朱式幸福: 103年大學指考數學乙詳解

103學年度指定科目考試試題

數學乙

第壹部分：選擇題（占 76 分）
一、單選題

1. 坐標平面上滿足$10^x\cdot 100^y=1000$的所有點$(x,y)$所形成的圖形為下列哪個選項？
(1) 一個點
(2) 一直線
(3) 兩直線
(4) 一個二次多項式的函數圖形
(5) 一個圓
解：
$$10^{ x }\cdot 100^{ y }=1000\Rightarrow \log { 10^{ x }\cdot 100^{ y } } =\log { 1000 } \Rightarrow x+2y=3$$

故選$\bbox[red,2pt]{(2)}$

2. 某班有 41 名學生，已知某次考試成績全班的平均分數為 64，最高分為 97，最低分為 24。欲將全班學生成績做線性調整（調整後分數 $=a+b\times$原始分數，其中b>0）使得最高分為 100 及最低分為 50。請選出正確的選項。

(1) 調整後分數的平均值較原始分數的平均值低

(2) 調整後分數的中位數和原始分數的中位數一樣

(3) 調整後分數的中位數較原始分數的中位數高

(4) 調整後分數的標準差和原始分數的標準差一樣

(5) 調整後分數的標準差較原始分數的標準差大

解：

成績經線性轉換調高，無論是平均值或是中位數均提高。由$$\begin{cases} 24b+a=50 \\ 97b+a=100 \end{cases}\Rightarrow b=\frac { 50 }{ 73 } $$可知標準差變小，故選$\bbox[red,2pt]{(3)}$

二、多選題

3. 三次實係數多項式$f\left( x \right)$滿足$f\left( -3 \right) >0$，$f\left( -2 \right) <0$，$f\left( -1\right) >0$，$f\left( 1 \right) >0$，$f\left( 2 \right) =0$。請選出正確的選項。

(1)$f\left( 0 \right) <0$

(2)$f\left( x \right) =0$恰有一根介於 -3 與 -2 之間

(3)$f\left( x \right) =0$恰有一根介於 -2 與 0 之間

(4)$f\left( x \right) =0$在0 與 1 之間有根

(5)$f\left( x \right) =0$在 -3 與 3 之間恰有三個根

解：

由上圖可知(2)、(3)、(5)正確

故選$\bbox[red,2pt]{(2,3,5)}$

4. 請選出正確的選項。

(1) 隨機亂數表的任一列中， 0 到 9 各數字出現的次數皆相同

(2) 擲一枚均勻的銅板 10 次，若前 5 次出現 3 次正面與 2 次反面，則後 5 次必定出現 2 次正面與 3 次反面

(3) 投擲一枚均勻的銅板 2 次，在正面至少出現 1 次的條件下， 2 次都出現正面的條件機率等於 $\frac{1}{3}$

(4) 投擲 6 顆公正的骰子， 1、 2、 3、 4、 5、 6 點都出現的機率小於 $\frac{1}{6}$

(5) 從一副 52 張的撲克牌（紅黑各有 26 張）中，隨機抽取相異的兩張，這兩張牌都是紅色的機率為 $\frac{1}{4}$

解：

(1)X ：整體而言，各數字出現的次數皆相同，但任一列不一定如此
(2)X ：不一定
(3)○：正面至少出現一次的樣本空間為{正反、反正、正正}，因此2次都出現正面的條件機率為1/3
(4)○：1~6的排列數為6!，擲6顆骰子的有$6^6$可能，機率為$\frac{6!}{6^6}<\frac{1\times 6^5}{6^6}=\frac{1}{6}$
(5)X：機率為$\frac{C^{26}_2}{C^{52}_2}=\frac{25}{102}\ne\frac{1}{4}$

故選$\bbox[red,2pt]{(3,4)}$

5. 請選出正確的選項。$$\left( 1 \right) \lim _{ n\rightarrow \infty }{ { \left( \frac { 9 }{ 10 } \right) }^{ n } } =0\\ \left( 2 \right) \lim _{ n\rightarrow \infty }{ { \left( -\frac { 4 }{ 3 } \right) }^{ n } } =0\\ \left( 3 \right) \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 5^{ n }-3^{ n } }{ 6^{ n }+7^{ n } } } =0\\ \left( 4 \right) \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { n\left( n+1 \right) \left( 2n+1 \right) }{ 6n^{ 3 } } } =\frac{1}{3}\\ \left( 5 \right) \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \left( \sqrt { n+1 } -\sqrt { n } \right) } =1$$

解：

$$\left( 1 \right) 正確：\left| \frac { 9 }{ 10 } \right| <1\Rightarrow \lim _{ n\rightarrow \infty }{ { \left( \frac { 9 }{ 10 } \right) }^{ n } } =0\\ \left( 2 \right) 錯誤：\left| -\frac { 4 }{ 3 } \right| >1\\ \left( 3 \right) 正確：\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 5^{ n }-3^{ n } }{ 6^{ n }+7^{ n } } } =\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { { \left( \frac { 5 }{ 7 } \right) }^{ n }-{ \left( \frac { 3 }{ 7 } \right) }^{ n } }{ { \left( \frac { 6 }{ 7 } \right) }^{ n }+{ \left( \frac { 7 }{ 7 } \right) }^{ n } } }=\frac{0-0}{0+1} =0\\ \left( 4 \right) 正確：\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { n\left( n+1 \right) \left( 2n+1 \right) }{ 6n^{ 3 } } } =\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 2n^{ 3 }+\cdots }{ 6n^{ 3 } } } =\frac { 2 }{ 6 } =\frac { 1 }{ 3 } \\ \left( 5 \right) 錯誤：\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \left( \sqrt { n+1 } -\sqrt { n } \right) } =\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { \left( \sqrt { n+1 } -\sqrt { n } \right) \left( \sqrt { n+1 } +\sqrt { n } \right) }{ \sqrt { n+1 } +\sqrt { n } } } =\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ \sqrt { n+1 } +\sqrt { n } } } =0$$

故選$\bbox[red,2pt]{(1,3,4)}$

6. 假設多項式$f(x)=2-2x+4x(x-1)+x(x-1)(x-2)g(x)$，其中$g(x)$為一實係數多項式。

請選出 一定正確 的選項。

(1)f(x)有(x-1)的因式

(2)f(x)沒有(x+1)的因式

(3)f(x)被(x-2)除的餘式等於6

(4) 0不是f(x)=0的根

(5) 通過(0, f(0))、(1, f(1))、(2, f(2))的最低次插值多項式為$2-2x+4x(x-1)$

解：

(1) 正確：$f(x)=2-2x+4x(x-1)+x(x-1)(x-2)g(x)=2(1-x)+4x(x-1)+x(x-1)(x-2)g(x)$
(2)錯誤：$$f\left( -1 \right) =2-2\times \left( -1 \right) +4\times \left( -1 \right) \times \left( -2 \right) +\left( -1 \right) \times \left( -2 \right) \times \left( -3 \right) g\left( -1 \right) \\ =12-6\times g\left( -1 \right) ,若g\left( -1 \right) =2,則f\left( -1 \right) =0$$
(3)正確：$f\left( 2 \right) =2-4+8+0\cdot g\left( 2 \right) =6$
(4)正確：$f\left( 0 \right) =2\ne 0$
(5)正確：令$q(x)=2-2x+4x(x-1)$，則f(0)=q(0)、f(1)=q(1)及f(2)=q(2)，因此q(x)通過不共線的三點(0, f(0))、(1, f(1))、(2, f(2))。

故選$\bbox[red,2pt]{(1,3,4,5)}$

7. 三個相異實數$a$、$b$、$c$滿足$b=\frac{4}{5}a+\frac{1}{5}c$，如果將$a$、$b$、$c$標示在數線上，則

(1) $b$在$a$與$c$之間

(2) $c>b$

(3) 若$d=\frac{4}{3}a-\frac{1}{3}c$，則$d$在$a$與$b$之間

(4) $a$到$c$的距離是$a$到$b$的距離的5倍

(5) 如果$|b|=\frac{4}{5}|a|+\frac{1}{5}|c|$，則$a\cdot b\cdot c>0$

解：

(1)正確
(2)錯誤：$b$在$a$與$c$之間，但$a$可能比$c$大，也可能比$c$小，所以不能確定 $c>b$
(3) 錯誤：$d=\frac{4}{3}a-\frac{1}{3}c\Rightarrow a=\frac{3}{4}d+\frac{1}{4}c\Rightarrow a$介於$c$與$d$之間。原$b$介於$a$與$c$之間，所以$d$不可能在$a$與$b$之間
(4)正確：$b=\frac{4}{5}a+\frac{1}{5}c\Rightarrow \overline{ab}:\overline{bc}=1:4\Rightarrow \overline{ac}=5\overline{ab}$
(5)錯誤：$a=-1,b=-8/5,c=-4$滿足$|b|=\frac{4}{5}|a|+\frac{1}{5}|c|$，但$a\cdot b\cdot c\ngtr 0$

故選$\bbox[red,2pt]{(1,4)}$

三、選填題

解：

三個數字總和為偶數，代表2奇1偶或3偶，可能情形如下；

3偶：666

2奇1偶：

6○○、○6○、○○6→各有$4\times 4=16$種，共$16\times 3=48$，因此總共有48+1=49種

答：$\bbox[red,2pt]{49}$種

解：

$$P=\left( a,0 \right) \Rightarrow \vec { PA } \cdot \vec { PB } =5\Rightarrow \left( a-1,2 \right) \cdot \left( a-1,-2 \right) =5\Rightarrow { \left( a-1 \right) }^{ 2 }=9\\ \Rightarrow a=4,(\because a>0\therefore -2不合)\Rightarrow P=\left( 4,0 \right) $$

答： $(\bbox[red,2pt]{4,0})$。

解：$$P=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\Rightarrow P\left( Q+R \right) =PQ+PR\Rightarrow \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 12 & 0 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 12 \end{bmatrix}\\ \Rightarrow \begin{bmatrix} a+3b & 3b \\ c+3d & 3d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 16 & 12 \end{bmatrix}\Rightarrow b=1,d=4,a=0,c=4\Rightarrow P=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 4 & 4 \end{bmatrix}$$

答：$\bbox[red,2pt]{\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 4 & 4 \end{bmatrix}}$

解：

(1)先求直線$L$的方程式，該直線的法向量為$\vec{AB}=(23-11,18-2)=(12,16)\Rightarrow $方程式為$12(x-11)+16(y-2)=0$，也就是$3x+4y=41$。

因此我們可以假設L上的坐標為$\left(a,\frac{41-3a}{4}\right)$，再由L上的點與A點的距離為5，即$${ \left( a-11 \right) }^{ 2 }+{ \left( \frac { 33-3a }{ 4 } \right) }^{ 2 }=25\Rightarrow { \left( a-11 \right) }^{ 2 }+\frac { 9 }{ 16 } { \left( a-11 \right) }^{ 2 }=25\Rightarrow \frac { 25 }{ 16 } { \left( a-11 \right) }^{ 2 }=25\\ \Rightarrow { \left( a-11 \right) }^{ 2 }=16\Rightarrow a=15,7\Rightarrow C=\left( 7,\frac { 41-3\times 7 }{ 4 } \right) =\bbox[red,2pt]{\left( 7,5 \right)} ,D=\left( 15,\frac { 41-3\times 15 }{ 4 } \right) =\bbox[red,2pt]{\left( 15,-1 \right)} \\\left( 2 \right) \triangle OCD=\frac { 1 }{ 2 } \left| \vec { OC } \times \vec { OD } \right| =\frac { 1 }{ 2 } \left| \left( 7,5 \right) \times \left( 15,-1 \right) \right| =\frac { 1 }{ 2 } \times 82=\bbox[red,2pt]{41}$$

解：$$\left( 1 \right) \begin{cases} x,y\ge 0且x,y\in Z \\ 8x+4y\ge 28 \\ 4x+4y\ge 20 \\ 8x+16y\ge 48 \end{cases},目標函數k=400x+320y$$

(2)

可求得交點$\bbox[red,2pt]{A(0,7)、B(2,3)、C(4,1)、D(6,0)}$

(3)將各頂點代入可求得：目標函數在B點有最小值=800+960=$\bbox[red,2pt]{1760}$元

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