98年大學指考數學甲詳解

98學年度指定科目考試試題

數學甲

第壹部分：選擇題
一、單選題

1. 數學教科書所附的對數表中，$\log{4.34}=0.6375、\log{4.35}=0.6385$ 。根據$\log{4.34}$ 和$\log{4.35}$ 的查表值以內插法求$\log{4.342}$ ，設求得的值為$p$ ，則下列哪一個選項是正確的？


(1) $p=\frac{1}{2}(0.6375+0.6385)$
(2) $p=0.2\times 0.6375+0.8\times 0.6385$
(3) $p=0.8\times 0.6375+0.2\times 0.6385$
(4) $p=0.6375+0.002$
(5) $p=0.6385-0.002$  

解：

故選$\bbox[red,2pt]{(3)}$

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2. 擲一均勻硬幣，若連續三次出現同一面就停止。設：
$a$為恰好投擲三次停止的機率；
$b$為在第一次是反面的情況下，恰好在第四次停止的條件機率；
$c$為在第一、二次都是反面的情況下，恰好在第五次停止的條件機率。
則下列哪一個選項是正確的？

(1)$a=b=c$

(2)$a>b>c$

(3)$a<b<c$

(4)$a<b=c$

(5)$a>b=c$

解：

恰好投擲三次停止的機率:正正正 或 反反反兩種情況，因此$a=\frac{1}{8}\times 2=\frac{2}{8}$
在第一次是反面的情況下，恰好在第四次停止：反正正正，因此$b=\frac{1}{8}$
在第一、二次都是反面的情況下，恰好在第五次停止：反反正正正，因此$c=\frac{1}{8}$
由上述可知：$a>b=c$，故選$\bbox[red,2pt]{(5)}$

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3. 複數$z_1=\cos{\frac{\pi}{4}}+i\sin{\frac{\pi}{4}}$、$z_2=\cos{\frac{\pi}{3}}+i\sin{\frac{\pi}{3}}$ 與它們的乘積$z_1z_2$ 在複數平面上對應的點分別為 $P$、$Q$ 與$R$ 。則$\angle QPR$ 等於下列哪一個選項？

(1)$\frac{\pi}{12}$  (2)$\frac{\pi}{10}$  (3)$\frac{\pi}{9}$  (4)$\frac{\pi}{8}$  (5) $\frac{\pi}{6}$

解：

令$z_3=z_1z_2=\cos{(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3})}+i\sin{(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3})}= \cos{\frac{7\pi}{12}}+i\sin{\frac{7\pi}{12}}$，三點皆在單位圓上，夾角分別為$\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3}及\frac{7\pi}{12}$，也就是$45^\circ, 60^\circ及105^\circ$，如下圖。

$$\angle POR=\frac{7\pi}{12}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{3}\Rightarrow \triangle POR為正三角形 \Rightarrow \angle OPR=60^\circ\\ \angle POQ=\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{12}\Rightarrow \angle OPQ=(\pi-\frac{\pi}{12})\div 2=\frac{11\pi}{24}\\ \Rightarrow \angle QPR=\angle OPQ-\angle OPR=\frac{11\pi}{24}-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{8}$$

故選$\bbox[red,2pt]{(4)}$

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二、多選題
4. 設 a , b為實數。如果空間中某一平面通過 (a,0,0) , (0,b,0) , (0,0,3) , (1,2,3)這些點，則
下列哪些選項是正確的？
(1) a , b 有可能都是正數
(2) a , b 有可能是一個正數一個負數
(3) a , b 有可能都是負數
(4) a , b 有可能只有一個等於0

解： $$通過(a,0,0),(0,b,0),(0,0,3)，表示該平面在X軸,Y軸,Z軸的截距分別為a,b,3；\\ 因此該平面方程式可寫成\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{3}=1；\\ 該平面也通過(1,2,3)\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{3}=1\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{2}{b}=0\Rightarrow 2a+b=0\\ \Rightarrow a,b皆為0、或一正一負，故選\bbox[red,2pt]{(2)}$$

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5. 在坐標空間中， 一正立方體的八個頂點分別為(0,0,0) 、(1,0,0) 、(1,1,0) 、(0,1,0) 、
(0,0,1) 、(1,0,1) 、(1,1,1) 與(0,1,1) 。若A、B 分別為此正立方體兩稜邊的中點， 則向量$\overrightarrow{AB}$可能為下列哪些選項？
(1) (1,0,0)
(2)(1/2,0,0)
(3)( 1/2, 0,1)
(4)(0,-1/2 ,-1/2 )

解： $$(1)\bigcirc:A為(0,1,0)與(0,1,1)的中點(0,1,1/2)；B為(1,1,0)與(1,1,1)的中點(1,1,1/2)，\\ 則\overrightarrow{AB}=(1,0,0)\\ (2)與(3)皆不可能\\(4)\bigcirc:A為(1,1,0)與(1,1,1)的中點(1,1,1/2)；B為(1,0,0)與(1,1,0)的中點(1,1/2,0)，\\ 則\overrightarrow{AB}=(0,-1/2,-1/2)\\故選\bbox[red,2pt]{(1,4)}$$

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6. 設 y = f (x)是一個實係數四次多項式，其函數圖形在 (−1,2)和 (1,2)各有一個反曲點，且知在 (−1,2)和 (1,2)此函數圖形切線的斜率分別為 1 和 −1，則下列哪些選項是正確的？
(1) x +1是 f ''(x)的因式
(2) f '(x)的常數項不等於零
(3) f '(−x) = − f '(x)
(4) f (x)的首項係數是 1

解：
$$f(x)為4次式\Rightarrow f'(x)為3次式\Rightarrow f''(x)為2次式\\ (1)\bigcirc: (−1,2)和 (1,2)各有一個反曲點\Rightarrow f''(-1)=f''(1)=0\Rightarrow x=\pm 1為f''(x)=0的兩根\\ \;\;\Rightarrow f''(x)=a(x+1)(x-1)\Rightarrow x+1是f(x)的因式\\ (2)\times:f''(x)=a(x+1)(x-1)=ax^2-a\Rightarrow f'(x)=\frac{1}{3}ax^3-ax+c；\\ \quad 由於在 (−1,2)和 (1,2)此函數圖形切線的斜率分別為 1 和 −1\Rightarrow \begin{cases}f'(-1)=1\\f'(1)=-1\end{cases} \\\quad\Rightarrow \begin{cases}-\frac{1}{3}a+a+c=1\\\frac{1}{3}a-a+c=-1\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}a=\frac{3}{2}\\c=0\end{cases}\Rightarrow f'(x)的常項為0\\ (3)\bigcirc:由(2)可知f'(x)=\frac{1}{2}x^3-\frac{3}{2}x \Rightarrow f(-x)=-f(x)\\ (4)\times:f'(x)=\frac{1}{2}x^3-\frac{3}{2}x\Rightarrow f(x)=\frac{1}{8}x^4-\frac{3}{4}x^2+c_2\Rightarrow 首項不是1 \\\quad\quad\quad 故選\bbox[red,2pt]{(1,3)}$$

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7. 已知丟某枚銅板， 其出現正面的機率為 p，出現反面的機率為 (1− p)，將此枚銅板丟擲n 次， 在丟擲過程中， 正面第一次出現時， 可得獎金1 元， 正面第二次出現時，可再得獎金2 元，正面第三次出現時，可再得獎金3 元，以此類推。試問下列哪些選項是正確的？

(1) 若n 次丟擲中出現正面k 次， 總共得到獎金$\frac{1}{2}(k^2-k)$元
(2) 丟擲銅板第二次之後， 累計得獎金1 元的機率為$2(p − p^2)$
(3) 總共得到獎金2 元的機率為$\frac{n(n-1)}{2}p^2(1-p)^{n-2}$
(4) 總共得到獎金$\frac{1}{2}(n^2-n)$元的機率為$n(p^{n-1}-p^n)$

解： $$(1)\times:正面出現k次的累積獎金為1+2+3+\cdots+k=\frac{k(k+1)}{2}\\ (2)\bigcirc:累積獎金為1元的情況為正反或反正，機率為p(1-p)+(1-p)p=2p(1-p)=2(p-p^2)\\ (3)\times: 累積獎金為1元或1+2=3元或1+2+3+\cdots，\\不可能有獎金為2元的情形，因此累積獎金為2元的機率為0\\ (4)\bigcirc:由(1)知正面出現k次的累積獎金為\frac{k(k+1)}{2}=\frac{n^2-n}{2}\Rightarrow k=n-1，\\也就是說正面出現n-1次時累積獎金為 \frac{n^2-n}{2}；\\正面出現n-1次代表反面只出現1次，其機率為\binom{n}{1}p^{n-1}(1-p)=n(p^{n-1}-p^n)$$

故選$\bbox[red,2pt]{(2,4)}$

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三、選填題

A.  在A、B 兩支旗竿底端連線段中的某一點測得A旗竿頂端的仰角為29° 、B 旗竿頂端的仰角為15°。在底端連線段中的另一點測得A旗竿頂端的仰角為26°、B 旗竿頂端的仰角為19° 。則A 旗竿高度和B 旗竿高度的比值約為？（ 四捨五入到小數點後第一位）。 $$\begin{array}{c|c}\theta& 15^\circ&19^\circ &26^\circ&29^\circ\\ \hline \cot{\theta}&3.73&2.90&2.05 &1.80\end{array}$$

解：

第一次測量的位置在E點，第二次測量的位置在F點，令A杆高$a$，B杆高$b$，則 $$\overline { EF } =a\cot { \angle AFC } -a\cot { \angle AEC } =b\cot { \angle BED } -b\cot { \angle BFD } \\ \Rightarrow a\left( \cot { \angle AFC } -\cot { \angle AEC }  \right) =b\left( \cot { \angle BED } -\cot { \angle BFD }  \right) \\ \Rightarrow a\left( \cot { 26° } -\cot { 29° }  \right) =b\left( \cot { 15° } -\cot { 19° }  \right) \Rightarrow \frac { a }{ b } =\frac { \cot { 15° } -\cot { 19° }  }{ \cot { 26° } -\cot { 29° }  } \\ =\frac { 3.73-2.90 }{ 2.05-1.80 } =\frac { 0.83 }{ 0.25 } =3.32\approx \bbox[red,2pt] {3.3}$$

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B. 對矩陣$\begin{pmatrix}4&9&a\\3&7&b\end{pmatrix}$作列運算若干次後得到$\begin{pmatrix} 1&0&1\\0&1&1\end{pmatrix}$，則 (a,b) =？
解：
$$\begin{pmatrix}4&9&a\\3&7&b\end{pmatrix} \xrightarrow{-r_2+r_1}\begin{pmatrix}1&2&a-b\\3&7&b\end{pmatrix} \xrightarrow{-3r_1+r_2}\begin{pmatrix}1&2&a-b\\0&1&-3a+4b\end{pmatrix} \\ \xrightarrow{-2r_2+r_1}\begin{pmatrix}1&0&7a-9b\\0&1&-3a+4b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\end{pmatrix}\\ \Rightarrow \begin{cases}7a-9b=1\\-3a+4b=1\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}a=13\\b=10\end{cases}\Rightarrow (a,b)=\bbox[red,2pt]{(13,10)}$$

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C. $\triangle ABC$為邊長為 5 的正三角形， P點在三角形內部，若線段長度 $\overline{PB}= 4$且 $\overline{PC} = 3$，則$\cos{\angle ABP} =$ ？ （四捨五入到小數點後第二位， $\sqrt{2}$ 的近似值是 1.414， $\sqrt{3}$的近似值是1.732 ）。

解：

$\triangle BPC$的邊長為3-4-5$\Rightarrow \angle P=90^\circ$；
令$\angle ABP=\alpha, \angle PBC=\beta$，如上圖，則$\alpha+\beta = \angle B=60^\circ$；
因此$\cos{\alpha}=\cos{(60^\circ-\beta)}=\cos{60^\circ}\cos{\beta}+\sin{60^\circ}\sin{\beta} = \frac{1}{2}\times \frac{4}{5}+\frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{3}{5}=0.9196\approx \bbox[red,2pt]{0.92}$

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第貳部份：非選擇題
一、設R 代表坐標平面上由下列兩個不等式所定義的區域， $$\begin{cases}x^2+y^2\le 4\\ y\ge 1\end{cases}$$ 求函數 x + y在區域 R上的最大值與最小值。
解：

區域$R$為上圖綠色區域，其中圓$x^2+y^2=4$與直線$y=1$交於$A(-\sqrt{3},1)、B(\sqrt{3},1)$兩點，並與斜率為-1的直線相切於$C(\sqrt{2},\sqrt{2})$點(見上圖)。
$y=1$代入圓方程式可得$x^2+1=4\Rightarrow x=\pm\sqrt{3}$，因此A坐標為$(-\sqrt{3},1)$、B坐標為$(\sqrt{3},1)$；
$x=y$代入圓方程式可得$x^2+x^2=4\Rightarrow x^2=2\Rightarrow x=\pm\sqrt{2}$，因此C坐標為$(\sqrt{2},\sqrt{2})$；
令$f(x,y)=x+y$，則$f(C)=\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$為最大值，$f(A)=1-\sqrt{3}$為最小值。

答：最為值為$\bbox[red,2pt]{2\sqrt{2}}$，最小值為$\bbox[red,2pt]{1-\sqrt{3}}$

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二、設四次多項式$f(x)=x(1-x)(1+x^2)$
(1)選取積分區間 $a\le x\le b$，使得定積分 $\int_a^b{f(x)\;dx}$達到最大值，並求此最大值；
(2)設 c > 0，求證 $\int_{-c}^c{f(x)\;dx}$ 恆為負值。
解：

$$(1)由於1+x^2>0 \;\forall x\in R\Rightarrow \begin{cases}f(x)\ge 0\; \forall 0\le x\le 1\\ f(x)\le 0\; \text{otherwise}\end{cases}\Rightarrow \int_0^1{f(x)\;dx} 達到最大值\\ \int_0^1{f(x)\;dx}=\int_0^1{x(1-x)(1+x^2)\;dx}=\int_0^1{-x^4+x^3-x^2+x\;dx}\\ =\left.\left[-\frac{1}{5}x^5+\frac{1}{4}x^4-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2\right]\right|_0^1=-\frac{1}{5}+\frac{1}{4}-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{13}{60}\\答:積分區間為\bbox[red,2pt]{0\le x\le 1},使得\int_0^1{f(x)\;dx} \;達到最大值為\bbox[red,2pt]{\frac{13}{60}}\\ (2)\int_{-c}^c{f(x)\;dx}=\left.\left[-\frac{1}{5}x^5+\frac{1}{4}x^4-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2\right]\right|_{-c}^c\\ =\left(-\frac{1}{5}c^5+\frac{1}{4}c^4-\frac{1}{3}c^3+\frac{1}{2}c^2\right)-\left(\frac{1}{5}c^5+\frac{1}{4}c^4+\frac{1}{3}c^3+\frac{1}{2}c^2\right)\\=-\frac{2}{5}c^5-\frac{2}{3}c^3<0,\forall c>0\Rightarrow \int_{-c}^c{f(x)\;dx}恆為負值,故得證。$$

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-- END   (僅供參考)  --