故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解：

經過A及C的直線方程式為 y=-2x+18，與x=y的交點A'為(6, 6)
經過B及C的直線方程式為 2y=-x+12，與x=y的交點B'為(4, 4)
$\overline{A'B'}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解： $$r=\frac { a_{ 2 } }{ a_{ 1 } } =\frac { -1+7i }{ 3+4i } =\frac { \left( -1+7i \right) \left( 3-4i \right)  }{ \left( 3+4i \right) \left( 3-4i \right)  } =\frac { 25+25i }{ 25 } =1+i\\ \Rightarrow \left| a_{ 5 } \right| =\left| a_{ 1 }r^{ 4 } \right| =\left| \left( 3+4i \right) { \left( 1+i \right)  }^{ 4 } \right| =\left| \left( 3+4i \right) { \left( -4 \right)  } \right| =\left| -12-16i \right| \\ =\sqrt { 144+256 } =20$$

故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解：
假設三有理根為a、b、c，則abc=30且a+b+c=14。因此(a,b,c)=(10,3, 1)，即(x-1)(x-3)(x-10)=0 ⇒ $x^3-14x^2+43x-30=0\Rightarrow$k=43，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解：

f(x)=Q(x)(x+1)(x-2)+2x-7 = Q(x)(x+1)(x-2)+2(x-2)-3， 故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解： $$a^{ 6 }={ \left( { 2 }^{ \frac { 1 }{ 2 }  } \right)  }^{ 6 }={ 2 }^{ 3 }=8,b^{ 6 }={ \left( { 3 }^{ \frac { 1 }{ 3 }  } \right)  }^{ 6 }={ 3 }^{ 2 }=9\Rightarrow b>a\\ a^{ 10 }={ \left( { 2 }^{ \frac { 1 }{ 2 }  } \right)  }^{ 10 }={ 2 }^{ 5 }=32,c^{ 10 }={ \left( { 5 }^{ \frac { 1 }{ 5 }  } \right)  }^{ 10 }={ 5 }^{ 2 }=25\Rightarrow a>c$$

因此b>a>c，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解： $$3>\log { { \left( \frac { 5 }{ 4 }  \right)  }^{ n } } >2\Rightarrow 3>n\left( \log { 5 } -\log { 4 }  \right) >2\Rightarrow 3>n\left[ \left( 1-\log { 2 }  \right) -2\log { 2 }  \right] >2\\ \Rightarrow 3>n\left( 1-3\log { 2 }  \right) >2\Rightarrow 3>n\left( 1-3\times 0.301 \right) >2\Rightarrow 3>0.097n>2\\ \Rightarrow 30.9>n>20.6\Rightarrow n=21,22,\cdots ,30$$

整數n共有10個，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解：
三角形面積=$\frac{1}{2}\times a\times h_a =\frac{1}{2}\times b\times h_b =\frac{1}{2}\times c\times h_c \Rightarrow$ 3a=4b=5c ⇒ a:b:c= $\frac{1}{3}:\frac{1}{4}:\frac{1}{5}$ = 20:15:12。因此非等腰，也非直角三角形，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解： $${ \overline { BD }  }^{ 2 }={ \overline { AB }  }^{ 2 }+{ \overline { AD }  }^{ 2 }-2{ \overline { AB }  }{ \overline { AD }  }\cos { \angle A } ={ \overline { CB }  }^{ 2 }+{ \overline { CD }  }^{ 2 }-2{ \overline { CB }  }{ \overline { CD }  }\cos { \angle C } \\ \Rightarrow 36+16-48\cos { \left( 180-\angle C \right)  } =9+16-24\cos { \angle C } \\ \Rightarrow 52+48\cos { \angle C } =25-24\cos { \angle C } \Rightarrow \cos { \angle C } =\frac { -27 }{ 72 } =\frac { -3 }{ 8 } \\ \Rightarrow { \overline { BD }  }^{ 2 }=25-24\cos { \angle C } =25+9=34\Rightarrow \overline { BD } =\sqrt { 34 }$$

故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解： $$32+32\sqrt { 3 } i=64\left( \frac { 1 }{ 2 } +\frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 } i \right) =64\left( \cos { \theta  } +i\sin { \theta  }  \right) \\ \Rightarrow { \left( 32+32\sqrt { 3 } i \right)  }^{ \frac { 1 }{ 6 }  }={ \left[ 64\left( \cos { \theta  } +i\sin { \theta  }  \right)  \right]  }^{ \frac { 1 }{ 6 }  }=2\left( \cos { \frac { \theta  }{ 6 }  } +i\sin { \frac { \theta  }{ 6 }  }  \right)$$

因此該六邊形為邊長為2的正六邊形，面積=$6\sqrt{3}$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解： $$\vec { a } \cdot \vec { b } =\left| \vec { a }  \right| \left| \vec { b }  \right| \cos { 60° } =2\times 3\times \frac { 1 }{ 2 } =3\\ \Rightarrow \left( \vec { a } +(t+2)\vec { b }  \right) \cdot \left( -2\vec { a } +t\vec { b }  \right) =-2\left| \vec { a }  \right| ^{ 2 }+t\vec { a } \cdot \vec { b } -2(t+2)\vec { a } \cdot \vec { b } +t(t+2)\left| \vec { b }  \right| ^{ 2 }\\ =-8+3t-6(t+2)+9t(t+2)=9t^{ 2 }+15t-20=9{ \left( t+\frac { 5 }{ 6 }  \right)  }^{ 2 }-\frac { 105 }{ 4 }$$

故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解：
P座標為$\left(3+(1-3)\frac{3}{4},2+(4-2)\frac{3}{4}\right)=\left(\frac{3}{2},\frac{7}{2}\right)$，代入y=mx-5可得$\frac{7}{2}=\frac{3}{2}m-5\Rightarrow m=\frac{17}{3}$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解：
令D為直線$\overline{AC}$上的點，且直線$\overline{AC}\bot\overline{BD}$
直線$\overline{AC}$方程式為$\frac{x-2}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-1}{1}$，因此令D點坐標為   (-t+2,  2t-1,   t+1)。由於$\overline{AC}\bot\overline{BD}\Rightarrow \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}$=0，即(-1,2,1)$\cdot$(-t+3,   2t-3,  t+1)=0⇒t=4/3 ⇒D點坐標為(2/3, 5/3, 7/3)   ⇒B至直線距離為$\sqrt{(\frac{5}{3})^2+(\frac{1}{3})^2+(\frac{7}{3})^2}=\sqrt{\frac{75}{9}}=\frac{5\sqrt{3}}{3}$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解：
$L_1$的方向向量為$\vec{u}$=(1,2,-2)，$L_2$的方向向量為$\vec{v}$=(1,1,1)，顯然兩直線不相等，也不平行；
令$\vec{w}=\vec{u}\times\vec{v}$=(4,-3,-1)，則$\vec{w}\cdot\vec{u}$=4-6+2=0，且$\vec{w}\cdot\vec{v}$=4-3-1=0。也就是$\vec{w}$與$\vec{u}$垂直，也與$\vec{v}$垂直

故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解：
圓C: $(x-3)^2+(y-1)^2=2^2\Rightarrow$ 圓半徑=2，圓在直線的正射影長為直徑=4，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解： $$x^{ 2 }+y^{ 2 }+z^{ 2 }+4x-6y-2z+5=0\Rightarrow { (x+2) }^{ 2 }+{ (y-3) }^{ 2 }+{ (z-1) }^{ 2 }=9\\ 利用柯西不等式：\\\left( { (x+2) }^{ 2 }+{ (y-3) }^{ 2 }+{ (z-1) }^{ 2 } \right) (2^{ 2 }+1^{ 2 }+1^{ 2 })\ge \left( 2(x+2)+(y-3)+(z-1) \right) ^{ 2 }\\ \Rightarrow 9\times 6\ge \left( 2x+y+z \right) ^{ 2 }\Rightarrow \sqrt { 54 } \ge 2x+y+z\ge -\sqrt { 54 } \Rightarrow 3\sqrt { 6 } \ge 2x+y+z\ge -3\sqrt { 6 }$$

故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解：
令$\overline{AP}=a$，則$\overline{BP}=18-8-a=10-a$；
三角形面積=$\sqrt{9(9-8)(9-a)(9-(10-a)}=12\Rightarrow \sqrt{(a-9)(a-1)}=4\Rightarrow$
$a^2-10a-7=0$，此二元一次方程式有兩個解(判別式>0)，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解： $${ y }^{ 2 }-2ky-{ kx }^{ 2 }-4x+6=0\Rightarrow { \left( y-k \right)  }^{ 2 }-k{ \left( x+\frac { 2 }{ k }  \right)  }^{ 2 }+6-{ k }^{ 2 }+\frac { 4 }{ { k } } =0\\ \Rightarrow k{ \left( x+\frac { 2 }{ k }  \right)  }^{ 2 }-{ \left( y-k \right)  }^{ 2 }=-{ k }^{ 2 }+6+\frac { 4 }{ { k } } \Rightarrow k>0且-{ k }^{ 2 }+6+\frac { 4 }{ { k } } >0\\ \Rightarrow k>0\quad and\quad k^{ 2 }-6k-4<0\Rightarrow k>0\quad and\quad (k+2)(k^{ 2 }-2k-2)<0\\ \Rightarrow k>0\quad and\quad 1-\sqrt { 3 } <k<1+\sqrt { 3 } \Rightarrow 0<k<1+\sqrt { 3 }$$

故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解： $${ \left( 3x^{ 2 }-\frac { 5 }{ x }  \right)  }^{ 4 }=\sum _{ k=0 }^{ 4 }{ C^{ 4 }_{ k }{ \left( 3x^{ 2 } \right)  }^{ k }{ \left( -\frac { 5 }{ x }  \right)  }^{ 4-k } } \\ \Rightarrow x^{ 5 }係數(k=3)=C^{ 4 }_{ 3 }3^{ 3 }(-5)=4\times 27\times (-5)=-540$$

故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解：
(3, 1, 1, 1)有四種排列，每一種排法有$C^6_3C^3_1C^2_1$=120種排法，共有480種分法
(2, 2, 1, 1)有六種排列，每一種排法有$C^6_2C^4_2C^2_1$=180種排法，共有1080種分法
合計: 480+1080=1560種分法，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解：

40分至60分之間的人數占全體的2.35%+13.5%=15.85%，共有2000X15.85%=317人，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解：
甲取白球的機率為 3/5
甲取黑球乙取黑球甲取白球的機率為$\frac{2}{5}\times\frac{1}{4}\times\frac{3}{3}=\frac{1}{10}$
兩者合計$\frac{3}{5}+\frac{1}{10}=\frac{7}{10}$

故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解： $$最小號碼取到3的機率:\frac { C^{ 7 }_{ 4 } }{ C^{ 8 }_{ 5 } } =\frac { 5 }{ 8 } \\ 最小號碼取到4的機率:\frac { C^{ 6 }_{ 4 } }{ C^{ 8 }_{ 5 } } =\frac { 15 }{ 56 } \\ 最小號碼取到5的機率:\frac { C^{ 5 }_{ 4 } }{ C^{ 8 }_{ 5 } } =\frac { 5 }{ 56 } \\ 最小號碼取到6的機率:\frac { C^{ 4 }_{ 4 } }{ C^{ 8 }_{ 5 } } =\frac { 1 }{ 56 } \\ 期望值=3\times \frac { 5 }{ 8 } +4\times \frac { 15 }{ 56 } +5\times \frac { 5 }{ 56 } +6\times \frac { 1 }{ 56 } =\frac { 7 }{ 2 }$$

故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解：
$E_1$與$E_2$有相同的法向量(1,3,-4)，兩平面平行；$E_3$法向量與$E_1$不同，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解： $$A=\left[ a_{ ij } \right] =\left[ \begin{matrix} a_{ 11 } & a_{ 12 } & a_{ 13 } \\ a_{ 21 } & a_{ 22 } & a_{ 23 } \\ a_{ 31 } & a_{ 32 } & a_{ 33 } \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1+3 & 1+6 & 1+9 \\ 4+3 & 4+6 & 4+9 \\ 9+3 & 9+6 & 9+9 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 4 & 7 & 10 \\ 7 & 10 & 13 \\ 12 & 15 & 18 \end{matrix} \right] \\ \Rightarrow \sum { a_{ ij } } =4+7+10+7+10+13+12+15+18=96$$

故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解： $$\begin{cases} x=2a-b+2 \\ y=a+b-3 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=\frac { x+y+1 }{ 3 }  \\ b=\frac { -x+2y+8 }{ 3 }  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 0\le \frac { x+y+1 }{ 3 } \le 2 \\ 2\le \frac { -x+2y+8 }{ 3 } \le 4 \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} -1\le x+y\le 5 \\ -2\le -x+2y\le 4 \end{cases}$$

上圖之平行四邊形面積= $\overline{BD}\times\overline{AE}\div 2+\overline{BD} \times\overline{CF}\div 2=6\times 2=12$

故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解： $$\frac { x^{ 2 }+2mx+1 }{ 3x^{ 2 }-2x+3 } \le 5\Rightarrow x^{ 2 }+2mx+1\le 15x^2-10x+15\Rightarrow14x^2-(10+2m)x+14\ge0\\ \Rightarrow7x^2-(m+5)x+7\ge0\Rightarrow(m+5)^2-4\times7\times7\le0\Rightarrow -19\le m\le 9$$

故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解： $$\lim _{ x\rightarrow a }{ \frac { 1 }{ x-a }  } 不存在,\lim _{ x\rightarrow a }{ \frac { 2 }{ x-a }  } 不存在，但\lim _{ x\rightarrow a }{ \frac { \frac { 2 }{ x-a }  }{ \frac { 1 }{ x-a }  }  } =\lim _{ x\rightarrow a }{ 2 } =2$$

故選$\bbox[red,2pt]{(D})$

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解：
f'(x)=0之判別式需$\le 0$，f'(x)=$3x^2+2ax+(a+6)$之判別式 $4a^2-12(a+6)\le 0$
即(a-6)(a+3)$\le 0$, -3$\le$a$\le$6故選$\bbox[red,2pt]{(A})$

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解：

y' =0⇒ $3x^2-3=0$⇒x=1有極小值(切線為水平線)，如上圖
所求面積即曲線與水平線L(點A至點B)所圍區域面積= $$\int _{ -2 }^{ 1 }{ x^{ 3 }-3x+2 } dx=\left. \left[ \frac { 1 }{ 4 } x^{ 4 }-\frac { 3 }{ 2 } x^{ 2 }+2x \right]  \right| ^{ 1 }_{ -2 }\\ =\left( \frac { 1 }{ 4 } -\frac { 3 }{ 2 } +2 \right) -\left( 4-6-4 \right) =\frac { 3 }{ 4 } +6=\frac { 27 }{ 4 }$$

故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解： $$\left( B \right) A=\left( 20,25 \right) ,B=\left( 20,-25 \right) ,C=\left( 44,-7 \right) \\ \Rightarrow { \overline { AB }  }^{ 2 }=2500,{ \overline { BC }  }^{ 2 }=24^{ 2 }+18^{ 2 }=900,{ \overline { AC }  }^{ 2 }=24^{ 2 }+32^{ 2 }=1600\\ \Rightarrow { \overline { AC }  }^{ 2 }={ \overline { AB }  }^{ 2 }+{ \overline { BC }  }^{ 2 }\\ \left( C \right) A=\left( 2,1 \right) ,B=\left( 1,0 \right) ,C=\left( 0,-1 \right) \Rightarrow 三點皆在y=x-1上\\ \left( E \right)四點至原點的距離皆相同，都在圓:  \left| z \right| =\sqrt { 3 } 之上$$

故選$\bbox[red,2pt]{(BCE)}$

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解： $$f\left( x \right) g\left( x \right) =\left( x+2 \right) \left( x^{ 4 }+2x^{ 3 }+3x^{ 2 }+2x-8 \right) =\left( x+2 \right) ^{ 2 }\left( x-1 \right) \left( x^{ 2 }+x+4 \right) \\ \Rightarrow \begin{cases} f\left( x \right) =\left( x+2 \right) \left( x-1 \right) =x^{ 2 }+x-2 \\ g\left( x \right) =\left( x+2 \right) \left( x^{ 2 }+x+4 \right) =x^{ 3 }+3x^{ 2 }+6x+8 \end{cases}$$

故選$\bbox[red,2pt]{(BC)}$

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解： $$(A)(B)(C)(D)\log { x } >0\Rightarrow \log _{ a }{ x } -\log _{ b }{ x } =\frac { \log { x }  }{ \log { a }  } -\frac { \log { x }  }{ \log { b }  } =\frac { \log { x } \left( \log { b } -\log { a }  \right)  }{ \log { a } \times \log { b }  } >0\\ \log { x } <0\Rightarrow \log _{ a }{ x } -\log _{ b }{ x } =\frac { \log { x }  }{ \log { a }  } -\frac { \log { x }  }{ \log { b }  } =\frac { \log { x } \left( \log { b } -\log { a }  \right)  }{ \log { a } \times \log { b }  } <0$$     (E)$\log{1}_{a}=\log{1}_{b}=0$

故選$\bbox[red,2pt]{(BCE)}$

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解： $$f\left( x \right) =\sin { x } +\sqrt { 3 } \cos { x } =2\left( \frac { 1 }{ 2 } \sin { x } +\frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 } \cos { x }  \right) \\ =2\left( \cos { \frac { \pi  }{ 3 }  } \sin { x } +\sin { \frac { \pi  }{ 3 }  } \cos { x }  \right) =2\sin { \left( x+\frac { \pi  }{ 3 }  \right)  }$$
(A) 正弦的週期為$2\pi$
(B)  -2$\le f(x)\le 2$
(C) f(0)=2$sin(0+\frac{\pi}{3})=2\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$
(D) sin(X)對稱原點，但$\sin{x+\frac{\pi}{3}}$已偏移，不再對稱原點
(E)波浪狀的$y=\sin{x+\frac{\pi}{3}}$與直線y=x一定有交點

故選$\bbox[red,2pt]{(ABCE)}$

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解：
(A) 向量的內積為一數值，數值與向量不能內積
(B) (0,0)‧(1,2)=(0,0)‧(3,4)，但(1,2)與(3,4)不同
(C) | (-1,-1)+(1,1)|=0, 但|(-1,-1)|+|(1,1)| = $\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$

故選$\bbox[red,2pt]{(DE)}$

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解： $$L:\frac { x+3 }{ 2 } =\frac { y-1 }{ -1 } =\frac { z-3 }{ 2 } \Rightarrow \begin{cases} x=2t-3 \\ y=-t+1 \\ z=2t+3 \end{cases}\\ \left( A \right) \begin{cases} x+4y+z=4 \\ 2x+2y-z=-7 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x+2y=-1 \\ 2y+z=5 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x=-2y-1 \\ y=y \\ z=-2y+5 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x=2t-3 \\ y=-t+1 \\ z=2t+3 \end{cases}\\ \left( B \right) =L\\ \left( C \right) \begin{cases} x=-2t+3 \\ y=t-1 \\ z=-2t-3 \end{cases}\Rightarrow x+4y+z=-4\neq 4\\ \left( D \right) \frac { x+5 }{ 2 } =\frac { y-2 }{ -1 } =\frac { z-1 }{ 2 } \Rightarrow \begin{cases} x=2t-5 \\ y=-t+2 \\ z=2t+1 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x+4y+z=4 \\ 2x+2y-z=-7 \end{cases}\\ \left( E \right) \frac { x+1 }{ -2 } =\frac { y }{ 1 } =\frac { z-5 }{ -2 } \Rightarrow \begin{cases} x=-2t-1 \\ y=t \\ z=-2t+5 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x+4y+z=4 \\ 2x+2y-z=-7 \end{cases}$$

故選$\bbox[red,2pt]{(ABDE)}$

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解：
由漸近線及中心坐標可知該雙曲線為 xy=k，又經過(2, 1/2)，可知k=1，因此方程式為xy=1；
(A) 漸近線為x=0及=0
(B)貫軸在直線x=y上
(C) 共軛軸在x=-y上
(D) 頂點為(1,1)及(-1,-1)
(E) a=b=1 ⇒ c=$\sqrt{2}$⇒焦點坐標為($\sqrt{2},\sqrt{2}$)及($-\sqrt{2},-\sqrt{2}$)

故選$\bbox[red,2pt]{(ADE)}$

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解：
支持率p=$\frac{605}{1100}=\frac{11}{20}$
$$\left( A \right) \left[ p-2\sqrt { \frac { p\left( 1-p \right)  }{ n }  } ,p+2\sqrt { \frac { p\left( 1-p \right)  }{ n }  }  \right] \\ =\left[ \frac { 11 }{ 20 } -2\sqrt { \frac { \frac { 11 }{ 20 } \times \frac { 9 }{ 20 }  }{ 1100 }  } ,\frac { 11 }{ 20 } +2\sqrt { \frac { \frac { 11 }{ 20 } \times \frac { 9 }{ 20 }  }{ 1100 }  }  \right] \\ =\left[ \frac { 11 }{ 20 } -\frac { 3 }{ 100 } ,\frac { 11 }{ 20 } +\frac { 3 }{ 100 }  \right] =\left[ 0.52,0.58 \right]$$
(B)(C)信賴區間的解釋為重複作許多次抽樣，所以(C)正確，(B)錯誤
(D)信心水準降低，信賴區間會縮小，也就是抽樣誤差會降低
(E)增加抽樣人數(n值)可減少抽樣誤差

故選$\bbox[red,2pt]{(CE)}$

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解：
(A) 10~99共90個數字，奇數偶數各一半，所以取到奇數的機率為$\frac{1}{2}$
(B) 12~19,23~29,34~39...78~79,89，共有8+7+6+...+1=36個，機率為$\frac{36}{90}\frac{2}{5}$
(C) 11,22,..,99，共有9個數字，機率為$\frac{9}{90}=\frac{1}{10}$
(D) 全部減去10,20,30,...,90，共有90-9=81個，機率為$\frac{81}{90}=\frac{9}{10}$
(1,2), (1,3)~(1,9) 共8個、(2,3)~(2,9)共7個
(E) 12, 18, 24,..., 96，共有15個，機率為$\frac{15}{90}=\frac{1}{6}$

故選$\bbox[red,2pt]{(ABDE)}$

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解： $$f\left( x \right) =\frac { 2 }{ 3 } { x }^{ 3 }-\frac { 1 }{ 2 } { x }^{ 2 }-x+1\Rightarrow f'\left( x \right) =2{ x }^{ 2 }-x-1\\ f'\left( x \right) =0\Rightarrow 2{ x }^{ 2 }-x-1=0\Rightarrow \left( 2x+1 \right) \left( x-1 \right) =0\\ \Rightarrow x=-\frac { 1 }{ 2 } 有極大值,x=1有極小值$$
$$\left( A \right) f\left( -\frac { 1 }{ 2 }  \right) =\frac { 2 }{ 3 } \times \frac { -1 }{ 8 } -\frac { 1 }{ 2 } \times \frac { 1 }{ 4 } +\frac { 1 }{ 2 } +1=\frac { 31 }{ 24 } \\ \left( B \right) f'\left( x \right) =2\Rightarrow 2{ x }^{ 2 }-x-1=2\Rightarrow \left( x+1 \right) \left( 2x-3 \right) =0\\ \Rightarrow x=-1,\frac { 3 }{ 2 } 有切線斜率為2,其中\left( -1,f\left( -1 \right)  \right) =\left( -1,\frac { 5 }{ 6 }  \right) 為一切點\\ \left( C \right) f\left( 1 \right) =\frac { 2 }{ 3 } -\frac { 1 }{ 2 } -1+1=\frac { 1 }{ 6 } \\ \left( D \right) \left( \frac { 3 }{ 2 } ,f\left( \frac { 3 }{ 2 }  \right)  \right) =\left( \frac { 3 }{ 2 } ,\frac { 5 }{ 8 }  \right) \\ \left( E \right) 令g\left( x \right) =f\left( x \right) -\left( 2x+k \right) =\frac { 2 }{ 3 } { x }^{ 3 }-\frac { 1 }{ 2 } { x }^{ 2 }-3x+1-k\\ \Rightarrow g'\left( x \right) =2{ x }^{ 2 }-x-3=\left( 2x-3 \right) \left( x+1 \right) \\ \Rightarrow x=-1,\frac { 3 }{ 2 } 時,g\left( x \right) 有極值\Rightarrow g\left( -1 \right) \times g\left( \frac { 3 }{ 2 }  \right) <0有三相異實根\\ \Rightarrow \left( -\frac { 2 }{ 3 } -\frac { 1 }{ 2 } +3+1-k \right) \left( \frac { 9 }{ 4 } -\frac { 9 }{ 8 } -\frac { 9 }{ 2 } +1-k \right) <0\\ \Rightarrow \left( k-\frac { 17 }{ 6 }  \right) \left( k+\frac { 19 }{ 8 }  \right) \Rightarrow \frac { -19 }{ 8 } <k<\frac { 17 }{ 6 } 注意:沒有等號$$

故選$\bbox[red,2pt]{(ABCD)}$

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-- END --