101 學年度指定科目考試試題
數學乙
一、單選題
令三根皆為k，則\(x^3+ax^2+bx+8=(x-k)^3=x^3-3kx^2+3k^2x-k^3\Rightarrow b=3k^2=3\times(-2)^2 =12\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(4)}\)
解：
(1)結果不是2x2矩陣
(2)結果不是2x2矩陣$$\left( 3 \right) \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2a+3c & 2b+3d \\ 2a+3c & 2b+3d \end{bmatrix}\\ \left( 4 \right) \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2a & 2b \\ 3c & 3d \end{bmatrix}\\ \left( 5 \right) \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2a & 3b \\ 2c & 3d \end{bmatrix}$$
(2)結果不是2x2矩陣$$\left( 3 \right) \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2a+3c & 2b+3d \\ 2a+3c & 2b+3d \end{bmatrix}\\ \left( 4 \right) \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2a & 2b \\ 3c & 3d \end{bmatrix}\\ \left( 5 \right) \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2a & 3b \\ 2c & 3d \end{bmatrix}$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(5)}\)
解：
甲、乙、丙三取一，配上丁、戊二取一，共有\(3\times 2=6\)種搭配法
己可以與其他5位選手搭配，有5種配法
因此共有6+5=11種搭配法
故選\(\bbox[red,2pt]{(3)}\)
己可以與其他5位選手搭配，有5種配法
因此共有6+5=11種搭配法
故選\(\bbox[red,2pt]{(3)}\)
二、多選題
解：
(1)正確：70%的高中生有意願就讀大學
(2)正確：有打工且有意願就讀大學最多為60%(所有打工生皆有意願唸大學)
(3)錯誤：有打工且有意願就讀大學至少為70%+60%-100%=30%(沒打工也不想唸大學的人為零)
(4)錯誤：如(2)及(3)所述，有打工無意願者的機率非固定值
故選\(\bbox[red,2pt]{(1,2)}\)
解：
$${ \left( x^{ 2 }+y \right) }^{ 12 }=\sum _{ n=0 }^{ 12 }{ C^{ 12 }_{ n }(x^{ 2 })^{ n }y^{ 12-n } } \Rightarrow x^{ 10 }y^{ 7 }的係數=C^{ 12 }_{ 5 }=792\\ \left( 1 \right) 正確：x^{ 24 }的係數=C^{ 12 }_{ 12 }=1<792\\ \left( 2 \right) 錯誤：x^{ 12 }y^{ 6 }的係數=C^{ 12 }_{ 6 }=924>792\\ \left( 3 \right) 錯誤：x^{ 14 }y^{ 5 }的係數=C^{ 12 }_{ 7 }=C^{ 12 }_{ 5 }=792\\ \left( 4 \right) 正確：x^{ 8 }y^{ 8 }的係數=C^{ 12 }_{ 4 }=495<792$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(1,4)}\)
解：
(2)正確：\(0<x<1\Rightarrow y=\log_{10}{x}<0\Rightarrow 2y<y<\frac{1}{2}y\)
(3)錯誤：取\(x=\frac{1}{2}\Rightarrow \log_{10}{(x^2)}=-2\times 0.301=-0.602>-1=\log_{2}{x}\)
(4)正確：\(0<x<1\Rightarrow y=\log_{10}{x}<0\Rightarrow 2y<\frac{1}{2\log_{10}{2}}y\approx 1.6y<y\)
故選\(\bbox[red,2pt]{(2,4)}\)
解：
(1)錯誤：所得差距倍數=\(\frac{\frac{0.446m}{0.2n}}{\frac{0.036m}{0.2n}}=\frac{0.446}{0.036}=12.35\ngtr 13\)
(2)正確：第四組所得最高的一半人數，其所得大於0.14m再加上第五組的所得0.446m = 0.586m，超過0.55m(全體總所得的55%)
(3)錯誤：個人所得並非個人平均所得
(4)錯誤：第一組的平均所得為\(\frac{0.036m}{0.2n}=0.18\frac{m}{n}\ne 0.036\frac{m}{n}\)
故選\(\bbox[red,2pt]{(2)}\)
三、選填題
解：
\(x^2-ax+15=0\)的質數根可能為3或5；
若共同質數根為3，則\(9-3b+3b-1=8\ne 0\)，所以3不是共同根；
若共同質數根為5，則\(25-5b+3b-1= 0\Rightarrow b=12\)
答：\(b=\bbox[red,2pt]{12}\)
解：
此骰子出現2、4、5的機率皆是\(\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)
擲骰子2次點數和的情況有：
4：2+2：機率為\(\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{9}\Rightarrow\)期望值為\(4\times\frac{1}{9}=\frac{4}{9}\)
6：2+4, 4+2：機率為\(2\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{2}{9}\Rightarrow\)期望值為\(6\times\frac{2}{9}=\frac{12}{9}\)
7：2+5, 5+2：機率為\(2\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{2}{9}\Rightarrow\)期望值為\(7\times\frac{2}{9}=\frac{14}{9}\)
擲骰子2次點數和的情況有：
4：2+2：機率為\(\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{9}\Rightarrow\)期望值為\(4\times\frac{1}{9}=\frac{4}{9}\)
6：2+4, 4+2：機率為\(2\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{2}{9}\Rightarrow\)期望值為\(6\times\frac{2}{9}=\frac{12}{9}\)
7：2+5, 5+2：機率為\(2\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{2}{9}\Rightarrow\)期望值為\(7\times\frac{2}{9}=\frac{14}{9}\)
8：4+4：機率為\(\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{9}\Rightarrow\)期望值為\(8\times\frac{1}{9}=\frac{8}{9}\)
9：4+5, 5+4：機率為\(2\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{2}{9}\Rightarrow\)期望值為\(9\times\frac{2}{9}=2\)
10：5+5：機率為\(\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{9}\Rightarrow\)期望值為\(10\times\frac{1}{9}=\frac{10}{9}\)
因此期望值=\(\frac{4}{9}+\frac{12}{9}+\frac{14}{9}+\frac{8}{9}+2+\frac{10}{9}=\frac{22}{3}\)
因此期望值=\(\frac{4}{9}+\frac{12}{9}+\frac{14}{9}+\frac{8}{9}+2+\frac{10}{9}=\frac{22}{3}\)
答：\(\bbox[red,2pt]{\frac{22}{3}}\)
解：
答：\(\bbox[red,2pt]{40}\)
第貳部份 ：非選擇題
解：
\(f\left( x \right) =ax^{ 2 }+2ax+b=a\left( x^{ 2 }+2x+1 \right) +b-a=a{ \left( x+1 \right) }^{ 2 }+b-a\Rightarrow \)頂點坐標為\(\left(-1, b-a \right)\)
(1) a<0且最大值在頂點且最小值在f(1)
\(\begin{cases} f\left( -1 \right) =7 \\ f\left( 1 \right) =3 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} b-a=7 \\ 3a+b=3 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=-1 \\ b=6 \end{cases}\)
(2)a>0且最小值在頂點且最大值在f(1)
\(\begin{cases} f\left( -1 \right) =3 \\ f\left( 1 \right) =7 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} b-a=3 \\ 3a+b=7 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=1 \\ b=4 \end{cases}\)
(1) a<0且最大值在頂點且最小值在f(1)
\(\begin{cases} f\left( -1 \right) =7 \\ f\left( 1 \right) =3 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} b-a=7 \\ 3a+b=3 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=-1 \\ b=6 \end{cases}\)
(2)a>0且最小值在頂點且最大值在f(1)
\(\begin{cases} f\left( -1 \right) =3 \\ f\left( 1 \right) =7 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} b-a=3 \\ 3a+b=7 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=1 \\ b=4 \end{cases}\)
答：\(\bbox[red,2pt]{(-1,6),(1,4)}\)
解：
(1)
箱數必須為大於或等於0的整數，即\(x,y\ge 0, x,y\in Z\)
每趙貨車最多能運送100箱，即\(x+y\le 100\)
貨車最大載重為1600公斤，即\(20x+10y\le 1600\)
因此x,y必須滿足以下聯立不等式：$$\bbox[red,2pt]{\begin{cases} x,y\ge 0,x,y\in Z \\ x+y\le 100 \\ 20x+10y\le 1600 \end{cases}}$$
(2)令利潤=k，即\(1200x+1000y=k\)
先求聯立不等式的交點，再帶入求k值，找出最大k值的交點
當x=60,y=40有最大利潤\(1200\times 60+1000\times 40=\bbox[red,2pt]{112000}\)元
箱數必須為大於或等於0的整數，即\(x,y\ge 0, x,y\in Z\)
每趙貨車最多能運送100箱，即\(x+y\le 100\)
貨車最大載重為1600公斤，即\(20x+10y\le 1600\)
因此x,y必須滿足以下聯立不等式：$$\bbox[red,2pt]{\begin{cases} x,y\ge 0,x,y\in Z \\ x+y\le 100 \\ 20x+10y\le 1600 \end{cases}}$$
(2)令利潤=k，即\(1200x+1000y=k\)
先求聯立不等式的交點，再帶入求k值，找出最大k值的交點
當x=60,y=40有最大利潤\(1200\times 60+1000\times 40=\bbox[red,2pt]{112000}\)元
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