108年臺南區特招數學詳解

臺南區108 學年度高級中等學校特色招生聯合考試

數學科詳解

解： $$a=4^{ -2 }\times { 5 }^{ -3 }=2^{ -4 }\times { 5 }^{ -3 }=2^{ -4 }\times { 5\times 5 }^{ -4 }=5\times { 10 }^{ -4 }，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解： $$\begin{cases} 8<\sqrt { a } <10 \\ 7<\sqrt { b } <8 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 64<a<100 \\ 49<b<64 \end{cases}\Rightarrow 113<a+b<164\Rightarrow \sqrt { 113 } <\sqrt { a+b } <\sqrt { 164 } \\ \Rightarrow 11\le \sqrt { a+b } \le 12，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解： $$\begin{cases} A=(6,8) \\ B=(-6,0) \\ C=(-3,-4) \\ D=(5,-12) \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \overline { OA } =10 \\ \overline { OB } =6 \\ \overline { OC } =5 \\ \overline { OD } =13 \end{cases}\Rightarrow \overline { OC } <\overline { OB } <\overline { OA } <\overline { OD } \\ \Rightarrow B,C在圓內,A,D在圓外\Rightarrow 6<r<10\Rightarrow r=7,8,9，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解：

假設正三邊形PQC的面積為$a$，則正六邊形的面積為$6a$；
六個白色正六邊形的面積為$6a\times 6=36a=A$；
陰影面積=1個正六邊形+6個正三角形$=6a+6a=12a=B$；
因此$A/B=36a/12a=3$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：
將每月數字(12個)由小排到大，第1四分位數就是介於第3與第4之間，即43936與44950之間，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解： $$4x=9y\Rightarrow y=\frac { 4 }{ 9 } x\Rightarrow \begin{cases} 小美 & 5x+3y=5x+\frac { 4 }{ 3 } x=\frac { 19 }{ 3 } x=\frac { 57 }{ 9 } x \\ 阿明 & 4x+6y=4x+\frac { 8 }{ 3 } x=\frac { 20 }{ 3 } x=\frac { 60 }{ 9 } x \\ 大武 & 3x+8y=3x+\frac { 32 }{ 9 } x=\frac { 59 }{ 9 } x \\ 老輝 & 2x+10y=2x+\frac { 40 }{ 9 } x=\frac { 58 }{ 9 } x \end{cases}\Rightarrow 阿明最大，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解：假設正七邊的內角為$a$度，即及$a=900/7$；因此$\angle A=180-2(180-a)=2a-180$，$\angle A+\angle +\cdots+\angle G=7\angle A=7(2a-180)=14a-1260=1800-1260=540$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：

由題意可知B坐標為(-4,4)，因此直線AB的方程式為$y=x/4+5$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解： $$令\cases{f(x):499方案價錢\\ g(x):799方案價錢} \Rightarrow \cases{f(x)=\cases{ 499,如果x\le 300\\  499+2.5(x-300),如果x\gt 300} \\ g(x)=\cases{ 799,如果x\le 600\\  799+1.5(x-600),如果x\gt 600}}\\ 若 f(x) \gt g(x)\Rightarrow \cases{499+2.5(x-300)\gt 799,300\lt x\le 600 \Rightarrow 420\lt x\le 600\\ 499+2.5(x-300)\gt 799+1.5(x-600),x\gt 600 \Rightarrow x\gt 150(不符x \gt 600)} \\ 因此騎超過420公里後，799方案比較省錢，數字和為4+2+0=6，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解：

最左邊的圓：半徑為1，因此圓周長為$2\pi$；

第2部份為垂直線：長為2；

第3部分為四分之一圓周長：半徑為2，因此長度為$2\pi\times 2\div 4=\pi$

第4部份為Z字形：長度為$2+2\sqrt{2}+2=4+2\sqrt{2}$

因此總長度為$2\pi+2+\pi+4+2\sqrt{2}=3\pi+2\sqrt{2}+6\Rightarrow a+b+c=3+2+6=11$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解： $$2.2<\sqrt { 5 } <2.25\Rightarrow 3.2<1+\sqrt { 5 } <3.25\Rightarrow 1.6<\frac { 1+\sqrt { 5 }  }{ 2 } <1.625\\ \begin{cases} \left( A \right)  & 4/3\approx 1.33 \\ \left( B \right)  & 16/9\approx 1.77 \\ \left( C \right)  & 21/9\approx 2.33 \\ \left( D \right)  & 3/2=1.5 \end{cases}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解： $$a^2+a-12=b\Rightarrow (a-3)(a+4)=b\\ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} a&4&5&6&7&8&9\\ \hline a-3&1&2&3&4&5&6\\ \hline a+4&8&9&10&11&12&13\\ \hline b&8&18&30&44&60&78\\ \end{array}\\ \Rightarrow (a,b)=(4,8),(5,18),(6,30),(7,44),(8,60),共5組，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：

先求包含該三角形的最小平行四邊形，再扣去三個三角形；
$\triangle ABC=2\times 3-(1\times 2+2\times 1+3\times 1)\div 2=6-7/2=5/2$
$\triangle DEF=6\times 4-(4\times 2+2\times 6+2\times 4)\div 2=24-14=10$
因此$\triangle ABD:\triangle DEF=5/2:10=1:4$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解： $$假設定價為a元，打八折為0.8a元，獲利為100\%\Rightarrow 成本為0.4a元\\ 六折為0.6a元，獲利為0.6a-0.4a=0.2a元，獲利率為0.2a/0.4a=0.5=50\%，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解： $$2x^4+17x^3++14x^2+51x+24=(x^2+a)(x+b)(2x+1)\\=2x^4+(2b+1)x^3+(2a+b)x^2+a(2b+1)x+ab\\ \Rightarrow \begin{cases}2b+1=17\\2a+b=14\\a(2b+1)=51\\ab=24\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}a=3\\b=8\end{cases}\Rightarrow a+b=11，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解：

阿明花了$55\times 3=165$元，扣除春捲的35元，另外2種花了$165-35=130$元；價格表中只有菜粽$30加牛肉湯$100剛好是130元；
鹹粥$90只能與黑糖珍奶及黑輪$10形成等差數列，即10-50-90；
扣除阿明及丁丁吃的的小吃，剩下冬瓜茶、香腸、棺材板三種為小智吃到的，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解： $$y=0\Rightarrow -\frac { 1 }{ 2 } x^{ 2 }+k=0\Rightarrow x=\pm \sqrt { 2k } \Rightarrow k=\overline { OA } =\sqrt { 2k } \times \sqrt { 3 } \Rightarrow k=\sqrt { 6k } \\ \Rightarrow k^{ 2 }=6k\Rightarrow k=6\Rightarrow 42=7k，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解：

正九邊形的內角為$(9-2)\times 180\div 9=140$度，因此$\angle KFJ=\angle KLJ=140^\circ \Rightarrow \angle FJL=\angle FKL=40^\circ$，弧FL=$2\pi\times\frac{40}{360}=\frac{2}{9}\pi$
弧AB=半圓減去2個弧FL=$\pi-2\times\frac{2}{9}\pi=\frac{5}{9}\pi$，總共有九個弧，總弧長為$9\times\frac{5}{9}\pi=5\pi$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解： $$x^{ 2 }係數為-1且f\left( 0 \right) =0\Rightarrow f\left( x \right) =-x^{ 2 }+bx\\ f\left( 3 \right) ,f\left( 1 \right) ,f\left( 2 \right) 為等差\Rightarrow f\left( 3 \right) +f\left( 2 \right) =2f\left( 1 \right) \Rightarrow -9+3b-4+2b=2(-1+b)\\ \Rightarrow b=\frac { 11 }{ 3 } \Rightarrow f\left( x \right) =-x^{ 2 }+\frac { 11 }{ 3 } x=-x\left( x-\frac { 11 }{ 3 }  \right) \Rightarrow 兩根之和=0+\frac { 11 }{ 3 } =\frac { 11 }{ 3 } ，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解： $$\overline { AB } =\left| 2a \right| \Rightarrow b=-a\\ \overline { BC } =\left| 2b \right| =\left| 2a \right| \Rightarrow c=-3a\\ \overline { AC } =16=-3a-a=-4a\Rightarrow a=-4\Rightarrow \begin{cases} b=4 \\ c=12 \end{cases}\Rightarrow a+b+c=12，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解：

$$68+b+c=180\Rightarrow b+c=180-68=112\\ \angle C=180-2c 且\angle B=180-2b \Rightarrow \angle A=180-\angle B-\angle C=180-(180-2c)-(180-2b)\\=2(b+c)-180= 2\times 112-180=44，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解： $$長方體三邊長分別為r,s,t\Rightarrow \begin{cases} rs=12 \\ 2\left( rs+st+rt \right) =108 \\ rst=a \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} rs=12 \\ t\left( r+s \right) =42 \\ 12t=a \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} \left( A \right)  & a=72\Rightarrow t=6\Rightarrow r+s=42/6=7\Rightarrow (r,s)=(3,4),(4,3) \\ \left( B \right)  & a=84\Rightarrow t=7\Rightarrow r+s=42/7=6無法找出整數r,s滿足rs=12 \\ \left( C \right)  & a=96\Rightarrow t=8\Rightarrow r+s=42/8非整數 \\ \left( D \right)  & a=108\Rightarrow t=9\Rightarrow r+s=42/9非整數 \end{cases}，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解：租金要最大代表營業日要最多，因此假設該月1日在星期一，則營業日在該月的1, 2 5, 8,9, 12, 15,16, 19, 22,23, 26,29,30，共14天；
租金為$600+(600-20)+\cdots+(600-20\times 13)=(600\times 2-13\times 20)\times 14\div 2 = 940\times 7=6580$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：

假設$\angle BCF=\angle FCE=m^\circ$及$\angle CBF=\angle FBD=n^\circ$，如上圖； $$\overline{BC}//\overline{DE} \Rightarrow \begin{cases}\angle BCF=\angle CFE=m^\circ \\ \angle CBF=\angle BFD=n^\circ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}\overline{EC}=\overline{EF}=b\\\overline{DB}=\overline{DF}=a\end{cases} \\ \triangle ABC\sim\triangle ADE \Rightarrow \frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}= \frac{\overline{BC}}{\overline{DE}}= \frac{\overline{AC}}{\overline{AE}} \Rightarrow \frac{4}{4+a}= \frac{6}{a+b} =\frac{5}{5+b}\\\Rightarrow \begin{cases}4a+4b=24+6a\\20+4b=20+5a \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}2b-a=12\\a=\frac{4}{5}b\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}a=8\\b=10\end{cases}\\\Rightarrow ECBD周長=6+2(a+b)=6+2\times 18=42，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解：

頂點A沿$\overline{DE}$對摺可得A'，如上圖；並假設$\angle ADE=\angle A'DE=m^\circ$及 $\angle AED=\angle A'ED=n^\circ$；
因此 $$\begin{cases}z+2n=180\\y+2m=180\end{cases}\Rightarrow y+z+2(m+n)=360 \Rightarrow m+n=180-\frac{y+z}{2}\\在\triangle A'DE中\Rightarrow x+m+n=180 \Rightarrow x+180-\frac{y+z}{2}=180 \Rightarrow x=\frac{y+z}{2}\Rightarrow 2x=y+z$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

-- end --