108年桃連區內壢高中特招數學詳解

桃連區桃園市立內壢高級中等學校 

108學年度高級中等學校特色招生考試

數學科詳解

解：

$$\sqrt { 12 } \times \left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  } -\frac { 1 }{ \sqrt { 3 }  }  \right) =\sqrt { 12 } \times \left( \frac { \sqrt { 3 } -\sqrt { 2 }  }{ \sqrt { 6 }  }  \right) =\sqrt { 2 } \times \left( \sqrt { 3 } -\sqrt { 2 }  \right) \\ =\sqrt { 6 } -2，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解： $$a=8051=90^{ 2 }-7^{ 2 }=\left( 90+7 \right) \left( 90-7 \right) =97\times 83(97,83皆為質數)\\ \left( A \right) 7不是因數\\ \left( B \right) 37不是因數\\ \left( C \right) 質因數只有兩個83及97\\ \left( D \right) 正因數的和=1+83+97+8051=8232\\，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解：

由題意可知B坐標為(-4,4)，因此直線AB的方程式為$y=x/4+5$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：
$$\begin{cases} 2020x+2019y=2021\cdots (1) \\ 2019x+2020y=2018\cdots (2) \end{cases}\xrightarrow { (1)+(2),(1)-(2) } \begin{cases} 4039x+4039y=4039 \\ x-y=3 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x+y=1 \\ x-y=3 \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} x=a=2 \\ y=b=-1 \end{cases}\Rightarrow a+2b=2-2=0，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解：

扇形AED面積=八分之一圓=$4^2\pi\times\frac{1}{8}=2\pi$；
扇形FEG面積=四分之一圓=$2^2\pi\times\frac{1}{4}=\pi$；
三角形FGA面積=$2\times 2\div 2=2$；
封閉區域DGE=扇形AED-扇形FEG-三角形FGA=$2\pi-\pi-2=\pi-2$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：
$$x^{ 2 }-670x-2019=0\Rightarrow \left( x-673 \right) \left( x+3 \right) =0\Rightarrow a=673,b=-3，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解： $$E在x+y=1上\Rightarrow p+q=1\Rightarrow \begin{cases} x=\frac{p}{p^2-q^2}=\frac{p}{(p+q)(p-q)} =\frac{p}{p-q} \\ y=\frac{q}{p^2-q^2}=\frac{q}{(p+q)(p-q)}=\frac{q}{p-q} \end{cases}\\\Rightarrow \frac{p}{p-q}-\frac{q}{p-q}=1\Rightarrow x-y=1，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解： $$2x^{ 2 }+ax-2=(cx-1)(-2x+b)+2=-2cx^{ 2 }+(bc+2)x-b+2\\ \Rightarrow \begin{cases} -2c=2 \\ bc+2=a \\ -b+2=-2 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} c=-1 \\ a=-2 \\ b=4 \end{cases}\Rightarrow 2a+b+c=-4+4-1=-1，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解：

$$\frac { 9^{ 2\times 2019+1 } }{ 3^{ 4\times 2019+1 } } =\frac { 3^{ 2\times 2\times 2019+1\times 2 } }{ 3^{ 4\times 2019+1 } } =\frac { 3^{ 4\times 2019+2 } }{ 3^{ 4\times 2019+1 } } =3，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解： $$(A)\times :若k=0,圖形經過(1,0)\\ (B)\times :y=x^{ 2 }-2x+1+k,開口向上\\ (C)\bigcirc :\begin{cases} a={ \left( 1-2019 \right) }^{ 2 }+k=2018^{ 2 }+k \\ b={ \left( 1-2020 \right) }^{ 2 }+k=2019^{ 2 }+k \end{cases}\Rightarrow b-a=2019^{ 2 }-2018^{ 2 }>0\\ (D)\times :開口向上有最低點\\，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解： $$\begin{cases} 2a=3b \\ a:c=2:3 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} b=\frac { 2 }{ 3 } a \\ c=\frac { 3 }{ 2 } a \end{cases}\Rightarrow \frac { 4c-a }{ a+b } =\frac { 6a-a }{ a+\frac { 2 }{ 3 } a } =\frac { 5a }{ \frac { 5 }{ 3 } a } =3，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解：

由上圖可知$\triangle   DPC:\triangle   ECP=\overline  {CP}:\overline{PE}$

延長直線$\overline{DC}$與直線$\overline{FB}$相交於Q點，如上圖； $$\overline{AD}//\overline{BD}\Rightarrow \triangle QDF\sim\triangle QPB\Rightarrow \frac{\overline{QD}}{\overline{QC}} = \frac{\overline{FD}}{\overline{BC}}\Rightarrow \frac{\overline{QD}}{\overline{QD}+12m} = \frac{n}{\overline{4n}}\Rightarrow \overline{QD}=4m\\ \overline{DC}//\overline{AB}\Rightarrow \frac{\overline{CP}}{\overline{PE}} = \frac{\overline{QC}}{\overline{EB}} =\frac{4m+12m}{7m}=\frac{16}{7}=\frac{\triangle DPC}{\triangle DEP},故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解：
(甲)$\times:$若公差$d=-0.1\Rightarrow a_{10}=a_1+9d=1-0.9=0.1>0$，但$a_{100}=a_1+99d=1-9.9<0$
(乙)$\bigcirc:a_{10}<0\Rightarrow a_1+9d<0\Rightarrow d<0\Rightarrow a_{100} = a_1+99d= a_1+9d+90d=a_{10}+90d<0$
(丙)$\bigcirc: a_{100}-a_{10}=a_1+99d-a_1-9d=90d=10\times 9d=10(a_1+9d-a_1)=10(a_{10}-a_1)$
故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：

$$\left( -2019 \right) \times \left| -2020 \right| +2019\times \left| -2019 \right| =-2019\times 2020+2019\times 2019\\ =2019\left( -2020+2019 \right) =2019\times \left( -1 \right) =-2019，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解：

$$\overline{AB}+r_B=2+1=3=r_A\Rightarrow 圓A與圓B內切\\r_B+r_C=1+2=3<\sqrt{21} =\overline{BC} \Rightarrow 圓B與圓C外離，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解：

(A), (B), (D) 皆對稱紅線，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：

$$y=x^2-6x+(9+\sqrt{3})=(x-3)^2+\sqrt{3}\Rightarrow  頂點P=(3,\sqrt{3}) \Rightarrow  \begin{cases} \overline{PQ}=\sqrt{3} \\ \overline{BQ}=3 \\ \overline{PB}=2\sqrt{3} \end{cases} \\\Rightarrow \angle PBA=30^\circ \Rightarrow \angle ABC=60^\circ \\ 同理\angle CAB=60^\circ \Rightarrow \triangle ABC為正三角形\Rightarrow \triangle ABC面積=6\times 3\sqrt{3}\div 2 =9\sqrt{3}，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解：

$$O是\triangle   ABC的外心 \Rightarrow   O是\triangle   ABC外接圓的圓心\Rightarrow   \overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC}=r\\ \overline{OE}=\overline{OC}(都是正方形邊長)\Rightarrow   \overline{OE}=\overline{OC}=\overline{OB}=\overline{OA}=r \\ \Rightarrow   O是\triangle  AEB的外接圓圓心也就是外心\\也是\triangle  EBC的外接圓圓心也就是外心, 故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解：

$$不惑神日薪1760 \Rightarrow 創仙日薪為1760\times\frac{3}{4} \Rightarrow 墨規日薪為 1760\times\frac{3}{4}\times\frac{5}{4}=1760\times\frac{15}{16}\\ \Rightarrow 不惑日薪>墨規日薪>創仙，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解：

$$\begin{cases} \frac { 3x-10 }{ 8 } <1 \\ 5-2x\le -1 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 3x<18 \\ 6\le 2x \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x<6 \\ 3\le x \end{cases}\Rightarrow 3\le x<6\Rightarrow x=3,4,5，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解： $$\frac{n}{n+4+6}=\frac{1}{3}\Rightarrow  n+10=3n \Rightarrow  n=5，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解：
$$90分鐘=\frac{90}{60}=\frac{3}{2}小時，假設甲地至乙地花了t小時，則乙至丙花了\frac{3}{2}-t 小時\\ \Rightarrow 84t+96(\frac{3}{2}-t)=134 \Rightarrow 42t+72-48t=67 \Rightarrow t=\frac{5}{6}小時=\frac{5}{6}\times 60=50分鐘，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解：

$$\overline{BC}//\overline{ED}\Rightarrow \begin{cases}\angle BCE=\angle CED=a\\ \angle CBD =\angle BDE=b \end{cases}\\對同弧CD的兩圓周角\angle CBD=\angle CED\Rightarrow a=b\\ 又\begin{cases}a+x=180\\a+b+\theta=180\end{cases}\Rightarrow a+b+\theta =2a+\theta=2(180-x)+ \theta=180 \Rightarrow 2x=180+\theta \\\Rightarrow x=90+\frac{\theta}{2}，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解：
$$平圴數為4\Rightarrow (4+8+1+5+6+m+n)\div 7=4 \Rightarrow m+n=4\\ \Rightarrow \begin{array}{c|c|c|c|c}m&n&a&b&c \\\hline1&3&1&4&7\\\hline 2&2&2&4&7\\\hline3&1&1&4&7\end{array},故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：

$$令\angle ABE=\angle CBD=\angle DBE=a\\ \overline{AD}//\overline{BC} \Rightarrow \begin{cases}\angle ADB=\angle CBD=a\\ \angle A=180-3a\end{cases}\\ \triangle EBD為等腰 \Rightarrow \overline{EB}=\overline{ED}=1=\overline{EA} \Rightarrow \triangle EAB為等腰\Rightarrow 180-3a=a \Rightarrow a=45^\circ\\ (甲)\angle ABC=3a=3\times 45=135^\circ\\(乙) \angle AEB=\angle BED=180-45-45=90^\circ \Rightarrow \begin{cases}\overline{AE} =\overline{EP}=1\\ \overline{EB}=\overline{EB}\\\angle AEB=\angle EDB=90^\circ \end{cases} \Rightarrow 符合SAS全等條件\\ (丙)面積=\overline{AD}\times\overline{EB} = 2\times 1=2\ne\sqrt{3},故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：

作$\overline{DE}\bot\overline{BC}$，如上圖。

由於$\overline{CD}$為$\angle   C$的角平分線，所以$\triangle   CAD\cong \triangle   CED   \Rightarrow$   $\overline{CA}=\overline{CE}=3$且$\overline{AD}=\overline{DE}=3/2$；

又$\angle   BED=\angle   A=90^\circ$且$\angle   B=\angle   B$，所以$\triangle   BED\sim\triangle   BAC$，因此 $$\frac{\overline{ED}}{\overline{AC}}=\frac{\overline{DB}}{\overline{BC}} =\frac{\overline{EB}}{\overline{AB}}   \Rightarrow   \frac{3/2}{3}=\frac{b}{3+a}=  \frac{a}{b+3/2}   \\   \Rightarrow   \begin{cases}3b=9/2+3a/2\\3a=9/4+3b/2\end{cases}   \Rightarrow   \begin{cases}a-2b+3=0\\ 4a-2b-3=0\end{cases}\Rightarrow  \begin{cases} a=2\\b=5/2\end{cases}  \Rightarrow   \overline{AB}=3/2+5/2=4$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：

$$公差數列:0,2/7,4/7,6/7,\dots,12/7,14/7,\dots，\\ 四捨五入後成為(0,0,1,1,1,1,2),(0+2,0+2,1+2,1+2,1+2,1+2,2+2)\dots\\ 每7個一組，計算其總和，成為6,6+2\times 7,6+4\times 7,\dots\\ a_1至a_{32},每7個一組，可分成4組再加上a_{29},a_{30},a_{31},a_{32},\\ 因此a_1+\cdots+a_{28}=(7a_1+6)+(7a_1+6+2\times 7)+(7a_1+6+4\times 7)+(7a_1+6+6\times 7)\\=28a_1+108=164\\ 又a_{29}+a_{30}+a_{31}+a_{32}=4a_1+8+8+9+9=8+34=42\\ a_1+\cdots+a_{32}=164+42=206，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解：
$$假設長方體邊長分別為r,s,t，則\begin{cases}rst=a\\rs=12\\2(rs+st+rt)=108\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}t=a/12\\rs=12\\t(r+s)=42\end{cases} \\\Rightarrow \begin{cases}t=a/12\\rs=12\\a=42\times 12/(r+s)\end{cases} \Rightarrow \begin{array}{c|c|c|c}r&s&r+s&a\\\hline 1&12&13&非整數\\\hline 6&2&8&63\\\hline 4&3&7&72\\\hline3&4&7&72\\\hline 2&6&8&63\\\hline1&12&13&非整數\end{array}，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解：

邊長為1的正方形有$5\times  4=20$個；
邊長為2的正方形有$4\times  3=12$個；
邊長為3的正方形有$3\times  2=6$個；
邊長為4的正方形有$2\times  1=2$個；
正方形總共有$20+12+6+2=40$個，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：

從頂點A開始，給每個頂點一點編號，即0, 1,2,   ...,   47；
每個9點畫一條直線，在畫第n條線後回到A點，也就是找最小的n，使得9n是48的倍數，即 $$\frac{48n}{9}=\frac{3n}{16}\Rightarrow n=16，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解：

作$\overline{MQ}//\overline{AP}$及$\overline{RN}//\overline{SA}$，並假設正方形邊長為$a$，如上圖；
由於$\overline{MQ}//\overline{AP}\Rightarrow   \angle   SQM=\angle   P$且$\angle   SMQ=\angle   RNP=90^\circ$，所以 $$\triangle   SMQ\sim\triangle   RNP   \Rightarrow   \frac{\overline{MQ}}{\overline{NP}}=\frac{\overline{SQ}}{\overline{RP}} \Rightarrow   \frac{a}{\overline{NP}} =\frac{3/5}{5/4}  \Rightarrow   \overline{NP}=\frac{3}{4}a\\ 在直角\triangle   RNP中,  {\overline{RP}}^2   ={\overline{RN}}^2+{\overline{NP}}^2\\   (5/4)^2=a^2+(3a/4)^2  \Rightarrow   25/16=25a^2/16 \Rightarrow   a=1(a=-1不合)$$

答：正方形的邊長為$\bbox[red,2pt]{1}$

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解：

將其中一張紙片上下及左右平移，使得紙片的右上角重疊，如上圖；

由於兩紙片皆為長方形，所以$\overline{AC}//\overline{DE}$且$\overline{AE}//\overline{CD}$，因此紙片重疊區域為一平行四邊形；
觀察三角形AFE與三角形ABC，$\angle   FAE+\angle   EAC=90^\circ=\angle   BAC+\angle   EAC   \Rightarrow   \angle   FAE=\angle   CAB$，又$\angle   F=\angle   B=90^\circ$及$\overline{AF}=\overline{AB}=5$，兩三角形符合AAS，即兩三角形全等；
由於兩三角形全等，所以$\overline{AC}=\overline{AE}$，因此兩紙片重疊區域不僅是平行四邊形，更是菱形，其面積為$5\overline{AC}$；
由題意知：重疊區域面積=兩長方形面積扣掉多邊形面積=$12\times 5\times   2-94=26=5\overline{AC} \Rightarrow   \overline{AC}=\frac{26}{5}$；
多邊形周長=兩長方形周長扣掉菱形周長=$(12+5)\times   4   - 4\times  \frac{26}{5}=\frac{236}{5}$；

答：周長為$\bbox[red,2pt]{\frac{236}{5}}$

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- END -