108學年基北區麗山高中特招數學詳解

基北區臺北市立麗山高級中學

108 學年度高級中等學校特色招生考試

數學能力測驗詳解

解：

4顆水梨和9顆橘子的價錢相等$4x=9y\Rightarrow x=9y/4$； $$\begin{cases}小美: 5x+3y=5\times\frac{9}{4}y+3y=\frac{57}{4}y\\阿明: 4x+6y=4\times\frac{9}{4}y+6y= \frac{60}{4}y\\大武: 3x+8y=3\times\frac{9}{4}y+8y=\frac{59}{4}y\\老輝: 2x+10y=2\times \frac{9}{4}y+10y=\frac{58}{4}y\end{cases}\Rightarrow 阿明最大，故選\bbox[red,2pt]{(2)}。$$

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解：
$$46\le 10a^2<47\Rightarrow 4.6\le a^2<4.7 \Rightarrow \sqrt{4.6}\le a<\sqrt{4.7}\Rightarrow 10\sqrt{4.6}\le 10a<10\sqrt{4.7}\\ \Rightarrow \sqrt{460}\le 10a<\sqrt{470}\\ 又\begin{cases}21^2=441\\22^2=484\end{cases} \Rightarrow 21\le 10a<22,故選\bbox[red,2pt]{(2)}。$$

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解：
$$ab^2>b^2c\Rightarrow a>c\cdots(1)\\ 若b>0且c>0\Rightarrow \begin{cases}a^2b< abc\\abc>bc^2\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}a^2< ac\Rightarrow \begin{cases}a< c& 若 a>0,與(1)矛盾\\a>c & 若a<0,負數不大於正數,矛盾\end{cases}\\a>c\end{cases}\\若b>0且c<0\Rightarrow \begin{cases}a^2b< abc\\abc>bc^2\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}a^2< ac\\a< c,與(1)矛盾 \end{cases}\\ 若b<0且c>0\Rightarrow \begin{cases}a^2b< abc\\abc>bc^2\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}a^2> ac\\a< c,與(1)矛盾 \end{cases}\\故選\bbox[red,2pt]{(4)}$$

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解：
正確答案為8個◯及12個×；小明回答為11個◯及9個×；
小明答題中有a個◯是錯的，代表有7−a個×也是錯的；
因此正確的◯為$8=11-a+7-a\Rightarrow 2a=10\Rightarrow a=5$，故選$\bbox[red,2pt]{(2)}$。

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解：

由題意可知B坐標為(-4,4)，因此直線AB的方程式為$y=x/4+5$，故選$\bbox[red,2pt]{(3)}$。

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解：

$$\overline{AF}//\overline{BE}\Rightarrow \angle BEF=180-\angle F\Rightarrow \angle BEC=180-a-16=164-a\\ \overline{AD}//\overline{BC}\Rightarrow \angle ABC=\angle D=64 又\angle ABE=\angle F\Rightarrow \angle CBE=a-64\\ \triangle BCE\Rightarrow \angle BCE=180-(a-64)-(164-a)=80\\ ABEF為平行四邊形\Rightarrow \overline{AF}=\overline{BE}又\overline{AF}=\overline{BC} \Rightarrow \overline{BC}=\overline{BE}\Rightarrow \angle BCE=\angle BEC\\ \Rightarrow 164-a=80\Rightarrow a=164-80=84，故選\bbox[red,2pt]{(2)}。$$

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解：
$$\begin{cases}a<b<c\\abc<0\end{cases}\Rightarrow a<0\\又\begin{cases}a<b \\\overline{AB}=|2a| \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} b>0\\b=-a\end{cases}\Rightarrow \overline{BC}=|2b|=-2a且 c=-3a\\ 因此\overline{AC}=16=-3a-a=-4a \Rightarrow a=-4\\\Rightarrow b=4,c=12 \Rightarrow a+b+c=12，故選\bbox[red,2pt]{(1)}。$$

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解：
$$\begin{cases}甲→\frac{2}{3}甲\cdots(1)\\乙→乙+\left(\frac{1}{3}甲-\frac{1}{5}丙\right)\cdots(2)\\丙→丙+\frac{1}{5}丙=\frac{6}{5}丙\cdots(3)\end{cases}\\(1)=(3)\Rightarrow \frac{2}{3}甲=\frac{6}{5}丙 \Rightarrow 丙=\frac{5}{9}甲,代入(2)\Rightarrow 乙+\left(\frac{1}{3}甲-\frac{1}{5}丙\right)=乙+\frac{2}{9}甲\cdots(4)\\(1)=(4)\Rightarrow \frac{2}{3}甲=乙+\frac{2}{9}甲 \Rightarrow 乙=\frac{4}{9}甲\\因此乙從\frac{4}{9}甲變成\frac{2}{3}甲\Rightarrow \frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{9}}=\frac{3}{2},故選\bbox[red,2pt]{(3)}。$$

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解：

第5題送分相當於第5題答對人數由$a$增為50、第10題送分相當於第10題答對人數由$b$增為50，因此增加的平均值為 $((50-a)+(50-b))\times 10\div 50=9 \Rightarrow a+b=100-45=55$；
未送分前的平均分數為 (42+c+34+36+a+40+35+38+30+b)$\times 10\div 50 =70 \Rightarrow 255+a+b+c=350 \Rightarrow 255+55+c=350 \Rightarrow c=40$，故選$\bbox[red,2pt]{(1)}$。

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解：

紅色直線為對稱軸及各角度代號如上圖
$$\begin{cases}\angle BAD=132^\circ \Rightarrow 2b+c=132^\circ \cdots (1)\\ a+c+2b=180^\circ\cdots (2) \\ 2a+c+b=180^\circ \cdots (3) \end{cases} \xrightarrow{(1)代入(2)} a=180-132=48\cdots(4)\\ \xrightarrow{(4)代入(3)} b+c=180-48\times 2= 84\cdots(5) \xrightarrow {(5)代入(1)}  b=132-84=48\\ \xrightarrow{將a=48,b=48代入(2)} c=180-48\times 3=36 \\在\triangle ADB' \Rightarrow \angle D+c+\angle AB'D=180 \Rightarrow \angle AB'D=180-73-36=71，故選\bbox[red,2pt]{(1)}$$

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解：
假設底面六邊形的六個邊長度分為$a_1,a_2,\dots,a_6$，高度為$h$；
有三個側面的周長均為14，假設為$2a_1+2h=2a_2+2h=2a_3+2h=14 \Rightarrow a_1=a_2=a_3, 且a_1+h=7$；
同理，另三個側面周長為16，可得$a_4=a_5=a_6, a_4+h=8$；
邊長長度總和=$6a_1+6a_4+6h=72\Rightarrow a_1+a_4+h=12\Rightarrow a_1+8=12\Rightarrow a_1=4$；
再由$a_1+h=7, a_4+h=8\Rightarrow h=3, a_4=5$；
體積為135$\Rightarrow 底面積A\times h=135\Rightarrow A=135\div 3=45 \Rightarrow$表面積=$2A+3a_1h+3a_4h=2\times 45+3\times 4\times 3+3\times 5\times 3= 90+36+45=171$，故選$\bbox[red,2pt]{(2)}$。

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解： $$10x^{ 2 }+x-12=\left( 2x+a \right) \left( 5x+b \right) +9=10x^{ 2 }+(5a+2b)x+ab+9\\ \Rightarrow \begin{cases} 5a+2b=1 \\ ab+9=-12 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=(1-2b)/5 \\ ab=-21 \end{cases}\Rightarrow \frac { b\left( 1-2b \right)  }{ 5 } =-21\Rightarrow 2b^{ 2 }-b-105=0\\ \Rightarrow \left( b+7 \right) \left( 2b-15 \right) =0\Rightarrow \begin{cases} b=15/2(不合,需為整數) \\ b=-7 \end{cases}\Rightarrow a=3\Rightarrow a-b=10，故選\bbox[red,2pt]{(4)}。$$

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解： $$\sum _{ n=1 }^{ 100 }{ \left( 10^{ n }-n \right) } =\sum _{ n=1 }^{ 100 }{ 10^{ n } } -\sum _{ n=1 }^{ 100 }{ n } =\frac { 10\left( 10^{ { 100 } }-1 \right) }{ 9 } -\frac { 100\times 101 }{ 2 } =\frac { 10 }{ 9 } \times \overbrace { 9\cdots 9 }^{ 100個 } -5050\\ =10\times \overbrace { 1\cdots 1 }^{ 100個 } -5050=\overbrace { 1\cdots 1 }^{ 100個 } 0-5050=\overbrace { 1\cdots 1 }^{ 96個 } 06060，故選\bbox[red,2pt]{(2)}。$$

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解：
$$男生:a_1 < a_2 <\cdots < a_{23}\Rightarrow \begin{cases}a_1=42\\Q_1=a_{6}=51\\Q_2=a_{12}=63\\Q_3=a_{18}=80\\a_{23}=95\end{cases}\\女生:43<49<53<60<61<68<70<85<90<98 \\男生+女生:a_1=42,\{a_2\cdots a_5,43,49\},a_{6}=51,\{a_7\cdots a_{11},53,60,61\},a_{12}=63,\\\{a_{13}\dots a_{17},68,70\},a_{18}=80,\{a_{19}\cdots a_{21},85,90\},a_{23},98\\\equiv b_1 < b_2 < \cdots< b_{33}\Rightarrow \begin{cases}b_1=42\\Q'_1=b_{9}>51\\Q'_2=b_{17}=63\\Q'_3=b_{25}=80\\b_{33}=98\end{cases}\Rightarrow Q'_1>Q_1, Q'_3=Q_3，故選\bbox[red,2pt]{(3)}。$$

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解：

$$E為\triangle APC 外心\Rightarrow E為\triangle APC 外接圓圓心；同理D為\triangle APB 外接圓圓心, 見上圖\\令\angle EAC=a, \angle BAD=b, \angle ACP=c\Rightarrow \angle AEP=2c(對同弧的圓心角是圓周角的2倍), \\\angle EBA=d\Rightarrow \angle ADP=2d\\\triangle PBC \Rightarrow \angle CPB+\angle PCB+\angle PBC=180^\circ \Rightarrow \angle PCB+\angle PBC=180^\circ - 108^\circ=72^\circ\\ \triangle ABC \Rightarrow \angle CAB+\angle ACB+\angle ABC=180^\circ \Rightarrow 21^\circ +22^\circ + c+d+\angle PCB+\angle PBC\\=43^\circ +c+d+72^\circ= 180^\circ\Rightarrow c+d=65^\circ\\ \begin{cases}\overline{EA} =\overline{EP}\\ \overline{DA}=\overline{DP}\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}\angle EAP =\angle EPA=21^\circ+a\\ \angle DAP=\angle DPA=22^\circ+b\end{cases} \Rightarrow \angle EAD+\angle ADP+\angle DPE+\angle PEA=360^\circ \\ \Rightarrow 2(21^\circ+22^\circ+a+b+c+d)=260^\circ \Rightarrow 2(43^\circ+a+b+65^\circ)=360^\circ\\ \Rightarrow a+b=180^\circ-108^\circ=72^\circ\Rightarrow \angle EAD=72^\circ+21^\circ+22^\circ=115^\circ,故選\bbox[red,2pt]{(2)}。$$

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解：

四種磁磚的邊長分別為$6/2=3, 6/3=2, 6/4=3/2, 6/6=1$，見上圖；
將左下角視為原點$O=(0,0)$，則$A=(3,9), C=(10,1)\Rightarrow \overline{AC}= \sqrt{7^2+8^2}=\bbox[red,2pt]{\sqrt{113}}$。

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解：
$$12^2+11n-15=p^2\Rightarrow (4n-3)(3n+5)=p^2 \Rightarrow 4n-3=3n+5 \Rightarrow n=8 \\\Rightarrow (4n-3)(3n+5)=29\times 29=p^2 \Rightarrow p=\bbox[red,2pt]{29}$$

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解：
假設三邊分別為$a, b, c$，對應的高分別為$5,7,h$，三角形面積=$5a/2=7b/2=ch/2 \Rightarrow a=7b/5, c=7b/h$；
三角形任兩邊之和大於第三邊，即 $$\begin{cases}a+b>c\\b+c>a\\a+c>b\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}7b/5+b>7b/h\\b+7b/h>7b/5\\7b/5+7b/h>b\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}h>35/12\\35/2>h\\h>-35/2\end{cases}\Rightarrow 35/2>h>35/12 \Rightarrow h=\bbox[red,2pt]{17}為最大整數$$

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解：

由於$650^2=600^2+250^2$，因此$\triangle   ABC$為直角三角形；

假設頂點A與小圓切點的矩離為$a$、頂點B與小圓切點的矩離為$b$、頂點C與小圓切點的矩離剛好為小圓半徑$20$，見上圖；

$$\triangle ABC\sim \triangle A'B'C'\Rightarrow \frac { \overline { AB }  }{ \overline { A'B' }  } =\frac { \overline { BC }  }{ \overline { B'C' }  } =\frac { \overline { AC }  }{ \overline { A'C' }  } \\ \Rightarrow \frac { 650 }{ 650-a-b } =\frac { 250 }{ 250-20-b } =\frac { 600 }{ 600-a-20 } \Rightarrow \frac { 13 }{ 650-a-b } =\frac { 5 }{ 230-b } =\frac { 12 }{ 580-a } \\ \Rightarrow \begin{cases} 3250-5a-5b=2990-13b \\ 2760-12b=2900-5a \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 260-5a+8b=0 \\ 140-5a+12b=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=100 \\ b=30 \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} \overline { A'C' } =600-a-20=480 \\ \overline { B'C' } =250-20-b=200 \\ \overline { A'B' } =650-a-b=520 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 紅\triangle =480\times 200\div 2=48000 \\ 3個褐色矩形=20(520+480+200)=24000 \\ 綠\bigcirc =20^{ 2 }\pi =400\pi  \end{cases}\\ \Rightarrow 無法經過的區域=\triangle ABC-(紅\triangle +3個褐色矩形+綠\bigcirc )\\ =600\times 250\div 2-\left( 48000+24000+400\pi  \right) =75000-\left( 48000+24000+400\pi  \right) \\ =\bbox[red,2pt]{3000-400\pi} =100\left( 30-4\pi  \right)$$

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解：

$f(x)=x^2-2x-15=(x-1)^2-16=(x-5)(x+3)\Rightarrow 頂點A(1,-16), 與X軸交於B(5,0)及C(-3,0)$，圖形如上；因此 $$\begin{cases} f\left( k \right) =-\left| f\left( k \right)  \right| ,k=1-5 \\ f\left( k \right) =\left| f\left( k \right)  \right| ,k=6-9 \end{cases}\Rightarrow B-A=2\left( \left| f\left( 1 \right)  \right| +\left| f\left( 2 \right)  \right| +\cdots +\left| f\left( 5 \right)  \right| +0+0+0+0 \right) \\ \Rightarrow \frac { B-A }{ 2 } =\left| f\left( 1 \right)  \right| +\left| f\left( 2 \right)  \right| +\left| f\left( 3 \right)  \right| +\left| f\left( 4 \right)  \right| =16+15+12+7=\bbox[red,2pt]{50}$$

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解：
$$從108\dots2019中挑出7的倍數\Rightarrow 112=16\times 7,119=17\times 7,\dots,2016=288\times 7,共有288-16+1=273個\\ 從16\dots 288中挑出7的倍數\Rightarrow 21=3\times 7, 28=4\times 7,\dots,287=41\times 7,共有41-3+1=39個\\ 從3\dots 41中挑出7的倍數\Rightarrow 7,14,\dots,35=5\times 7,共有5個\\ 因此 a=273+39+5=\bbox[red,2pt]{317}$$

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解：

$$\triangle BCH\sim\triangle BEF \Rightarrow \frac{\overline{CH}}{\overline{EF}}= \frac{\overline{BC}}{\overline{BE}} \Rightarrow \frac{\overline{CH}}{3\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{8\sqrt{2}} \Rightarrow \overline{CH}=\frac{15}{8}\sqrt{2} \\\Rightarrow \overline{HG}= 3\sqrt{2}-\frac{15}{8}\sqrt{2}=\frac{9}{8}\sqrt{2} \Rightarrow \triangle BDF = \overline{DH}\times \overline{BE}\div 2=\left(\frac{9}{8}\sqrt{2}+2\sqrt{2}\right) \times 8\sqrt{2} \div 2\\=\bbox[red,2pt]{25}$$

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解：

作$\overline{PQ}\bot\overline{AC} \Rightarrow \triangle ABP\cong\triangle AQP \Rightarrow \overline{AB}=\overline{AQ}=b$，並令$\overline{AP}=\overline{CD}=a$
直角$\triangle QPC \Rightarrow \overline{QC}=\sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt{2}$
直角$\triangle ABC \Rightarrow (b+4\sqrt{2})^2=b^2+8^2\Rightarrow b=2\sqrt{2}$
直角$\triangle ABP \Rightarrow a^2=b^2+2^2\Rightarrow a=2\sqrt{3}$
直角$\triangle ADC \Rightarrow (b+4\sqrt{2})^2=a^2+{\overline{AD}}^2\Rightarrow \overline{AD}=2\sqrt{15}$
因此$\triangle ADC=\overline{AD}\times\overline{CD}\div 2=2\sqrt{15}\times 2\sqrt{3}\div 2=\bbox[red,2pt]{6\sqrt{5}}$

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解：
由題意可知$\triangle ABC\cong \triangle ADE\cong \triangle AFG$(符合ASA條件)，因此$\overline{AB}=\overline{AD}\Rightarrow \angle BAD=180-2\angle B=88$；同理$\overline{AD}=\overline{AF} \Rightarrow \angle DAF=180-2\angle ADE=88$；
$\angle BAG=360-\angle BAD-\angle DAF-\angle FAG=360-88-88-(180-30-46)=\bbox[red,2pt]{80}$

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解：
$$18=>99=>可獲得金幣18枚\\17=>98,89=>可獲得金幣2\times 17枚\\16=88,97,79=>可獲得金幣3\times 16枚\\\cdots=>可獲得金幣3\times(15+14+\cdots+4)枚\\3=>30,21,12=>可獲得金幣3\times 3枚\\2=>11,20=>可獲得金幣2\times 2枚\\1=>10=>可獲得金幣1枚\\總共可獲得金幣18+34+3(16+\cdots+3)+4+1=52+399+5=\bbox[red,2pt]{456}枚$$

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- END -