108年鐵路人員特考--工程數學詳解

108 年特種考試交通事業鐵路人員考試試題

等別：高員三級鐵路人員考試
類 科 ：電力工程、電子工程
科 目：工程數學
甲、申論題部分：(50分)

解： $$\left| \begin{matrix} 2+x & 3 & 5 \\ 2 & 3+x & 5 \\ 2 & 3 & 5+x \end{matrix} \right| =\left| \begin{matrix} 2+x & 3 & 5 \\ -x & x & 0 \\ -x & 0 & x \end{matrix} \right| =x^2(x+2)+5x^2+3x^2=x^2(x+2+8)\\=x^2(x+10)=0\Rightarrow \bbox[red,2pt]{x=0,-10}$$

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解：
(一) $$f\left( z \right) =\frac { 1 }{ 2z^{ 2 }-3z+1 } =\frac { 1 }{ \left( 1-2z \right) \left( 1-z \right)  } =\frac { 2 }{ 1-2z } -\frac { 1 }{ 1-z } \\ =2\left( 1+2z+(2z)^{ 2 }+\cdots +(2z)^{ n }+\cdots  \right) -\left( 1+z+z^{ 2 }+\cdots +z^{ n }+\cdots  \right) \\ =\left( 2+2^{ 2 }z+2^{ 3 }z^{ 2 }+\cdots +2^{ n+1 }z^{ n }+\cdots  \right) -\left( 1+z+z^{ 2 }+\cdots +z^{ n }+\cdots  \right) \\ =\left( 2-1 \right) +\left( 2^{ 2 }-1 \right) z+\cdots +(2^{ n+1 }-1)z^{ n }+\cdots \\ =\bbox[red,2pt]{\sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ (2^{ n+1 }-1)z^{ n } }}$$
(二) $$令a_{ n }=2^{ n+1 }-1\Rightarrow R=\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \left| \frac { a_{ n } }{ a_{ n+1 } }  \right|  } =\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { 2^{ n+1 }-1 }{ 2^{ n+2 }-1 }  } =\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { 1-\frac { 1 }{ 2^{ n+1 } }  }{ 2-\frac { 1 }{ 2^{ n+1 } }  }  } =\bbox[red,2pt]{\frac { 1 }{ 2 }}$$

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解： $$y=C_{ 0 }+C_{ 1 }x+C_{ 2 }x^{ 2 }+C_{ 3 }x^{ 3 }+\cdots \Rightarrow y'=C_{ 1 }+2C_{ 2 }x+3C_{ 3 }x^{ 2 }+\cdots \Rightarrow y''=2C_{ 2 }+6C_{ 3 }x+\cdots \\ \begin{cases} y(0)=1 \\ y'(0)=2 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} C_{ 0 }=1 \\ C_{ 1 }=2 \end{cases}\Rightarrow y=1+2x+C_{ 2 }x^{ 2 }+C_{ 3 }x^{ 3 }+\cdots 且y'=2+2C_{ 2 }x+3C_{ 3 }x^{ 2 }+\cdots \\ 又e^{ x }=1+x+\frac { 1 }{ 2 } x^{ 2 }+\cdots \Rightarrow e^{ 2x }=1+2x+2x^{ 2 }+\cdots \Rightarrow e^{ x }y=1+(1+2)x+(\frac { 1 }{ 2 } +2+C_{ 2 })x^{ 2 }+\cdots \\ =1+3x+\left( \frac { 5 }{ 2 } +C_{ 2 } \right) x^{ 2 }+\cdots \Rightarrow y''+e^{ x }y=\left( 1+2C_{ 2 } \right) +\left( 3+6C_{ 3 } \right) x+\cdots \\ y''+e^{ x }y=e^{ 2x }\Rightarrow \begin{cases} 1+2C_{ 2 }=1 \\ 3+6C_{ 3 }=2 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} C_{ 2 }=0 \\ C_{ 3 }=-1/6 \end{cases}\Rightarrow \bbox[red,2pt]{\begin{cases} C_{ 0 }=1 \\ C_{ 1 }=2 \\ C_{ { 2 } }=0 \\ C_{ 3 }=-1/6 \end{cases}}$$

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解：(一) $$E[Y]=E[2X-3]=2E[X]-3E[1]=2\times(-3)-3=\bbox[red,2pt]{-9}$$ (二) $$\sigma_X^2= 2\Rightarrow E[X^2]-(E[X])^2=2 \Rightarrow E[X^2]=2+(-3)^2=11\\E\left[ Y^2 \right] =E\left[ \left( 2X-3 \right)^2 \right] =E\left[ 4X^{ 2 }-12X+9 \right] =4E\left[ X^{ 2 } \right] -12E\left[ X \right] +9E\left[ 1 \right]\\ =4\times 11-12\times(-3)+9=\bbox[red,2pt]{89}$$ (三) $$\sigma _{ Y }^{ 2 }=E\left[ Y^{ 2 } \right] -{ \left( E\left[ Y \right]  \right)  }^{ 2 }=89-(-9)^ 2=\bbox[red,2pt]{8}$$

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乙、測驗題部分：(50分)

解： $$u\times v=-v\times u，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$\begin{cases} P_{ 1 }=(4,6,5) \\ P_{ 2 }=(4,9,5) \\ P_{ 3 }=(8,6,7) \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \vec { u } =\overrightarrow { P_{ 1 }P_{ 2 } } =(0,3,0) \\ \vec { v } =\overrightarrow { P_{ 1 }P_{ 3 } } =(4,0,2) \end{cases}\\ \Rightarrow \triangle P_{ 1 }P_{ 2 }P_{ 3 }=\frac { 1 }{ 2 } \sqrt { \left| \vec { u }  \right| ^{ 2 }\left| \vec { v }  \right| ^{ 2 }-(\vec { u } \cdot \vec { v } )^{ 2 } } =\frac { 1 }{ 2 } \sqrt { 9\times 20-0 } =\sqrt { 45 } ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$\left[ \begin{matrix} 1 \\ \frac { 9 }{ 5 }  \\ \frac { 3 }{ 5 }  \end{matrix} \right] =0\cdot \left[ \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{matrix} \right] +\frac { 3 }{ 5 } \cdot \left[ \begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{matrix} \right] +\frac { 1 }{ 2 } \cdot \left[ \begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right] ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$x+2y+3z=5\Rightarrow x=5-2y-3z代入另二式可得\\ \begin{cases} 2\left( 5-2y-3z \right) +y+az=4 \\ 3\left( 5-2y-3z \right) +2y+2z=b \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} -3y+(a-6)z=-6 \\ -4y-7z=b-15 \end{cases}\\ 有無限多組解,代表兩直線平行,即\frac { -3 }{ -4 } =\frac { a-6 }{ -7 } =\frac { -6 }{ b-15 } \\ \Rightarrow \begin{cases} 4a-24=-21 \\ 3b-45=-24 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=\frac { 3 }{ 4 }  \\ b=7 \end{cases}，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$AB=A+B\Rightarrow \left( A-1 \right) \left( B-1 \right) =AB-A-B+1=A+B-A-B+1=1\\ \Rightarrow A-1與B-1互為反矩陣\Rightarrow \left( B-1 \right) \left( A-1 \right) =\left( A-1 \right) \left( B-1 \right) =1\\ \Rightarrow BA-A-B+1=AB-A-B+1\Rightarrow BA=AB，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$(A)\left[ \begin{matrix} 4 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 2 \\ 2 & 2 & 4 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 8 \\ 8 \\ 8 \end{matrix} \right] =8\left[ \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right] \\ (B)\left[ \begin{matrix} 4 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 2 \\ 2 & 2 & 4 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} -2 \\ 0 \\ 2 \end{matrix} \right] =2\left[ \begin{matrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right] \\ (C)\left[ \begin{matrix} 4 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 2 \\ 2 & 2 & 4 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} -2 \\ 2 \\ 0 \end{matrix} \right] =2\left[ \begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right] \\ (D)\left[ \begin{matrix} 4 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 2 \\ 2 & 2 & 4 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 0 \\ 4 \\ 4 \end{matrix} \right] \neq \lambda \left[ \begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right] for\; all\; \lambda  ，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$\cos { \left( z \right)  } =\frac { 1 }{ 2 } \left( { e }^{ iz }+{ e }^{ -iz } \right) \Rightarrow \cos { \left( 2\pi i \right)  } =\frac { 1 }{ 2 } \left( { e }^{ -2\pi  }+{ e }^{ 2\pi  } \right) =\cosh { \left( 2\pi  \right)  } ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$-1+4i=\sqrt { 17 } \left( -\frac { 1 }{ \sqrt { 17 }  } +\frac { 4 }{ \sqrt { 17 }  } i \right) =\sqrt { 17 } \left( \cos { \theta  } +i\sin { \theta  }  \right) =\sqrt { 17 } { e }^{ i\theta  }\\ 其中\begin{cases} \cos { \theta  } =-\frac { 1 }{ \sqrt { 17 }  }  \\ \sin { \theta  } =\frac { 4 }{ \sqrt { 17 }  }  \end{cases}\Rightarrow \tan { \theta  } =4\Rightarrow \theta =\pi -\tan ^{ -1 }{ 4 } (在第2象限)，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$C_{ 1 }=\left\{ t+i(t+1)|t:0\to -1 \right\} \Rightarrow \begin{cases} x=t \\ y=t+1 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} dx=dt \\ dy=dt \end{cases}\Rightarrow \int _{ C_{ 1 } }^{  }{ \bar { z } dz } =\int _{ C_{ 1 } }^{  }{ \left( xdx+ydy \right)  } +i\int _{ C_{ 1 } }^{  }{ \left( xdy-ydx \right)  } \\ =\int _{ 0 }^{ -1 }{ \left( tdt+(t+1)dt \right)  } +i\int _{ 0 }^{ -1 }{ \left( tdt-(t+1)dt \right)  } =\int _{ 0 }^{ -1 }{ \left( 2t+1 \right) dt } +i\int _{ 0 }^{ -1 }{ \left( -1 \right) dt } =\left. \left[ t^{ 2 }+t \right]  \right| _{ 0 }^{ -1 }+i=i\\ C_{ 2 }=\left\{ \cos { \theta  } +i\sin { \theta  } |\theta :0\to \pi /2 \right\} \Rightarrow \begin{cases} x=\cos { \theta  }  \\ y=\sin { \theta  }  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} dx=-\sin { \theta  } d\theta  \\ dy=\cos { \theta  } d\theta  \end{cases}\\ \Rightarrow \int _{ C_{ 2 } }^{  }{ \bar { z } dz } =\int _{ C_{ 2 } }^{  }{ \left( xdx+ydy \right)  } +i\int _{ C_{ 2 } }^{  }{ \left( xdy-ydx \right)  } \\ =\int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ \left( -\sin { \theta  } \cos { \theta  } d\theta +\sin { \theta  } \cos { \theta  } d\theta  \right)  } +i\int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ \left( \cos ^{ 2 }{ \theta  } d\theta +\sin ^{ 2 }{ \theta  } d\theta  \right)  } =0+i\int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ \left( 1 \right) d\theta  } =\frac { \pi  }{ 2 } i\\ 因此\int _{ C }^{  }{ \bar { z } dz } =\int _{ C_{ 1 } }^{  }{ \bar { z } dz } +\int _{ C_{ 2 } }^{  }{ \bar { z } dz } =i+\frac { \pi  }{ 2 } i=\left( 1+\frac { \pi  }{ 2 }  \right) i，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$若x>0且y>0\Rightarrow f\left( z \right) =x^{ 2 }-y^{ 2 }+i2xy\Rightarrow \begin{cases} u=x^{ 2 }-y^{ 2 } \\ v=2xy \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} u_{ x }=2x \\ u_{ y }=-2y \\ v_{ x }=2y \\ v_{ y }=2x \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} u_{ x }=v_{ y } \\ u_{ y }=-v_{ x } \end{cases}\Rightarrow f\left( z \right) \text{滿足Cauchy-Riemann Equation}\Rightarrow 可解析，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$\begin{cases} z_{ 1 }=4+3i \\ z_{ 2 }=2-5i \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \bar { z_{ 1 } } =4-3i \\ \bar { z_{ 2 } } =2+5i \end{cases}\Rightarrow \bar { z_{ 1 } } \cdot \bar { z_{ 2 } } =\left( 4-3i \right) \left( 2+5i \right) =8+20i-6i+15=23+14i \\，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解：
$$xy'+y=\sin { (x) } \Rightarrow (xy)'=\sin { (x) } \Rightarrow xy=\int { \sin { (x) } \; dx } =-\cos { (x) } +C\\ \Rightarrow xy=-\cos { (x) } +C\Rightarrow y=-\frac { \cos { (x) }  }{ x } +\frac { C }{ x } \\ 將y(\pi /3)=0代入\Rightarrow 0=-\frac { \cos { (\pi /3) }  }{ \pi /3 } +\frac { C }{ \pi /3 } \Rightarrow C=\frac { 1 }{ 2 } \\ \Rightarrow xy=-\cos { (x) } +\frac { 1 }{ 2 } ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$y=ax^{ 2 }+bx+c\Rightarrow y'=2ax+b\Rightarrow y''=2a\\ \Rightarrow y''+3y'+2y=12x^{ 2 }\Rightarrow 2a+3\left( 2ax+b \right) +2\left( ax^{ 2 }+bx+c \right) =12x^{ 2 }\\ \Rightarrow 2ax^{ 2 }+\left( 2b+6a \right) x+2a+3b+2c=12x^{ 2 }\Rightarrow \begin{cases} 2a=12 \\ 6a+2b=0 \\ 2a+3b+2c=0 \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} a=6 \\ 36+2b=0 \\ 12+3b+2c=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=6 \\ b=-18 \\ c=21 \end{cases}\Rightarrow a+b+c=9  ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$只有選項(A)符合\phi(x,0)=x^4，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$y=a_{ 0 }+a_{ 1 }x+a_{ 2 }x^{ 2 }+\cdots +a_{ n }x^{ n }+\cdots \Rightarrow y'=a_{ 1 }+2a_{ 2 }x+\cdots +na_{ n }x^{ n-1 }+\cdots \\ \Rightarrow y''=2a_{ 2 }+6a_{ 3 }x+\cdots +n(n-1)a_{ n }x^{ n-2 }+\cdots \\ \Rightarrow y''-y'+x^{ 2 }y=\left( 2a_{ 2 }+6a_{ 3 }x+\cdots +n(n-1)a_{ n }x^{ n-2 }+\cdots  \right) -\left( a_{ 1 }+2a_{ 2 }x+\cdots +na_{ n }x^{ n-1 }+\cdots  \right) \\ +x^{ 2 }\left( a_{ 0 }+a_{ 1 }x+a_{ 2 }x^{ 2 }+\cdots +a_{ n }x^{ n }+\cdots  \right) =\left( 2a_{ 2 }-a_{ 1 } \right) +\left( 6a_{ 3 }-2a_{ 2 } \right) x+\left( 12a_{ 4 }-3a_{ 3 }+a_{ 0 } \right) x^{ 2 }\\ +\cdots +\left( (n+2)(n+1)a_{ n+2 }-(n+1)a_{ n+1 }+a_{ n-2 } \right) x^{ n }+\cdots =0\\ \Rightarrow \begin{cases} a_{ 1 }=2a_{ 2 } \\ a_{ 2 }=3a_{ 3 } \\ \cdots  \\ (n+2)(n+1)a_{ n+2 }+a_{ n-2 }=(n+1)a_{ n+1 },n\ge 2 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a_{ 2 }=1/2a_{ 1 } \\ a_{ 3 }=1/6a_{ 1 } \\ \cdots  \\ (n+2)(n+1)a_{ n+2 }+a_{ n-2 }=(n+1)a_{ n+1 },n\ge 2 \end{cases}\\ \Rightarrow y=a_{ 0 }+a_{ 1 }x+\frac { 1 }{ 2 } a_{ 1 }x^{ 2 }+\frac { 1 }{ 6 } a_{ 1 }x^{ 3 }+\cdots \\只有選項(D)符合，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$L\left\{ t\sin { \left( at \right)  }  \right\} =\frac { 2as }{ \left( s^{ 2 }+a^{ 2 } \right) ^{ 2 } } \Rightarrow L\left\{ t\sin { \left( \sqrt { 5 } t \right)  }  \right\} =\frac { 2\sqrt { 5 } s }{ \left( s^{ 2 }+5 \right) ^{ 2 } } \\ \Rightarrow L\left\{ \frac { 3 }{ \sqrt { 5 }  } t\sin { \left( \sqrt { 5 } t \right)  }  \right\} =\frac { 6s }{ \left( s^{ 2 }+5 \right) ^{ 2 } } \\ \Rightarrow f\left( t \right) =\frac { 3 }{ \sqrt { 5 }  } t\sin { \left( \sqrt { 5 } t \right)  } =\frac { 3\sqrt { 5 }  }{ 5 } t\sin { \left( \sqrt { 5 } t \right)  } ，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$\hat { f } (\omega )=\frac { 1 }{ \sqrt { 2\pi  }  } \int _{ -\infty  }^{ \infty  }{ f\left( x \right) { e }^{ -i\omega x }dx } =\frac { 1 }{ \sqrt { 2\pi  }  } \int _{ -2 }^{ 2 }{ { e }^{ -i\omega x }dx } =\frac { 1 }{ \sqrt { 2\pi  }  } \left. \left[ \frac { 1 }{ -i\omega  } { e }^{ -i\omega x } \right]  \right| _{ -2 }^{ 2 }\\ =\frac { 1 }{ \sqrt { 2\pi  }  } \cdot \frac { 1 }{ -i\omega  } \left( { e }^{ -i2\omega  }-{ e }^{ i2\omega  } \right) =\frac { 1 }{ \sqrt { 2\pi  }  } \cdot \frac { 1 }{ -i\omega  } \left( \cos { \left( -2\omega  \right)  } +i\sin { \left( -2\omega  \right)  } -\cos { \left( 2\omega  \right)  } -i\sin { \left( 2\omega  \right)  }  \right) \\ =\frac { 1 }{ \sqrt { 2\pi  }  } \cdot \frac { 1 }{ -i\omega  } \left( \cos { \left( 2\omega  \right)  } -i\sin { \left( 2\omega  \right)  } -\cos { \left( 2\omega  \right)  } -i\sin { \left( 2\omega  \right)  }  \right) =\frac { 1 }{ \sqrt { 2\pi  }  } \cdot \frac { 1 }{ -i\omega  } \cdot \left( -2i\sin { \left( 2\omega  \right)  }  \right) \\ =\frac { 2 }{ \sqrt { 2\pi  }  } \cdot \frac { \sin { \left( 2\omega  \right)  }  }{ \omega  } =\sqrt { \frac { 2 }{ \pi  }  } \cdot \frac { \sin { \left( 2\omega  \right)  }  }{ \omega  } ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$標準常態為一偶函數，因此f(y)=2\times\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y^2}{2}}= \sqrt{\frac{2}{\pi}}e^{-\frac{y^2}{2}}，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$P(0<X\le 2)=F(2)-F(0)=1-\frac{2}{7}=\frac{5}{7}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$Var(aX)=a^2Var(X)\ne aVar(X)，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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考選部未公布非選答案，解題僅供參考