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2018年3月12日 星期一

103年大學指考數學乙詳解


103學年度指定科目考試試題
數學乙
第壹部分:選擇題(占 76 分 )
一、單選題
1.   坐標平面上滿足10x100y=1000的所有點(x,y)所形成的圖形為下列哪個選項?
(1) 一個點
(2) 一直線
(3) 兩直線
(4) 一個二次多項式的函數圖形
(5) 一個圓
解:
10x100y=1000log10x100y=log1000x+2y=3
故選(2)

2.   某班有 41 名學生,已知某次考試成績全班的平均分數為 64,最高分為 97, 最低分為 24。欲將全班學生成績做線性調整(調整後分數 =a+b×原始分數,其中b>0)使得最高分為 100 及最低分為 50。請選出正確的選項。
(1) 調整後分數的平均值較原始分數的平均值低
(2) 調整後分數的中位數和原始分數的中位數一樣
(3) 調整後分數的中位數較原始分數的中位數高
(4) 調整後分數的標準差和原始分數的標準差一樣
(5) 調整後分數的標準差較原始分數的標準差大
解:
成績經線性轉換調高,無論是平均值或是中位數均提高。由{24b+a=5097b+a=100b=5073可知標準差變小,故選(3)


二、多選題
3.   三次實係數多項式f(x)滿足f(3)>0f(2)<0f(1)>0f(1)>0f(2)=0。請選出正確的選項。
(1)f(0)<0
(2)f(x)=0恰有一根介於 -3 與 -2 之 間
(3)f(x)=0恰有一根介於 -2 與 0 之 間
(4)f(x)=0在0 與 1 之 間有根
(5)f(x)=0在 -3 與 3 之 間恰有三個根
解:
由上圖可知(2)、(3)、(5)正確
故選(2,3,5)


4.   請選出正確的選項。
(1) 隨機亂數表的任一列中, 0 到 9 各數字出現的次數皆相同
(2) 擲一枚均勻的銅板 10 次,若前 5 次出現 3 次正面與 2 次反面,則後 5 次 必定出現 2 次正面與 3 次反面
(3) 投擲一枚均勻的銅板 2 次,在正面至少出現 1 次的條件下, 2 次都出現正面的條件機率等於 13
(4) 投 擲 6 顆公正的骰子, 1、 2、 3、 4、 5、 6 點都出現的機率小於 16
(5) 從一副 52 張的撲克牌(紅黑各有 26 張)中,隨機抽取相異的兩張,這兩張牌都是紅色的機率為 14

解:
(1)X :整體而言,各數字出現的次數皆相同,但任一列不一定如此
(2)X :不一定
(3)○:正面至少出現一次的樣本空間為{正反、反正、正正},因此2次都出現正面的條件機率為1/3
(4)○:1~6的排列數為6!,擲6顆骰子的有66可能,機率為6!66<1×6566=16
(5)X:機率為C262C522=2510214
故選(3,4)



5. 請選出正確的選項。(1)lim
解:
\left( 1 \right) 正確:\left| \frac { 9 }{ 10 }  \right| <1\Rightarrow \lim _{ n\rightarrow \infty  }{ { \left( \frac { 9 }{ 10 }  \right)  }^{ n } } =0\\ \left( 2 \right) 錯誤:\left| -\frac { 4 }{ 3 }  \right| >1\\ \left( 3 \right) 正確:\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { 5^{ n }-3^{ n } }{ 6^{ n }+7^{ n } }  } =\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { { \left( \frac { 5 }{ 7 }  \right)  }^{ n }-{ \left( \frac { 3 }{ 7 }  \right)  }^{ n } }{ { \left( \frac { 6 }{ 7 }  \right)  }^{ n }+{ \left( \frac { 7 }{ 7 }  \right)  }^{ n } }  }=\frac{0-0}{0+1} =0\\ \left( 4 \right) 正確:\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { n\left( n+1 \right) \left( 2n+1 \right)  }{ 6n^{ 3 } }  } =\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { 2n^{ 3 }+\cdots  }{ 6n^{ 3 } }  } =\frac { 2 }{ 6 } =\frac { 1 }{ 3 } \\ \left( 5 \right) 錯誤:\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \left( \sqrt { n+1 } -\sqrt { n }  \right)  } =\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { \left( \sqrt { n+1 } -\sqrt { n }  \right) \left( \sqrt { n+1 } +\sqrt { n }  \right)  }{ \sqrt { n+1 } +\sqrt { n }  }  } =\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { 1 }{ \sqrt { n+1 } +\sqrt { n }  }  } =0
故選\bbox[red,2pt]{(1,3,4)}


6. 假設多項式f(x)=2-2x+4x(x-1)+x(x-1)(x-2)g(x),其中g(x)為一實係數多項式。
請選出 一定正確 的選項。
(1)f(x)有(x-1)的因式
(2)f(x)沒有(x+1)的因式
(3)f(x)被(x-2)除的餘式等於6
(4)   0不是f(x)=0的根
(5)   通過(0,   f(0))、(1,   f(1))、(2,   f(2))的最低次插值多項式為2-2x+4x(x-1)
解:

(1) 正確:f(x)=2-2x+4x(x-1)+x(x-1)(x-2)g(x)=2(1-x)+4x(x-1)+x(x-1)(x-2)g(x)
(2)錯誤:f\left( -1 \right) =2-2\times \left( -1 \right) +4\times \left( -1 \right) \times \left( -2 \right) +\left( -1 \right) \times \left( -2 \right) \times \left( -3 \right) g\left( -1 \right) \\ =12-6\times g\left( -1 \right) ,若g\left( -1 \right) =2,則f\left( -1 \right) =0
(3)正確:f\left( 2 \right) =2-4+8+0\cdot g\left( 2 \right) =6
(4)正確:f\left( 0 \right) =2\ne 0
(5)正確:令q(x)=2-2x+4x(x-1),則f(0)=q(0)、f(1)=q(1)及f(2)=q(2),因此q(x)通過不共線的三點(0,   f(0))、(1,   f(1))、(2,   f(2))。
故選\bbox[red,2pt]{(1,3,4,5)}

7. 三個相異實數abc滿足b=\frac{4}{5}a+\frac{1}{5}c,如果將abc標示在數線上,則
(1)    bac之間
(2)    c>b
(3)   若d=\frac{4}{3}a-\frac{1}{3}c,則dab之間
(4)  ac的距離是ab的距離的5倍
(5)   如果|b|=\frac{4}{5}|a|+\frac{1}{5}|c|,則a\cdot   b\cdot   c>0
解:

(1)正確
(2)錯誤:bac之間,但a可能比c大,也可能比c小,所以不能確定 c>b
(3) 錯誤:d=\frac{4}{3}a-\frac{1}{3}c\Rightarrow a=\frac{3}{4}d+\frac{1}{4}c\Rightarrow   a介於cd之間。原b介於ac之間,所以d不可能在ab之間
(4)正確:b=\frac{4}{5}a+\frac{1}{5}c\Rightarrow \overline{ab}:\overline{bc}=1:4\Rightarrow \overline{ac}=5\overline{ab}
(5)錯誤:a=-1,b=-8/5,c=-4滿足|b|=\frac{4}{5}|a|+\frac{1}{5}|c|,但a\cdot   b\cdot   c\ngtr  0
故選\bbox[red,2pt]{(1,4)}

三、選填題

解:
三個數字總和為偶數,代表2奇1偶或3偶,可能情形如下;
3偶:666
2奇1偶:
6○○、○6○、○○6→各有4\times   4=16種,共16\times   3=48,因此總共有48+1=49種
答:\bbox[red,2pt]{49}



解:
P=\left( a,0 \right) \Rightarrow \vec { PA } \cdot \vec { PB } =5\Rightarrow \left( a-1,2 \right) \cdot \left( a-1,-2 \right) =5\Rightarrow { \left( a-1 \right) }^{ 2 }=9\\ \Rightarrow a=4,(\because a>0\therefore -2不合)\Rightarrow P=\left( 4,0 \right)
答: (\bbox[red,2pt]{4,0})


解:P=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\Rightarrow P\left( Q+R \right) =PQ+PR\Rightarrow \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 12 & 0 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 12 \end{bmatrix}\\ \Rightarrow \begin{bmatrix} a+3b & 3b \\ c+3d & 3d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 16 & 12 \end{bmatrix}\Rightarrow b=1,d=4,a=0,c=4\Rightarrow P=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 4 & 4 \end{bmatrix}
答:\bbox[red,2pt]{\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 4 & 4 \end{bmatrix}}





解:

(1)先求直線L的方程式,該直線的法向量為\vec{AB}=(23-11,18-2)=(12,16)\Rightarrow 方程式為12(x-11)+16(y-2)=0,也就是3x+4y=41
因此我們可以假設L上的坐標為\left(a,\frac{41-3a}{4}\right),再由L上的點與A點的距離為5,即{ \left( a-11 \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { 33-3a }{ 4 }  \right)  }^{ 2 }=25\Rightarrow { \left( a-11 \right)  }^{ 2 }+\frac { 9 }{ 16 } { \left( a-11 \right)  }^{ 2 }=25\Rightarrow \frac { 25 }{ 16 } { \left( a-11 \right)  }^{ 2 }=25\\ \Rightarrow { \left( a-11 \right)  }^{ 2 }=16\Rightarrow a=15,7\Rightarrow C=\left( 7,\frac { 41-3\times 7 }{ 4 }  \right) =\bbox[red,2pt]{\left( 7,5 \right)} ,D=\left( 15,\frac { 41-3\times 15 }{ 4 }  \right) =\bbox[red,2pt]{\left( 15,-1 \right)} \\\left( 2 \right) \triangle OCD=\frac { 1 }{ 2 } \left| \vec { OC } \times \vec { OD }  \right| =\frac { 1 }{ 2 } \left| \left( 7,5 \right) \times \left( 15,-1 \right)  \right| =\frac { 1 }{ 2 } \times 82=\bbox[red,2pt]{41}



\left( 1 \right) \begin{cases} x,y\ge 0且x,y\in Z \\ 8x+4y\ge 28 \\ 4x+4y\ge 20 \\ 8x+16y\ge 48 \end{cases},目標函數k=400x+320y
(2)

可求得交點\bbox[red,2pt]{A(0,7)、B(2,3)、C(4,1)、D(6,0)}

(3)將各頂點代入可求得:目標函數在B點有最小值=800+960=\bbox[red,2pt]{1760}

-- END --

3 則留言:

  1. 第7題 (5) 不能用a=b=c=0 當反例,因為題目有說"三個相異實數a、b、c..."。

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  2. 線性規劃不等式在計算題不用化最簡嗎

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