108學年度大園國際高中特招數學科詳解

108學年度大園國際高級中等學校特色招生

數學科詳解

第一部分：選擇題

解：

次數最多的是15次，是家庭成員數為4，因此眾數為4；

總次數為5+7+15+10=37，中位數出現在次數為19的地方，也就是家庭人數為4，因此中位數為4；

平均數為$(3\times 10+4\times 15+5\times 7+6\times 5)\div 37=155\div 37\approx 4.2$；

因此平均數>中位數=眾數，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：

$$x^2-670x-2019=0 \Rightarrow (x-673)(x+3)=0 \Rightarrow x=673, -3 \Rightarrow a=673, b=-3，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解：
$$2x^2+ax-2=(cx-1)(-2x+b)+2 =-2cx^2+(bc+2)x-b+2   \Rightarrow   \begin{cases}-2c=2\\ bc+2=a \\ -b+2=-2\end{cases}\\\Rightarrow   \begin{cases}c=-1\\ a=-2 \\ b=4 \end{cases} \Rightarrow   2a+b+c   =-4+4-1=-1，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解：
$$(A)\times :若k=0,圖形經過(1,0)\\ (B)\times :y=x^{ 2 }-2x+1+k,開口向上\\ (C)\bigcirc :\begin{cases} a={ \left( 1-2019 \right)  }^{ 2 }+k=2018^{ 2 }+k \\ b={ \left( 1-2020 \right)  }^{ 2 }+k=2019^{ 2 }+k \end{cases}\Rightarrow b-a=2019^{ 2 }-2018^{ 2 }>0\\ (D)\times :開口向上有最低點\\，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解：

各角度代號如上圖；
$$\angle APD=\angle BPC\Rightarrow b+43=a+b-2\Rightarrow a=45\\ 在\triangle ABD中: a+c-1+b+43=180 \Rightarrow b+c=180-43+1-a=93\\在\triangle BCD中: a+b-2+c+\angle PDC=180 \Rightarrow \angle PDC=180-a-(b+c)+2\\=180-45-93+2=44，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解：

$$\overline{AB}+r_B=2+1=3=r_A\Rightarrow 圓 A與圓B內切 \\r_B+r_C=1+2=3<\sqrt{21} =\overline{BC} \Rightarrow 圓B與圓C外離，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解：
正確答案為8個$\bigcirc$及12個$\times$；小明回答為11個$\bigcirc$及9個$\times$；
小明答題中有$a$個$\bigcirc$是錯的，代表有$7-a$個$\times$也是錯的；
因此正確的$\bigcirc$為$8=11-a+7-a \Rightarrow 2a=10\Rightarrow a=5$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：
$$90分鐘=\frac{90}{60}=\frac{3}{2}小時，假設甲地至乙地花了t小時，則乙至丙花了\frac{3}{2}-t 小時\\ \Rightarrow 84t+96(\frac{3}{2}-t)=134 \Rightarrow 42t+72-48t=67 \Rightarrow t=\frac{5}{6}小時=\frac{5}{6}\times 60=50分鐘，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解：

假設甲機器每小時的產量為a，乙機器每小時的產量為b，則$2(5a+3b)=3(2a+4b) \Rightarrow a=\frac{3}{2}b$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：

G為重心$\triangle GFA=\triangle GFC=\triangle GCH=\triangle GHB=\triangle GDB=\triangle GDA=a$，如上圖；
由於$\overline{AE}//\overline{BC}且\overline{AD}=\overline{DB} \Rightarrow \triangle ADE\cong \triangle BDC$；
因此$\triangle AED=\triangle BCD=3a$，四邊形ADGF面積=2a，兩者比例為3:2，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：
當電燈亮起，按下開關後變暗，再按開關，電燈又亮起；
1-180中，3的倍數有60個、5的倍數有36個、15的倍數有12個，3或5 的倍數有60+36-12=84個；
180全亮→按下3的倍數開關→180-60=120盞燈是亮的、60盞是暗的→按下5的倍數開關→180-(3或5的倍數)+15的倍數(從暗變亮)=180-84+12=108是亮的；
故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：

紅色直線為對稱軸及各角度代號如上圖 $$\begin{cases}\angle BAD=132^\circ \Rightarrow 2b+c=132^\circ \cdots (1)\\ a+c+2b=180^\circ\cdots (2) \\ 2a+c+b=180^\circ \cdots (3) \end{cases} \xrightarrow{(1)代入(2)} a=180-132=48\cdots(4)\\ \xrightarrow{(4)代入(3)} b+c=180-48\times 2= 84\cdots(5) \xrightarrow {(5)代入(1)}  b=132-84=48\\ \xrightarrow{將a=48,b=48代入(2)} c=180-48\times 3=36 \\在\triangle ADB' \Rightarrow \angle D+c+\angle AB'D=180 \Rightarrow \angle AB'D=180-73-36=71，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解：

$$\begin{cases} 1^2+1.8^2=4.24>2^2 \\ 1.3^2+(-1.5)^2=3.94<2^2 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} C在圓外\\ D在圓內 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \angle ACB<90^\circ\\ \angle ADB>90^\circ \end{cases},故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解：
團體票可打八折，也就是一張票只要$350\times 0.8=280$元；
買團體票至少要花$50\times 280=14000$元，現在有不滿50人的團體$n$人，花14000元，平均每人分擔$14000/n$，只要$14000/n<350\Rightarrow n>14000/350=40$就比買全票便宜，也就是$n\ge 41$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：

$$\begin{cases}a=\sqrt{7}+\sqrt{11}\\b=\sqrt{13}+\sqrt{5}\\ c=\sqrt{15}+\sqrt{3}\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}a^2=18+2\sqrt{77}\\b^2=18+2\sqrt{60}\\ c^2= 18+2\sqrt{45} \end{cases} \Rightarrow a>b>c，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解：

$$令\overline{AB}=a,\overline{AD}=b,\overline{PC}=x,\overline{QC}=y,如上圖\\\begin{cases} a(b-x)=4 \\ b(a-y)=8 \\ xy=6 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x=\frac { ab-4 }{ a }  \\ y=\frac { ab-8 }{ b }  \\ xy=6 \end{cases}\Rightarrow \frac { ab-4 }{ a } \times \frac { ab-8 }{ b } =6\Rightarrow \left( ab-4 \right) \left( ab-8 \right) =6ab\\ \Rightarrow { \left( ab \right)  }^{ 2 }-18ab+32=0\Rightarrow \left( ab-16 \right) \left( ab-2 \right) =0\Rightarrow ab=16，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解：
$$a_n=-9+15(n-1)為12的倍數\Rightarrow n=4,8,12,\dots=4k,k=1,2,\dots\\ <b_k>=<a_{4k}> = a_4,a_8,\dots \Rightarrow <b_k>公差d=4\times 15=60\Rightarrow \frac{(2b_1+60(n-1))n}{2}=1968\\\Rightarrow \frac{(72+60(n-1))n}{2}=1968 \Rightarrow 60n^2+12n-1968\times 2=0 \\ \Rightarrow 10n^2+2n-656=0\Rightarrow (10n+82)(n-8)=0\Rightarrow n=8，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解：
$$直角\triangle BEC\Rightarrow {\overline{BC}}^2={\overline{BE}}^2+{\overline{EC}}^2 \Rightarrow 5^2=4^2+{\overline{EC}}^2\Rightarrow \overline{EC}=3\\ 同理 \overline{BD}=3 \Rightarrow \begin{cases}\overline{BD}=\overline{EC}=3\\\angle BDC=\angle BEC=90^\circ \\ \overline{BC}=\overline{BC} \end{cases}\Rightarrow \triangle BDE\cong\triangle CEB \Rightarrow \angle B=\angle C \\ \triangle ABC為等腰\Rightarrow \overline{AB}=\overline{AC} \Rightarrow 令\overline{AD}=\overline{AE} = a\\ 在直角\triangle AEB \Rightarrow  {\overline{AB}}^2 ={\overline{AE}}^2+ {\overline{BE}}^2 \Rightarrow (3+a)^2=a^2+4^2 \Rightarrow a=7/6 \\\Rightarrow \overline{AB}=3+7/6=25/6，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解：

$$\overline{AC}為摺線\Rightarrow \angle ACB=\angle ECA=30^\circ \Rightarrow \angle DCF=90-30-30=30\\ 在\triangle CDF\Rightarrow \overline{FD}=\overline{CD}\div\sqrt{3} =5/\sqrt{3}\\ 在\triangle ACD\Rightarrow \overline{AD}=\overline{CD}\times \sqrt{3} =5\sqrt{3}\\ \Rightarrow \overline{AF}:\overline{FD}=(5\sqrt{3}-5/\sqrt{3}):5/\sqrt{3}=10\sqrt{3}/3: 5\sqrt{3}/3 =2:1，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解：

$$\overline{CG}//\overline{AB}\Rightarrow \triangle GCF\sim\triangle ABF \Rightarrow \frac{\overline{CG}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{CF}}{\overline{FB}} =\frac{\overline{GF}}{\overline{FA}} \Rightarrow \frac{\overline{CG}}{m}=\frac{n}{n} =\frac{\overline{GF}}{\overline{FA}}\\\Rightarrow \overline{CG}=m且a=b+c\\同理\triangle DGE\sim\triangle BAE\Rightarrow \frac{\overline{DG}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{GE}}{\overline{EA}} \Rightarrow \frac{2m}{m}=\frac{a+b}{\overline{c}}\Rightarrow a+b=2c\\同理\triangle ADE\sim\triangle FBE\Rightarrow \frac{\overline{AD}}{\overline{BF}}=\frac{\overline{AE}}{\overline{BF}} \Rightarrow \frac{2n}{n}=\frac{c}{b}\Rightarrow c=2b\\ 綜合以上可得 \begin{cases} a=b+c\\a+b=2c\\c=2b\end{cases}\Rightarrow \frac{\overline{EF}}{\overline{AG}}=\frac{b}{a+b+c}=\frac{b}{3b+b+2b}=\frac{1}{6}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解：
$$弧AED=60^\circ\Rightarrow \angle C=60^\div 2=30^\circ\\ 弧ADC=198^\circ \Rightarrow \angle DAC=198^\circ\div 2=69^\circ \Rightarrow \angle ADB=\angle C+\angle DAC = 30^\circ+69^\circ=99^\circ \\\Rightarrow 弧ADB=(180^\circ-99^\circ)\times 2=81^\circ\times 2= 162^\circ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解：
$$\triangle PBC\Rightarrow \angle BCP=180-\angle B-\angle P=180-56-36=88 \Rightarrow BAQ=180-88=92\\ \Rightarrow \angle Q=180-\angle B-\angle BAQ=180-56-92=32，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解：

過C點作一直線與$\overline{BE}$平行，並與延長直線$\overline{AD}$交於P點，如上圖； $$\overline{BE}//\overline{PC}\Rightarrow \triangle BFD\sim \triangle CPD\Rightarrow \overline{FD}:\overline{DP}=\overline{BD}:\overline{DC}=2m:3m=2:3 \Rightarrow \overline{FD}=2k且\overline{DP}=3k\\ 又\overline{FE}//\overline{PC}\Rightarrow \overline{AF}:\overline{AP}=\overline{AE}:\overline{AC}=n:3n=1:3 \Rightarrow \overline{AF}:\overline{AF}+5k=1:3\\ \Rightarrow \overline{AF}=\frac{5}{2}k \Rightarrow \overline{AF}:\overline{FD}= \frac{5}{2}k: 2k=5:4，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解：

由於頂點A的坐標為(-3,-3)，若直線$\overline{AB}$通過原點，則其斜率為1，如上圖；此時正方形無法切成六邊形區域，且B與D有相同Y坐標，A與C有相同X坐標；

只要直線$\overline{AB}$的斜率不為1，如上圖；此時B與D的Y坐標不相等，C與D的X坐標也不會相等，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：
穿襯衫配西裝褲有$3\times   3=9$種搭配方式；穿T恤配牛仔褲有$4\times   2=8$種搭配方式；
因此共有9+8=17種搭配方式，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：
共有50支籤，即$2+x+4+5+y+24=50\Rightarrow   x+y=15$；
中頭獎的機率為$x/50$，中四獎的機率為$y/50$，依題意$x/50=(y/50)\times(1/4)\Rightarrow   y=4x$ $$\begin{cases}x+y=15\\y=4x\end{cases}\Rightarrow   \begin{cases} x=3\\y=12 \end{cases} \Rightarrow   中頭獎的機率為 x/50=3/50=6\%，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解： $$\begin{cases}甲=\frac{10}{a}\\乙=\frac{35}{b}\\丙=\frac{14}{c}\end{cases}   \Rightarrow   \begin{cases}a與2,5互質\\b與5,7互質\\c與2,7互質\end{cases}\\  又最小公倍數1960=2^3\cdot  5\times  7^2   \Rightarrow   \begin{cases}a=7^2\\b=2^3\\c=5\end{cases}   \Rightarrow   \begin{cases}甲=\frac{10}{49}\\乙=\frac{35}{8}\\丙=\frac{14}{5}\end{cases}   \Rightarrow   乙>丙>甲，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$n=abc=100a+10b+c\Rightarrow \begin{cases}a+b+c=24\\1\le a\le 9\\0\le b,c\le 9\\0\le b+c\le 18\end{cases}\\ \Rightarrow \begin{array}{c|c|c|c|c}a&b+c&b&c \\\hline 1&23>18(不合)&&\\\hline 2&22>18(不合)&&\\\hline ..&\cdots&&\\\hline 6&18&9&9 \\\hline 7&17&9&8\\\hline &&8&9\\\hline 8&16&9&7\\\hline &&8&8\\\hline &&7&9\\\hline 9&15&9&6\\ \hline && 8&7\\\hline && 7&8\\\hline&&6&9\end{array},共有10種,故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：
$$I為內心\Rightarrow   dist(I,\overline{AE})=dist(I,\overline{FG})=dist(I,\overline{AD})\\ \Rightarrow   \overline{AE}=\overline{FG}=\overline{AD}   (弦至圓心等距則弦長相等)，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解： $$第n個三角形數a_{ n }=\frac { n(n+1) }{ 2 } ,依題意a_{ n }+k=2015,其中1<k<n\\ \Rightarrow \frac { n(n+1) }{ 2 } <2015\\ 由\begin{cases} a_{ 63 }=\frac { 63\times 64 }{ 2 } =2016>2015 \\ a_{ 62 }=\frac { 62\times 63 }{ 2 } =1953\Rightarrow a_{ 62 }+62=2015 \end{cases}\Rightarrow a_{ 62 }=1953為其解，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解：
假設$n$個正整數由小排到大，分別為$a_1,a_2,\dots,a_n$， 其中$a_k=61,1\le k\le n$；
平均數61$\Rightarrow a_1+a_2+\cdots+a_{k-1}+61+a_{k+1}+\cdots+a_n=35n\cdots(1)$；
移除61，剩下$n-1$個數的平均值是33$\Rightarrow a_1+a_2+\cdots+a_{k-1}+a_{k+1}+\cdots+a_n=33(n-1)\cdots(2)$；
(1)-(2)$\Rightarrow 61=35n-33(n-1)\Rightarrow 28=2n\Rightarrow n=14\Rightarrow 最大值為a_{14}$
為了讓$a_{14}$儘可能的大，令$k=13$，即$a_{13}=61$，其它的值均為1，也就是$a_1=a_2=\cdots=a_{12}=1,a_{13}=64$；
由(1)可知：$a_1+\cdots+a_{14}=35\times 14\Rightarrow 12+61+a_{14}=490 \Rightarrow a_{14}=417$

答：最值為$\bbox[red,2pt]{417}$

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解：
(1)答：$\bbox[red,2pt]{\overline { BE } +\overline { CF } >\overline { EF }}$

延長$\overline{ED}$至G，使得$\overline{ED}=\overline{DG}$，如上圖； $$\begin{cases} \overline { ED } =\overline { DG }  \\ \overline { FD } \bot \overline { EG }  \end{cases}\Rightarrow \overline { FD } 為\overline { EG } 的中垂線\Rightarrow \overline { EF } =\overline { FG } \\ 又\begin{cases} \overline { ED } =\overline { DG }  \\ \overline { BD } =\overline { DC }  \end{cases}\Rightarrow 四邊形CEBG為平行四邊形\Rightarrow \overline { EB } =\overline { CG } \\ 在\triangle CFG\Rightarrow \overline { CF } +\overline { CG } >\overline { FG } (兩邊之和大於第三邊)\\ 將\overline { EF } =\overline { FG } 及\overline { BE } =\overline { CG } 代入不等式,可得 \overline { CF } +\overline { BE } >\overline { EF }$$

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- END -