102年警專32期乙組數學科詳解

解： $$\sum _{ k=1 }^{ 13 }{ a_{ k } } =\frac { 2a_{ 1 }+12d }{ 2 } \times 13=\left( a_{ 1 }+6d \right) \times 13=a_{ 7 }\times 13=13$$

故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解： $$2\times 7^{ 4 }-13\times 7^{ 3 }+7^{ 2 }-54\times 7-16=7^{ 3 }\times \left( 14-13 \right) +7^{ 2 }-54\times 7-16\\ =7^{ 3 }+7^{ 2 }-54\times 7-16=7\times \left( 7^{ 2 }+7 \right) -54\times 7-16=56\times 7-54\times 7-16\\ =2\times 7-16=14-16=-2$$

故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解：
擲兩個骰子有6✕6=36種情況，其中點數和為9的情形有：(6,3),   (5,4), (4,5), (3,6)，共計四種情形，所以機率為4/36=1/9，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解：

公比  r=12/(-6)=-2，因此首項a=(-6)/(-2)=3

-384=$ar^{n-1}=3\times(-2)^{n-1}\Rightarrow   (-2)^{n-1}=-128\Rightarrow n-1=7\Rightarrow n=8$

故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解： $$\log { { 5 }^{ 32 } } =32\log { 5 } =32\times 0.699=22.368$$

故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解：

9   =   1✕(-1)✕3✕(-3)⇒f(x)=(x-1)(x+1)(x-3)(x+3)⇒ -a=1+(-1)+3+(-3)=0

故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解：

第1封信有5種選擇、第2封信有4種選擇...，因此有5✕4✕3✕2=5!

故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解：
(A)  $\log{21}=\log{3}+\log{7}$     (B)   $3^{10}=3^1\times   3^9$
(C) $\log_{2}{3^2}=2\log_{2}{3}$
(D)   $\log_{3}{2}=\frac{\log{2}}{\log{3}}=\frac{2\log{2}}{2\log{3}}=\frac{\log{4}}{\log{9}}=\log_{9}{4}$

故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解： $$2013^\circ=365^\circ\times 5+188^\circ\Rightarrow   \left(\cos{2013^\circ},\sin{2013^\circ}\right)   =\left(\cos{188^\circ},\sin{188^\circ}\right)$$

因此x座標及y座標皆為負值，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解：

此題可以看成y=2013-x及$y=\log_{2}{x}$兩圖形有幾個交點，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解：

$\log_{3}{(x-1)}<1\Rightarrow  0<x-1<3\Rightarrow x=2,3$，有兩整數解

故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解：
6的倍數有1000/6=166個，30的倍數有1000/30=33，因此n=166-33=133

故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解： $$\overline { AB } =\sqrt { { \left( \cos { 73° } -\cos { 13 } ° \right)  }^{ 2 }+{ \left( \sin { 73° } -\sin { 13° }  \right)  }^{ 2 } } \\ =\sqrt { 2-2\cos { 73° } \times \cos { 13° } -2\sin { 73° } \times \sin { 13° }  } \\ =\sqrt { 2-2\left( \cos { 73° } \times \cos { 13° } +\sin { 73° } \times \sin { 13° }  \right)  } \\ =\sqrt { 2-2\cos { \left( 73°-13° \right)  }  } =\sqrt { 2-2\cos { \left( 60° \right)  }  } =\sqrt { 2-1 } =1$$

故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解： $$\frac { C^{ 7 }_{ 2 } }{ C^{ 7+n }_{ 2 } } =\frac { 21 }{ \frac { \left( 7+n \right) \left( 6+n \right)  }{ 2 }  } =\frac { 42 }{ \left( n+6 \right) \left( n+7 \right)  } =\frac { 7 }{ 22 } \\ \Rightarrow \left( n+6 \right) \left( n+7 \right) =132\Rightarrow n=5,-18(不合)$$

故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解：

E(aX+b)=aE(X)+b,  $\sigma{(aX+b)}=a\sigma{(X)}\Rightarrow$

a+b=$25\times\frac{9}{5}+32+3.5\times\frac{9}{5}=77+6.3=83.3$

故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解：
令$\vec{u}$=(-1,1,-3)$\times$(3,-3,4)=(-5,-5,0)，由(-5,-5,0)$\cdot$(k,-4,7)=0可知 -5k+20=0, 即k=4。

故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解：

三不等式圍成一三角形，如上圖，頂點分別為A(-3,4)、B(1,2)、C(0,0)
(A)   4x+3y>=0,   最小值為0
(B)   將頂點B代入4x+3y=4+6=10，最大值為10
(C) 將頂點A代入3x+y=-9+4=-5為最小值
(D) 將頂點B代入3x+y=3+2= 5為最大值

故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解： $$\sin { \theta  } =\frac { 2 }{ \sqrt { 5 }  } 且\frac { \pi  }{ 2 } <\theta <\pi \Rightarrow \cos { \theta  } =\frac { -1 }{ \sqrt { 5 }  } \\ \Rightarrow \sin { \left( \frac { 3\pi  }{ 2 } -\theta  \right)  } =\sin { \frac { 3\pi  }{ 2 }  } \cos { \theta  } -\sin { \theta  } \cos { \frac { 3\pi  }{ 2 }  } \\ =\left( -1 \right) \times \left( \frac { -1 }{ \sqrt { 5 }  }  \right) -\left( \frac { 2 }{ \sqrt { 5 }  }  \right) \times 0=\frac { 1 }{ \sqrt { 5 }  }$$

故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解： $$\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { 1+2^{ n } }{ 3^{ n } }  } =\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ 3^{ n } }  } +\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \left( \frac { 2 }{ 3 }  \right) ^{ n } } =\frac { \frac { 1 }{ 3 }  }{ 1-\frac { 1 }{ 3 }  } +\frac { \frac { 2 }{ 3 }  }{ 1-\frac { 2 }{ 3 }  } =\frac { 1 }{ 2 } +2=\frac { 5 }{ 2 }$$

故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解：

全距不一定會是1

故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解： $$將\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}視為擴增矩陣，即x=1,y=-1,z=2\\ 則\begin{bmatrix} a & 1 & 3 & 6 \\ 1 & b & 2 & 3 \\ 3 & 1 & c & 8 \end{bmatrix}\Rightarrow \begin{cases} ax+y+3z=6 \\ x+by+2z=3 \\ 3x+y+cz=8 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a-1+6=6 \\ 1-b+4=3 \\ 3-1+2c=8 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=1 \\ b=2 \\ c=3 \end{cases}\\ \Rightarrow a+b+c=1+2+3=6$$

故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解： $$\frac { \log { 2012 } +\log { 2013 }  }{ 2 } =\frac { 1 }{ 2 } \log { 2012 } +\frac { 1 }{ 2 } \log { 2013 } =\log { \sqrt { 2012 }  } +\log { \sqrt { 2013 }  } \\ =\log { \sqrt { 2012\times 2013 }  } <\log { \left( \frac { 2012+2013 }{ 2 }  \right)  } \Rightarrow \left( B \right) <\left( C \right)$$

故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解：
(甲射中且乙沒射中)+(甲沒射中且乙射中) = $\frac{3}{4}\times\frac{1}{5}+ \frac{1}{4}\times\frac{4}{5} = \frac{3}{20}+\frac{4}{20}=\frac{7}{20}$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解：
此題相當於求三角形外接圓的半徑= $$\frac { abc }{ 4\sqrt { s\left( s-a \right) \left( s-b \right) \left( s-c \right)  }  } =\frac { 3\times 5\times 7 }{ 4\sqrt { \frac { 15 }{ 2 } \left( \frac { 15 }{ 2 } -3 \right) \left( \frac { 15 }{ 2 } -5 \right) \left( \frac { 15 }{ 2 } -7 \right)  }  } \\ =\frac { 105 }{ 4\sqrt { \frac { 15 }{ 2 } \times \frac { 9 }{ 2 } \times \frac { 5 }{ 2 } \times \frac { 1 }{ 2 }  }  } =\frac { 105 }{ 15\sqrt { 3 }  } =\frac { 7 }{ 3 } \sqrt { 3 }$$

故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解： $$x^{ 2 }-(a+1)x+(a+1)={ \left( x-\frac { a+1 }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }+(a+1)-\frac { { \left( a+1 \right)  }^{ 2 } }{ 4 } >0\\ \Rightarrow (a+1)-\frac { { \left( a+1 \right)  }^{ 2 } }{ 4 } >0\Rightarrow \left( a+1 \right) \left( 3-a \right) >0\Rightarrow \left( a+1 \right) \left( a-3 \right) <0\\ \Rightarrow -1<a<3\Rightarrow a=0,1,2$$

故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解：

令A為原點，則B=(2,0)，重心G座標為$(1,\frac{\sqrt{3}}{3})$，因此$\overrightarrow{AG}\cdot   \overrightarrow{AB}$   =   $(1,\frac{\sqrt{3}}{3})\cdot$(2,0)=2

故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解：

y=sin(x)呈波浪狀、週期為2$\pi$
y=$\frac{x}{3\pi}$為一直線，經過($3\pi,1$), (0,0)及($-3\pi,-1)$
兩圖形共有七個交點

故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解：
$\vec{u}與\vec{v}平行，且\vec{u}與\vec{w}$垂直，因此$\vec{v}也與\vec{w}$垂直。 $$\vec { u } //\vec { v } \Rightarrow \frac { a }{ b } =\frac { -4 }{ -2 } =\frac { 3+c }{ 1 } \Rightarrow c=-1,a=2b\\ \begin{cases} \vec { u } \cdot \vec { w } =0 \\ \vec { v } \cdot \vec { w } =0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \left( a,-4,2 \right) \cdot \left( 1,-4,-a \right) =0 \\ \left( b,-2,1 \right) \cdot \left( 1,-4,-a \right) =0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=16 \\ b=8 \end{cases}$$

故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解：

先求$\overline{OP}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
令A為其中一切點，則$\triangle   APO$為直角三角形。因此${\overline{OP}}^2={\overline{OA}}^2 +{\overline{AP}}^2\Rightarrow$   25=9+${\overline{AP}}^2 \Rightarrow \overline{AP} = 4$

故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解：

a=0, b=6，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解： $$L:\begin{cases} x=3t-2 \\ y=-4t-1 \end{cases}\Rightarrow L:4x+3y+11=0\\ \left( A \right) \left( -5,3 \right) 代入L可得4\times \left( -5 \right) +3\times 3+11=-20+9+11=0\\ \;\;\;\Rightarrow \left( -5,3 \right) 在L上\\ \left( B \right) 法向量:(4,3)\\ \left( C \right) 方向向量:(3,-4)\\ \left( D \right) L:4x+3y+11=0\Rightarrow y=\frac { -4 }{ 3 } x-11\Rightarrow 斜率:\frac { -4 }{ 3 } \\ \left( E \right) L:4x+3y+11=0$$

故選$\bbox[red,2pt]{(AC)}$

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解： $$\left( A \right) f\left( g\left( 2013 \right)  \right) =f\left( \log _{ 2013 }{ 2013 }  \right) =f\left( 1 \right) =2013^{ 1 }=2013\\ \left( B \right) g\left( f\left( 2013 \right)  \right) =g\left( 2013^{ 2013 } \right) =\log _{ 2013 }{ 2013^{ 2013 } } =2013\\ \left( C \right) \frac { f\left( 2013 \right)  }{ f\left( 2000 \right)  } =\frac { 2013^{ 2013 } }{ 2013^{ 2000 } } =2013^{ 13 }=2013^{ 14-1 }=\frac { 2013^{ 14 } }{ 2013^{ 1 } } =\frac { f\left( 14 \right)  }{ f\left( 1 \right)  } \\ \left( D \right) g\left( 2013 \right) -g\left( 2000 \right) =\log _{ 2013 }{ 2013 } -\log _{ 2013 }{ 2000 } =1-\log _{ 2013 }{ 2000 } \\ g\left( 15 \right) -g\left( 2 \right) =\log _{ 2013 }{ 15 } -\log _{ 2013 }{ 2 } =\log _{ 2013 }{ \frac { 15 }{ 2 }  } \neq g\left( 2013 \right) -g\left( 2000 \right) \\ \left( E \right) g\left( f\left( x \right)  \right) =\log _{ 2013 }{ f\left( x \right)  } =\log _{ 2013 }{ 2013^{ x } } =x\Rightarrow 對稱x=y$$

故選$\bbox[red,2pt]{(BCE)}$

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解：
(C) 經過A轉移再經B轉移，相當於經過AB轉移
(D) 經過A轉移再經A轉移，相當於經過$A^2$轉移

(E) $A=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\Rightarrow 2A=\begin{bmatrix} 2a & 2b \\ 2c & 2d \end{bmatrix}\Rightarrow det\left( 2A \right) =4\left( ad-bc \right) =4det(A)$

故選$\bbox[red,2pt]{(CDE)}$

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解： $$\begin{bmatrix} 0.6 & 0.2 & 0.2 \\ 0.2 & 0.6 & 0.2 \\ 0.2 & 0.2 & 0.6 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix}\Rightarrow \begin{cases} 2a-b-c=0 \\ a-2b+c=0 \\ a+b-2c=0 \end{cases}\Rightarrow a=b=c$$ 又a+b+c=1，所以a=b=c=1/3

故選$\bbox[red,2pt]{(ACE)}$

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解： $$N=\sum _{ k=1 }^{ 19 }{ k^{ 3 } } ={ \left( \sum _{ k=1 }^{ 19 }{ k }  \right)  }^{ 2 }={ \left( \frac { 19\times 20 }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }=190^2$$

故選$\bbox[red,2pt]{(ABDE)}$

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解：
(A)相關係數一定介於-1與1之間
(B)直線斜率不一定介於-1與1之間
(C)$r'=\frac { 5\times 3\times \sigma _{ xy } }{ 5\times 3\times \sigma _{ x }\sigma _{ y } } =\frac { \sigma _{ xy } }{ \sigma _{ x }\sigma _{ y } } =r$
(D)(E) $m'=r'\frac { \sigma _{ y' } }{ \sigma _{ x' } } =r\frac { 3\sigma _{ y } }{ 5\sigma _{ x } } =\frac { 3 }{ 5 } m$

故選$\bbox[red,2pt]{(AC)}$

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解：
(A) f(2)=8a+4b+2c+d=0⇒(x-2) 為f(x)的因式
(B) f(1+i)=0⇒1+i為一根，另一根為1-i，還有1根；由於虛根成對存在，所以一定是實根，也就是與X軸只有一個交點。
(C)由於$\overline { f\left( z \right)  } =f\left( \overline { z }  \right)$，所以f(2-3i)=$\overline{f(2+3i)}$=4-5i
(D)1,2之間可能存在極值0，例如：f(1.5)=0是極小值，則f(1)f(2)可能為正值。
(E)由於三次式f(x)介於-∞與∞之間，一定存在某一x，使得f(x)=0，即至少有一實數解

故選$\bbox[red,2pt]{(ABCE)}$

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解：

(A) 低於60分人數至約占68%+13.5%+2.35%+0.15%=84%，約有840人
(B)68分高過全部的95%+2.35%+0.15%=97.5%，也就是第25名
(C)80分相當於平均分數再加4個標準差，至少99.9%的人在4個標準差之內，也就是排名在前0.05%，大約是第5名以前(必須查表才能確至4個標準差的百分比)
(D)排名840，排在前84%，分數介於38至46之間，比較接近46
(E)排名160，排在前16%，分數剛好在60分

故選$\bbox[red,2pt]{(ABCDE)}$

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解：
(A) 由於f(2+t)=f(2-t),所以對稱x=2
(B)x=2時有極小值，x越接2則f(x)越小，所以f(1)<f(5)
(C)t=3時，f(2+3)=f(2-3)，即f(5)=f(-1)
(D)$f(x)=2{(x+\frac{a}{4})}^2+b-\frac{a^2}{16}$，x=2有極值，即$\frac{a}{4}=-2$，因此a=-8
(E)x=2時有極小值

故選$\bbox[red,2pt]{(ACDE)}$

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解：
期望值=$12\times \frac{1}{6}$=2
變異數=$12\times \frac{1}{6}\times\frac{5}{6}=\frac{5}{3}$
標準差=$\sqrt{\frac{5}{3}}$

故選$\bbox[red,2pt]{(BC)}$

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-- END --