102 學年度學科能力測驗試題
數學考科詳解
若要符合參選模範生資格，小文需英文70分(含)以上且數學及格。因此若不符參選資格，上述任一條件不滿足即不符條件，故選\(\bbox[red,2pt]{(5)}\)
解：$$\begin{cases} a=2.6^{ 10 }-2.6^{ 9 }=2.6^{ 9 }\left( 2.6-1 \right) =1.6\times 2.6^{ 9 } \\ b=2.6^{ 11 }-2.6^{ 10 }=2.6^{ 9 }\left( 2.6^{ 2 }-2.6 \right) =4.16\times 2.6^{ 9 } \\ c=\frac { 2.6^{ 11 }-2.6^{ 9 } }{ 2 } =\frac { 2.6^{ 9 } }{ 2 } \left( 2.6^{ 2 }-1 \right) =2.88\times 2.6^{ 9 } \end{cases}\Rightarrow b>c>a$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(4)}\)
解：
甲和乙抽到同色球的情形為
黑黑: 機率為\(\frac{2}{5}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{10}\)
白白: 機率為\(\frac{3}{5}\times\frac{2}{4}=\frac{3}{10}\)
因此甲和乙抽到同色球的機率為\(\frac{1}{10}+\frac{3}{10}=\frac{2}{5}\)
黑黑: 機率為\(\frac{2}{5}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{10}\)
白白: 機率為\(\frac{3}{5}\times\frac{2}{4}=\frac{3}{10}\)
因此甲和乙抽到同色球的機率為\(\frac{1}{10}+\frac{3}{10}=\frac{2}{5}\)
甲和乙抽到同色球且丙抽到白球的情形為
黑黑白: 機率為\(\frac{2}{5}\times\frac{1}{4}\times\frac{3}{3}=\frac{1}{10}\)
白白白: 機率為\(\frac{3}{5}\times\frac{2}{4}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{10}\)
甲和乙抽到同色球且丙抽到白球的機率為\(\frac{1}{10}+\frac{1}{10}=\frac{1}{5}\)
所求之條件機率為\(\frac{\frac{1}{5}}{\frac{2}{5}}=\frac{1}{2}\)
故選\(\bbox[red,2pt]{(3)}\)
解：
各選項皆是x: 2→3→5，逐漸變大。由於是負相關且接近-1，因此需找y逐漸變小，故選\(\bbox[red,2pt]{(5)}\)
解：
假設紅籃子內有R顆雞蛋、黃籃子內有Y顆雞蛋、綠籃子內有G顆雞蛋，即R+Y+G=24
黃綠籃子內要有奇數顆蛋，可設Y=2a+1、G=2b+1，其中a與b皆為非負整數。
因此\(R+(2a+1)+(2b+1)=24\Rightarrow R+2a+2b=22\)，因此R為偶數設為R=2c，c為非負整數。
2c+2a+2b=22\(\Rightarrow a+b+c=11\)。由於各籃至少1顆蛋了，所以先丟一顆蛋給c，則此題變成求a+b+c=10的非負整數解，共有\(H^3_{10}=C^{12}_{10}=\frac{12\times 11}{2}=66\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(2)}\)
解：
假設10:00的高度為h，熱氣球十分鐘上升的高度為k，10:30的仰角為\(\theta\)，如上圖。
$$\tan { 34° } =\frac { h+k }{ \sqrt { 3 } h } \Rightarrow k=\sqrt { 3 } h\times \tan { 34° } -h=h\left( \sqrt { 3 } \tan { 34° } -1 \right) \\ \Rightarrow \tan { \theta } =\frac { h+3k }{ \sqrt { 3 } h } =\frac { h+3h\left( \sqrt { 3 } \tan { 34° } -1 \right) }{ \sqrt { 3 } h } =\frac { 1+3\left( \sqrt { 3 } \tan { 34° } -1 \right) }{ \sqrt { 3 } } \\ =\frac { 3\sqrt { 3 } \tan { 34° } -2 }{ \sqrt { 3 } } =3\tan { 34° } -2\tan { 30° } =3\times 0.675-2\times 0.577=0.871\\ \Rightarrow \theta \approx 41°$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(3)}\)
二、多選題
解：
$${ \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} }^{ 2 }=\begin{bmatrix} 1 & 1+2 \\ 0 & 2^{ 2 } \end{bmatrix},{ \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} }^{ 3 }=\begin{bmatrix} 1 & 1+2+2^{ 2 } \\ 0 & 2^{ 3 } \end{bmatrix}\Rightarrow { \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} }^{ n }=\begin{bmatrix} 1 & 1+2+\cdots +2^{ n-1 } \\ 0 & 2^{ n } \end{bmatrix}\\ \Rightarrow a_{ n }=1,b_{ n }=1+2+\cdots +2^{ n-1 },c_n=0,d_n=2^n$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(1,2,3,5)}\)
解：
假設\(a=10,b=\frac{1}{10}\)
(1)正確：\((-10)^7>(-10)^9\)
(2)正確：\(10^9>10^7\)
(3)錯誤：\(\log_{10}{\frac{1}{10}}=-1<1=\log_{10}{10}\)
(4)錯誤：\(\log_a{1}=\log_b{1}=0\)
(5)錯誤：$$\log _{ a }{ b } -\log _{ b }{ a } =\frac { \log { b } }{ \log { a } } -\frac { \log { a } }{ \log { b } } =\frac { { \left( \log { b } \right) }^{ 2 }-{ \left( \log { a } \right) }^{ 2 } }{ \log { a } \times \log { b } } =\frac { \left( \log { b } +\log { a } \right) \left( \log { b } -\log { a } \right) }{ \log { a } \times \log { b } } \\ =\frac { \left( \log { ab } \right) \left( \log { \frac { b }{ a } } \right) }{ \log { a } \times \log { b } } \le 0\Rightarrow \log _{ a }{ b } \le \log _{ b }{ a } $$
故選\(\bbox[red,2pt]{(1,2)}\)
解：$$\begin{cases} f\left( x \right) =m\left( x-a \right) \left( x-b \right) ,m>0 \\ g\left( x \right) =n\left( x-b \right) \left( x-c \right) ,n>0 \end{cases}\Rightarrow y=f\left( x \right) +g\left( x \right) =\left( x-b \right) \left[ m\left( x-a \right) +n\left( x-c \right) \right]\\ =\left( x-b \right) \left[ \left( m+n \right) x-ma-nc \right] \Rightarrow y=\left( m+n \right) \left( x-\frac { ma+nc }{ m+n } \right) \left( x-b \right) $$
(1)錯誤： \(m+n\ne 0\Rightarrow \)非水平直線
(2)錯誤：非直線
(3)錯誤：有交點
(4)正確：若\(b=\frac { ma+nc }{ m+n }\)，則交於一點
(5)正確：若\(b\ne\frac { ma+nc }{ m+n }\)，則交於二點
故選\(\bbox[red,2pt]{(4,5)}\)
解：
$$P=\left( x,y \right) \Rightarrow \vec { PQ_{ 1 } } \cdot \vec { PQ_{ 2 } } =\left( 1-x,-y \right) \cdot \left( -1-x,-y \right) =x^{ 2 }+y^{ 2 }-1\\ \vec { PQ_{ 1 } } \cdot \vec { PQ_{ 2 } } <0\Rightarrow x^{ 2 }+y^{ 2 }-1<0\Rightarrow x^{ 2 }+y^{ 2 }<1$$
也就是說，P需在原點為圓心，半徑為1的圓內(不含圓周)才能滿足\(\vec { PQ_{ 1 } } \cdot \vec { PQ_{ 2 } } <0\)
(1)正確：該水平線高度只有\(\frac{1}{2}\)與單位圓有交點
(2)錯誤：\(y=x^2+1>1\Rightarrow \)拋物線的Y坐標比圓還高，沒有交點
(3)正確：為上下雙曲線，由於\(\frac{1}{\sqrt{2}}<1\)，因此有焦點
(4)正確：為單位圓內的橢圓，有焦點
也就是說，P需在原點為圓心，半徑為1的圓內(不含圓周)才能滿足\(\vec { PQ_{ 1 } } \cdot \vec { PQ_{ 2 } } <0\)
(1)正確：該水平線高度只有\(\frac{1}{2}\)與單位圓有交點
(2)錯誤：\(y=x^2+1>1\Rightarrow \)拋物線的Y坐標比圓還高，沒有交點
(3)正確：為上下雙曲線，由於\(\frac{1}{\sqrt{2}}<1\)，因此有焦點
(4)正確：為單位圓內的橢圓，有焦點
(5)錯誤：為左右雙曲線，由於\(\sqrt{2}>1\)，因此沒有焦點
故選\(\bbox[red,2pt]{(1,3,4)}\)
解：
S為正方形，其頂點至\(F_1\)的距離皆相等；在\(\Gamma\)上的點至同一焦點的距離相等最多只有兩個，故選：\(\bbox[red,2pt]{(1,2,5)}\)
解：
(1)正確：\(a_9\times a_{10}=a_1\times (-0.8)^8\times a_1\times(-0.8)^9=a_1^2\times(-0.8)^{17}<0\)
(3)正確：由於\(a_9\times a_{10}<0\)，所以\(<b_n>\)的公差為負值，因此\(b_9>b_{10}\)
(2,4,5)錯誤：不能確定
(3)正確：由於\(a_9\times a_{10}<0\)，所以\(<b_n>\)的公差為負值，因此\(b_9>b_{10}\)
(2,4,5)錯誤：不能確定
答：\(\bbox[red,2pt]{(1,3)}\)
第貳部份：選填題
解：
$$\frac { k }{ 3 } <\sqrt { 31 } <\frac { k+1 }{ 3 } \Rightarrow \frac { k^{ 2 } }{ 9 } <31<\frac { { \left( k+1 \right) }^{ 2 } }{ 9 } \Rightarrow k^{ 2 }<279<{ \left( k+1 \right) }^{ 2 }\\ \Rightarrow k=16\left( 16^{ 2 }=256,17^{ 2 }=289 \right) $$
答：\(\bbox[red,2pt]{16}\)
解：
$$\left( a+bi \right) \left( 2+6i \right) =-80\Rightarrow 2a-6b+\left( 6a+2b \right) i=-80\\ \Rightarrow \begin{cases} 2a-6b=-80 \\ 6a+2b=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=-4 \\ b=12 \end{cases}$$
答：\(\bbox[red,2pt]{-4,12}\)
解：
答：\(\bbox[red,2pt]{19}\)
解：
假設第二天賣出m公斤，則第一天賣出\(100-(m+t)\)公斤。
三天所得\(40(100-m-t)+36m+32t=3720\Rightarrow 4000-4m-8t=3720\Rightarrow m=-2t+70 \Rightarrow a=-2,b=70\)
三天所得\(40(100-m-t)+36m+32t=3720\Rightarrow 4000-4m-8t=3720\Rightarrow m=-2t+70 \Rightarrow a=-2,b=70\)
答：\(a=\bbox[red,2pt]{-2},b=\bbox[red,2pt]{70}\)
解：
假設圓心為A點，則半徑\(\overline{AC}=r\)
兩直線的距離=\(\left|\frac{5-1}{\sqrt{2}}\right|=2\sqrt{2}\Rightarrow \overline{AE}=\sqrt{2}\)
\(\overline{EC}=14/2=7\)。因此\(r^2=2+49=51\Rightarrow 圓面積=51\pi\)
答：\(\bbox[red,2pt]{51}\pi\)
解：
\(\begin{cases} 6\le x+y\le 8 \\ -2\le x-y\le 0 \end{cases}\)所圍之區域如上圖$$\vec { u } \cdot \vec { v } =\left( \vec { A } +\vec { B } \right) \cdot \left( x\vec { A } +y\vec { B } \right) =x{ \left| \vec { A } \right| }^{ 2 }+\left( x+y \right) \left( \vec { A } \cdot \vec { B } \right) +y{ \left| \vec { B } \right| }^{ 2 }\\ =x+\left( x+y \right) \left( \left| \vec { A } \right| \left| \vec { B } \right| \cos { 60° } \right) +4y=x+x+y+4y=2x+5y$$C點代入有最值\(2\times 3+5\times 5=6+25=31\)
答：\(\bbox[red,2pt]{31}\)
解：
由題意可知P=(6,6,1)、R=(0,3,6)，令Q=(0,a,0)，則\(\vec{QP}=(6,6-a,1),\vec{QR}=(0,3-a,6)\)
該平面的法向量\(\vec{n}=\vec{QP}\times\vec{QR}=(33-5a,-36,18-6a) \)
直線\(\overline{AG}\)的方向量\(\vec{AG}=(6,6,6)\)
平面與直線不相交代表平面法向量與直線方向向量垂直，即\(\vec{n}\cdot\vec{AG}=0 \Rightarrow 33-5a-36+18-6a=0\Rightarrow a=\frac{15}{11}\)
該平面的法向量\(\vec{n}=\vec{QP}\times\vec{QR}=(33-5a,-36,18-6a) \)
直線\(\overline{AG}\)的方向量\(\vec{AG}=(6,6,6)\)
平面與直線不相交代表平面法向量與直線方向向量垂直，即\(\vec{n}\cdot\vec{AG}=0 \Rightarrow 33-5a-36+18-6a=0\Rightarrow a=\frac{15}{11}\)
答：\(\bbox[red,2pt]{\frac{15}{11} }\)
-- END --
第六題的3tan34°-2cos30°好像寫錯了
回覆刪除應該是-2tan30° 哦
謝謝提醒，已修訂完畢。
刪除感覺題目有點不清楚
回覆刪除選填題F.是6+25=31喔~
回覆刪除對, 已修訂
刪除ok
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