105年大學學測數學科詳解

105 學年度學科能力測驗試題
數學考科詳解

一、單選題

解：
$$f\left( x \right) 在x=2時有最小值1\Rightarrow f\left( x \right) =a{ \left( x-2 \right)  }^{ 2 }+1,a>0\\ 又f\left( 3 \right) =3\Rightarrow 3=a+1\Rightarrow a=2\Rightarrow f\left( 1 \right) =2\times { \left( 1-2 \right)  }^{ 2 }+1=3$$

故選$\bbox[red,2pt]{(3)}$

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解：
$$\sin { 146° } =\sin { \left( 180°-146° \right)  } =\sin { 34° } \\ \sin { 219° } =-\sin { \left( 219°-180° \right)  } =-\sin { 39° } \\ \sin { 292° } =-\sin { \left( 360°-292° \right)  } =-\sin { 68° } \\ \sin { 365° } =\sin { \left( 365°-360° \right)  } =\sin { 5° } \\ \Rightarrow \sin { 73° } >\sin { 146° } >\sin { 365° } >\sin { 219° } >\sin { 292° } \\ \Rightarrow 中位數是\sin { 365° }$$

故選$\bbox[red,2pt]{(5)}$

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解：
$\Gamma_1$代表圓心(-1,0)半徑為1的圓；
而$\Gamma_2: (x+y)^2=1\Rightarrow (x+y+1)(x+y-1)=0\Rightarrow \Gamma_2$代表二平行直線$x+y+1=0$及$x+y-1=0$；
因此$\Gamma_1與\Gamma_2$交於兩點，如下圖。

故選$\bbox[red,2pt]{(2)}$

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解：
假設剛開始的時候，$B$的質量為$b$、$A$的質量為$2b$，及B的半衰期為$x$，則 $$2b\times { \left( \frac { 1 }{ 2 }  \right)  }^{ \frac { 120 }{ 7.5 }  }=b\times { \left( \frac { 1 }{ 2 }  \right)  }^{ \frac { 120 }{ x }  }\Rightarrow { \left( \frac { 1 }{ 2 }  \right)  }^{ 15 }={ \left( \frac { 1 }{ 2 }  \right)  }^{ \frac { 120 }{ x }  } \Rightarrow x=8$$

故選$\bbox[red,2pt]{(1)}$

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解：
$$P\left( 1,1,1 \right) 沿著\vec { a } =\left( 1,2,2 \right) 前進變成Q\left( 1+t,1+2t,1+2t \right) \\ Q在x-y+3z=28上\Rightarrow (1+t)-(1+2t)+3(1+2t)=28\Rightarrow t=5\\ \Rightarrow Q=(6,11,11)\Rightarrow \overline { PQ } =\sqrt { 5^{ 2 }+10^{ 2 }+10^{ 2 } } =15\Rightarrow 速度為15/5=3\\ 又Q=(6,11,11)沿著\vec { b } =\left( -2,2,-1 \right) 前進變成R\left( 6-2s,11+2s,11-s \right) \\ R在x=2上\Rightarrow 6-2s=2\Rightarrow s=2\Rightarrow R=\left( 2,15,9 \right) \Rightarrow \overline { QR } =\sqrt { 4^{ 2 }+4^{ 2 }+2^{ 2 } } =6\\ \Rightarrow 需時6/3=2$$

故選$\bbox[red,2pt]{(2)}$

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解：
$$\begin{cases} \sum _{ k=1 }^{ 10 }{ a_{ k } } =80 \\ a_{ 1 }+a_{ 3 }+a_{ 5 }+a_{ 7 }+a_{ 9 }=120 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \frac { a_{ 1 }\left( 1-r^{ 10 } \right)  }{ 1-r } =80 \\ \frac { a_{ 1 }\left( 1-r^{ 10 } \right)  }{ 1-r^{ 2 } } =120 \end{cases}\Rightarrow \frac { 1-r^{ 2 } }{ 1-r } =\frac { 80 }{ 120 } \\ \Rightarrow 1+r=\frac { 2 }{ 3 } \Rightarrow r=-\frac { 1 }{ 3 } \Rightarrow \frac { a_{ 1 }\left( 1-\left( -\frac { 1 }{ 3 }  \right) ^{ 10 } \right)  }{ 1-\left( -\frac { 1 }{ 3 }  \right)  } =80\\ \Rightarrow a_{ 1 }\left( 1-\frac { 1 }{ 3^{ 10 } }  \right) =\frac { 321 }{ 3 } \Rightarrow a_{ 1 }=\frac { 321 }{ 3 } \times \frac { 3^{ 10 } }{ 3^{ 10 }-1 } \approx \frac { 321 }{ 3 } =107$$

故選$\bbox[red,2pt]{(4)}$

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二、多選題

解：
由於$\left| x \right| +\left| x-5 \right| =\left| x \right| +\left| 5-x \right| \ge \left| x+\left( 5-x \right)  \right| =5$，所以(1)沒有實數解、(2)有實數解；
又$\left| x \right| -\left| x-5 \right| =\le \left| x-\left( x-5 \right)  \right| =5\Rightarrow -5\le \left| x \right| -\left| x-5 \right| \le 5$，所以(3)及(5)有實數解、(4)沒有實數解

故選$\bbox[red,2pt]{(2,3,5)}$

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解：
(1)甲商場買一袋3顆裝的蘋果需要130元、買三袋1顆裝的蘋果需要$45\times 3=135$元
(2)乙商場中，奇異果每顆單價依序為18, 50/3=17, 65/4=16, 95/6=15.8，符合一袋裝越多顆者，其每顆單價越低
(3)「80元/一袋5顆」可買六袋共30顆，還剩20元可再買「20元/一袋1顆」，共可買31顆蘋果
(4)甲需要$100\times 2=200$元買奇異果及$45+130=175$元買蘋果，合計375元；
乙需要$95\times 2=190$元買奇異果及$190$元買蘋果，合計380元；甲<乙
(5)買10顆蘋果，甲需要$340+45\times 2=430$元、乙需要$420$元，甲>乙

故選$\bbox[red,2pt]{(1,2,4)}$

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解： $$z軸可以表示成:(0,0,t),t\in R\\ \left( 1 \right) L_{ 1 }與z軸交於原點(0,0,0)\Rightarrow 不歪斜\\ (2)L_{ 2 }與z軸交於原點(0,0,1)\Rightarrow 不歪斜\\ (3)L_{ 3 }可以表示成:(u,1-u,0),u\in R;\quad \\ \quad \quad 顯然L_{ 3 }與z軸既不相交也不平行\\ (4)L_{ 4 }可以表示成:(1,1,u),u\in R;\\ \quad \quad 顯然L_{ 4 }與z軸不相交,但兩者向量皆是(0,0,1)\Rightarrow 不歪斜\\ (5)L_{ 5 }可以表示成:(u,1,1),u\in R;\quad \\ \quad \quad 顯然L_{ 5 }與z軸既不相交也不平行$$

故選$\bbox[red,2pt]{(3,5)}$

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解：
(1) 由於$a、b、c$皆大於0，對於所有$x>0$而言，$f(x)$一定大於零，也就是說$f(x)$沒有正根。
(2)舉一個沒有實根的例子：$f(x)=(x^2+1)(x^2+x+2)=x^4+x^3+3x^2+x+2$沒有實根
(3)舉一個沒有虛根的例子：$f(x)=(x+1)^3(x+2)=x^4+5x^3+9x^2+7x+2$沒有虛根
(4)$f(1)+f(-1)=(1+a+b+c+2)+(1-a+b-c+2)=2+2b+4=6+2b$一定是偶數
(5)若有一根介於-1與0之間，代表$f(-1)\times f(0)<0\Rightarrow (1-a+b-c+2)\times 2<0\Rightarrow 1-a+b-c+2<0\Rightarrow a+c>b+3$

故選$\bbox[red,2pt]{(1,4,5)}$

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解：
$$\left( 1 \right) 40\log _{ 10 }{ \left( \frac { 9+1 }{ 10 }  \right)  } +60=40\log _{ 10 }{ \left( 1 \right)  } +60=0+60=60\\ \left( 2 \right) 40\log _{ 10 }{ \left( \frac { 20+1 }{ 10 }  \right)  } +60=40\log _{ 10 }{ \left( \frac { 21 }{ 10 }  \right)  } +60=40\left( \log _{ 10 }{ 3 } +\log _{ 10 }{ 7 } -1 \right) +60\\ \approx 40\left( 0.4771+0.8451-1 \right) +60=40\times 0.3222+60=72.888>70\\ (3)x_{ 1 }=9\Rightarrow 40\log _{ 10 }{ \left( \frac { x_{ 1 }+1 }{ 10 }  \right)  } +60=60;\\ x_{ 2 }=59\Rightarrow 40\log _{ 10 }{ \left( \frac { x_{ 2 }+1 }{ 10 }  \right)  } +60=40\left( 0.301+0.4771 \right) +60\approx 91\\ x_{ 2 }-x_{ 1 }=\left( 59-9 \right) =50>\left( 91-60 \right) =31\Rightarrow 全距變小$$

故選$\bbox[red,2pt]{(1,2,4)}$

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解：

依題意此三角形不是唯一的，上圖之$\triangle ABC_1$與$\triangle ABC_2$都符合要求。
值得注意的是$\angle AC_1B$與$\angle AC_2B$互補。

(1)由於$\angle B$的值不確定，因此其餘弦值不確定
(2)由於$\angle AC_1B$與$\angle AC_2B$互補，因此其正弦值相同
(3)$\triangle ABC_1$與$\triangle ABC_2$面積顯然不同
(4)$\triangle ABC_1$與$\triangle ABC_2$大小不同，內切圓顯然不同
(5)依正弦定理: $\triangle ABC_1$外接圓半徑$=\frac{\overline{BC_1}}{2\sin{\angle A}}$，$\triangle ABC_2$外接圓半徑=$\frac{\overline{BC_2}}{2\sin{\angle A}}$，由於$\overline{BC_1}=\overline{BC_2}=4$，所以兩者外接圓半徑相等

故選$\bbox[red,2pt]{(2,5)}$

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解：
(1)  P(A抽到甲)=1/4, P(C抽到甲)=P(A沒抽到甲) X P(B沒抽到甲) X P(C抽到甲)=(3/4)X(1)X(1/2)=3/8，因此P(A抽到甲)<P(C抽到甲)
(2)P(D抽到甲)=P(A沒抽到甲) X P(B沒抽到甲) X P(C沒抽到甲)XP(D抽到甲) = (3/4)‧(1)‧(1/2)‧(1) =P(C抽到甲)
(3)P(A抽到乙)=1/4, P(B抽到乙)=P(A抽到甲) X P(B抽到乙) +P(A抽到非甲也非乙) X P(B抽到乙) = (1/4)‧(1/3)+(1/2)‧(1/2)=1/12+1/4=1/3，因此P(A抽到乙)<P(B抽到乙)
(4)P(B抽到丙)=P(A抽到甲) X P(B抽到丙)+ P(A抽到乙或丁) X P(B抽到丙)=(1/4)‧(1/3)+(1/2)‧(1/2) = 1/12+1/4=1/3；P(C抽到丙)=P(A抽到甲) X P(乙沒抽到丙)XP(C抽到丙) + P(A抽到乙或丁)X P(乙沒抽到丙)XP(C抽到丙) = (1/4)‧(2/3)‧(1/2) + (1/2)‧(1/2)‧(1/2)=5/24，因此P(B抽到丙)>P(C抽到丙)
(5)P(C抽到甲)=P(A沒抽到甲)XP(乙沒抽到甲)XP(C抽到甲)=(3/4)‧(1)‧(1/2)=3/8；P(C抽到乙) = P(C抽到丙)=5/24，因此P(C抽到甲)>P(C抽到丙)

故選$\bbox[red,2pt]{(4,5)}$

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第貳部分：選填題

解：
第一列有$2^3=8$種情形，需扣除全為零(0,0,0)，故有8-1=7種情形；
第二列也有7種情形，但不能與第一相同，所以有7-1=6種情形；
因此矩陣有$7\times 6=42$個

答：$\bbox[red,2pt]{(42)}$

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解：
$\vec{u}與\vec{v}$所展開的平行四邊形面積為$\left\| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} \right\| =\left| 4-6 \right| =2$。因此$\Omega =\left( \frac { 1 }{ 2 } -\left( -3 \right)  \right) \times \left( 1-\frac { 1 }{ 2 }  \right) \times 2=\frac { 7 }{ 2 }$

故選$\bbox[red,2pt]{\frac { 7 }{ 2 }}$

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解：

$\overline{BF_2}=\sqrt{1+2^2}=\sqrt{5}$，$2a=\overline{BF_1}+\overline{BF_2}=1+\sqrt{5}$

答：$\bbox[red,2pt]{1+\sqrt{5}}$

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解：
$$\begin{cases} x+2y+3z=0 \\ 2x+y+3z=6 \\ x-y=6 \\ x-2y-z=8 \end{cases}\Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 3 & 6 \\ 1 & -1 & 0 & 6 \\ 1 & -2 & -1 & 8 \end{bmatrix}\Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & -3 & -3 & 6 \\ 0 & -3 & -3 & 6 \\ 0 & -4 & -4 & 8 \end{bmatrix}\Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & -2 \end{bmatrix}\\ \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & a & b \\ 0 & 1 & c & d \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\Rightarrow \begin{cases} a=1 \\ b=4 \\ c=1 \\ d=-2 \end{cases}$$

答：$\bbox[red,2pt]{(1,4,1,-2)}$

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解：

$\triangle AED=7\times 14\div 2 = 49$；
$\triangle CBE=(14-a)\times \frac{14-a}{5}\div 2 = \frac{(a-14)^2}{10}$；
依題意$49-\frac{(a-14)^2}{10}=\frac{213}{5}\Rightarrow (a-14)^2=64 \Rightarrow a= 6(a=22 不合)$

 答：$\bbox[red,2pt]{(6)}$

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解：
b為奇數，則(a, b, c)共有$6\times 3\times 6=108$種情形；
又$ac>b^2$有以下情形
b=1、(a,c)有$6\times 6-1=35$種情形，扣除a=c=1；
b=3、(a,c)有(2, 5-6)、(3, 4-6)、(4, 3-6)、(5, 2-6)、(6,2-6)，共2+3+4+5+5=19種情形
b=5、(a,c)有(5, 6)、(6, 5-6)，共1+2=3種情形
符合條件的有35+19+3=57種情形，機率為57/108=19/36

答：$\bbox[red,2pt]{19/36}$

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解：

方法一：各點坐標如上圖
假設E為原點(0,0,0)，則A(0,0,2)、B(0,1,2)、C(1,1,2)、D(1,0,2)、F(0,1,0)，G(1,1,0)
則$\vec{AB}=(0,1,0)、\vec{AD}=(1,0,0)、\vec{AE}=(0,0,-2)$
令P(x,y,z)，依題意$(x,y,z-2)=\frac{1}{3}(0,1,0)+2(1,0,0)+a(0,0,-2)=(2,\frac{1}{3},-2a) \Rightarrow x=2, y=\frac{1}{3}, z=-2a+2$
先求平面BDG方程式: $\vec{GB}=(-1,0,2),\vec{GD}=(0,-1,2)\Rightarrow \vec{GB}\times \vec{GD}=(2,2,1)$，又該平面經過G，所以方程式為2(x-1)+2(y-1)+z=0，即2x+2y+z=4；
P點也在該平面上，所以$2\times 2+2\times\frac{1}{3}-2a+2=4\Rightarrow a=\frac{4}{3}$
方法二： $$\vec { AP } =\frac { 1 }{ 3 } \vec { AB } +2\vec { AD } +a\vec { AE } =\frac { 1 }{ 3 } \vec { AB } +2\vec { AD } +a\left( \vec { AG } +\vec { GE }  \right) \\ =\frac { 1 }{ 3 } \vec { AB } +2\vec { AD } +a\vec { AG } +a\vec { GE } \\ =\frac { 1 }{ 3 } \vec { AB } +2\vec { AD } +a\vec { AG } -a\vec { EG } \\ =\frac { 1 }{ 3 } \vec { AB } +2\vec { AD } +a\vec { AG } -a\vec { AC } \\ =\frac { 1 }{ 3 } \vec { AB } +2\vec { AD } +a\vec { AG } -a\left( \vec { AB } +\vec { AD }  \right) \\ =\left( \frac { 1 }{ 3 } -a \right) \vec { AB } +\left( 2-a \right) \vec { AD } +a\vec { AG } \\ B,D,G在同一平面上\Rightarrow \left( \frac { 1 }{ 3 } -a \right) +\left( 2-a \right) +a=1\Rightarrow a=\frac { 4 }{ 3 }$$

答：$\bbox[red,2pt]{(\frac { 4 }{ 3 } )}$

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-- END --