108年大學指考數學甲詳解

108學年度指定科目考試試題

數學甲

第壹部分：選擇題
一、單選題

解： $$丟第一次的期望值：800\times \frac{1}{4}+800\times\frac{1}{2}+400\times\frac{1}{4}= 200+400+100= 700\\丟第二次的期望值也是700，但需在第一次出現兩個正面(機率為1/4)，\\也就是第二次的期望值為700\times \frac{1}{4}=175\\總期望值為700+175=875，故選\bbox[red,2pt]{(2)}$$

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解：

$$\frac{F_{13}}{F_{12}}=\frac{2^{2^{13}}+1}{2^{2^{12}}+1}\Rightarrow \log{\frac{F_{13}}{F_{12}}} =\log{\frac{2^{2^{13}}+1}{2^{2^{12}}+1}}\approx \log{\frac{2^{2^{13}}}{2^{2^{12}}}} =2^{13}\log{2}-2^{12}\log{2}\\ =\left(2^{13}-2^{12}\right) \log{2}= 2^{12}\log{2}=2^{12}\times 0.301=4096\times 0.301=1232.896，故選\bbox[red,2pt]{(5)}。$$

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解：

$$令塔高為h，A至塔底的距離為a=h\cot{14^o}，B至塔底的距離為b=h\cot{18^o30'}\\直角\triangle ABC\Rightarrow a^2+b^2=65^2\Rightarrow h^2(\cot^2{14^o}+\cot^2{18^o30'} =65^2 \Rightarrow h^2(4.01^2+2.99^2)\\\approx h^2(4^2+3^2)=25h^2=65^2 \Rightarrow h=13\\ 離塔底越近仰角越大，C至直線\overline{AB}的距離x即為所求，即65x=ab\\ \Rightarrow 65x=h^2(4.01\times 2.99)\approx h^2(4\times 3)=13^2\times 12 \Rightarrow x=13\times 12\div 5=31.2，故選\bbox[red,2pt]{(3)}$$

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二、多選題

解：

$$假設A=(7,0),B=(0,7/2)\\ \left( 1 \right) 經過A,B最小的圓就是以\overline { AB } 為直徑的圓,\\ 半徑r=\frac { 1 }{ 2 } \overline { AB } =\frac { 1 }{ 2 } \sqrt { 7^{ 2 }+\left( 7/2 \right) ^{ 2 } } =\frac { 7 }{ 4 } \sqrt { 5 } <4\\ (2)圓心O=(A+B)/2=(7/2,7/4)\Rightarrow (x-7/2)^{ 2 }+(y-7/4)^{ 2 }=\frac { 245 }{ 16 } \\ (0,0)代入\Rightarrow (7/2)^{ 2 }+(7/4)^{ 2 }=\frac { 49 }{ 4 } +\frac { 49 }{ 16 } =\frac { 245 }{ 16 } \Rightarrow (0,0)在圓上\\ (3)該直線平行\overline { AB } ，仍可能與圓不相交\\ (4)\overline { AB } 的中垂線:y-7/4=2(x-7/2)經過第四象限\Rightarrow 圓心可在第四象限\\ (5)圓心O(x,y)在中垂線上:y-7/4=2(x-7/2)\Rightarrow O(x,2x-21/4)\\ \Rightarrow r=\overline { OB } =\sqrt { x^{ 2 }+(2x-35/4)^{ 2 } } =\sqrt { 5{ \left( x-7/2 \right)  }^{ 2 }+245/16 } >\sqrt { 5{ \left( 7/2 \right)  }^{ 2 }+245/16 } \\ \Rightarrow r>\sqrt { 5{ \left( 7/2 \right)  }^{ 2 }+245/16 } =35/4>8$$ 故選$\bbox[red,2pt]{(2,5)}$。

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解：

(1)$\bigcirc:$取出第一顆為紅球的機率為2/6=1/3、不是紅球的機率為2/3；
若取出第1球是紅球，第2球取出是紅球的機率為1/5、若取出第1球不是紅球，第2球取出是紅球的機率為2/5，因此取出第二球為紅球的機率為$\frac{1}{3}\times\frac{1}{5}+\frac{2}{3}\times\frac{2}{5}=5/15=1/3$
(2)$\times:$第2次取出紅球的機與第1次是否取到紅球有相關，兩者不是獨立事件
(3)$\times:$取出第一顆為紅球，第二顆也能取白球或藍球，所以兩者不互斥
(4)$\times:$第一、二顆皆為紅球的機率為$\frac{2}{6}\times\frac{1}{5}=\frac{1}{15}$；第一、二顆皆為白球的機率為$\frac{3}{6}\times\frac{2}{5}=\frac{1}{5}$；兩者不同
(5)$\bigcirc:$前三顆皆為白球的機率$\frac{3}{6}\times\frac{2}{5}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{20}$；前三顆為異色的機率$3!\times\frac{3\times 2\times 1}{6\times 5\times 4}=\frac{3}{10}>\frac{1}{20}$；

故選$\bbox[red,2pt]{(1,5)}$

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解： $$\left( 1 \right) \times :無法判定\\ (2)\times :與\lim _{ n\to \infty }{ a_{ n } } =4矛盾\\ (3)\bigcirc :\left< a_{ n } \right> 為遞增\Rightarrow \left< b_{ n }^{ 2 } \right> 為遞增\\ (4)\bigcirc :\lim _{ n\to \infty }{ a_{ n } } =\lim _{ n\to \infty }{ a_{ n+1 } } =4\Rightarrow \lim _{ n\to \infty }{ b_{ n }^{ 2 } } =4(夾擊)\\ (5)\times :\lim _{ n\to \infty }{ b_{ n } } 不一定存在，例:\cases{a_n=4-{1\over n} \\b_n=(-1)^n\sqrt{4-{1\over n+0.5}} \Rightarrow b_n^2=4-{1\over n+0.5}}\\\qquad，滿足\cases{a_n < b_n^2 < a_{n+1} \\\lim_{n\to \infty}a_n=4}； 但\lim_{n\to \infty}b_n 不存在。$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(3,4)}$

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解：

(1)$\times$: 圖形可能如下，其$a<0$

(2)$\bigcirc$:圖形在$-2\le x\le 1$內，斜率是遞增的，即$f''>0\Rightarrow f''(0)>0$

(3)$\bigcirc$:圖形在$x=0$，斜率是正數，即$f'(0)>0\Rightarrow c>0$
(4)$\times$: 上圖只有一實根
(5)$\bigcirc$:反曲點在上圖的A點處，其Y坐標為正；若a>0，反曲點仍在X軸之上

故選$\bbox[red,2pt]{(2,3,5)}$

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解： $$(1)\bigcirc :\left| 2\overrightarrow { OA } +3\overrightarrow { OB }  \right| =\left| -4\overrightarrow { OC }  \right| =4\left| \overrightarrow { OC }  \right| =4\\ (2)\times :\overrightarrow { OA } \cdot \overrightarrow { OB } =\left| \overrightarrow { OA }  \right| \left| \overrightarrow { OB }  \right| \cos { \angle AOB } =\cos { \angle AOB } 可能為正\\ (3)\times :2\overrightarrow { OA } +3\overrightarrow { OB } +4\overrightarrow { OC } =0\Rightarrow 2\overrightarrow { OA } +3\overrightarrow { OB } =-4\overrightarrow { OC } \Rightarrow { \left( 2\overrightarrow { OA } +3\overrightarrow { OB }  \right)  }^{ 2 }=16{ \left| \overrightarrow { OC }  \right|  }^{ 2 }\\ \Rightarrow 4{ \left| \overrightarrow { OA }  \right|  }^{ 2 }+9{ \left| \overrightarrow { OB }  \right|  }^{ 2 }+12\overrightarrow { OA } \cdot \overrightarrow { OB } =16{ \left| \overrightarrow { OC }  \right|  }^{ 2 }\Rightarrow 13+12\overrightarrow { OA } \cdot \overrightarrow { OB } =16\\ \Rightarrow \overrightarrow { OA } \cdot \overrightarrow { OB } =\frac { 1 }{ 4 } =\left| \overrightarrow { OA }  \right| \left| \overrightarrow { OB }  \right| \cos { \angle AOB } =\cos { \angle AOB } \Rightarrow \cos { \angle AOB } =\frac { 1 }{ 4 } \\ 同理可得\cos { \angle BOC } =-\frac { 7 }{ 8 } ,\cos { \angle AOC } =-\frac { 11 }{ 16 } \Rightarrow \angle BOC>\angle AOC>\angle AOB\\ (4)\times :\cos { \angle AOB } =\frac { { \overline { OA }  }^{ 2 }+{ \overline { OB }  }^{ 2 }-{ \overline { AB }  }^{ 2 } }{ 2\cdot { \overline { OA }  }\cdot { \overline { OB }  } } \Rightarrow \frac { 1 }{ 4 } =\frac { 2-{ \overline { AB }  }^{ 2 } }{ 2 } \Rightarrow { \overline { AB }  }^{ 2 }=\frac { 3 }{ 2 } \Rightarrow { \overline { AB }  }<\frac { 3 }{ 2 } \\ (5)\bigcirc :\begin{cases} \cos { \angle AOB } =\frac { 1 }{ 4 }  \\ \cos { \angle AOC } =-\frac { 11 }{ 16 }  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \sin { \angle AOB } =\frac { \sqrt { 15 }  }{ 4 }  \\ \sin { \angle AOC } =\frac { 3\sqrt { 15 }  }{ 16 }  \end{cases}\Rightarrow 3\sin { \angle AOB } =\frac { 3\sqrt { 15 }  }{ 4 } =4\sin { \angle AOC }$$ 故選$\bbox[red,2pt]{(1,5)}$

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三、選填題

解：

$$\left[ \begin{matrix} 1 \\ -2 \end{matrix} \right] =\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}\left[ \begin{matrix} r \\ s \end{matrix} \right] +\left[ \begin{matrix} -2 \\ 3 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} r \\ -r+2s \end{matrix} \right] +\left[ \begin{matrix} -2 \\ 3 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} r-2 \\ -r+2s+3 \end{matrix} \right] \\ \Rightarrow \begin{cases} r-2=1 \\ -r+2s+3=-2 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \bbox[red,2pt]{r=3} \\ \bbox[red,2pt]{s=-1} \end{cases}$$

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解：

$$\begin{cases} A,B在y=\log _{ 2 }{ x } 上 \\ A,B連線斜率為2 \\ \overline { AB } =\sqrt { 5 }  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} r=\log _{ 2 }{ a }  \\ s=\log _{ 2 }{ b }  \\ \frac { s-r }{ b-a } =2 \\ \sqrt { { (a-b) }^{ 2 }+{ (r-s) }^{ 2 } } =\sqrt { 5 }  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \frac { \log _{ 2 }{ b } -\log _{ 2 }{ a }  }{ b-a } =2 \\ { (a-b) }^{ 2 }+{ (\log _{ 2 }{ a } -\log _{ 2 }{ b } ) }^{ 2 }=5 \end{cases}\\ \Rightarrow { (a-b) }^{ 2 }+{ (2(a-b)) }^{ 2 }=5\Rightarrow 5{ (a-b) }^{ 2 }=5\Rightarrow \begin{cases} a-b=1 \\ a-b=-1 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \log _{ 2 }{ b } -\log _{ 2 }{ a } =-2 \\ \log _{ 2 }{ b } -\log _{ 2 }{ a } =2 \end{cases}\\\Rightarrow \begin{cases} \log _{ 2 }{ \left( b/a \right)  } =-2 \\ \log _{ 2 }{ \left( b/a \right)  } =2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} b/a=1/4 \\ b/a=4 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} b=a/4 \\ b=4a \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a-b=a-a/4=3a/4=1 \\ a-b=a-4a=-3a=-1 \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} a=4/3 \\ a=1/3 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} b=1/3(不符b>a) \\ b=4/3 \end{cases} \Rightarrow (a,b)=\left( \bbox[red,2pt]{\frac { 1 }{ 3 } ,\frac { 4 }{ 3 }}  \right)$$

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解：

$$z=a+bi\Rightarrow z+5-2\sqrt { 3 } i=\left( a+5 \right) +\left( b-2\sqrt { 3 }  \right) i\\ 令\begin{cases} A=(a,b) \\ B=(a+5,b-2\sqrt { 3 } ) \\ O=(0,0) \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \overline { OA } =\overline { OB }  \\ \angle AOB=120° \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a^{ 2 }+b^{ 2 }=(a+5)^{ 2 }+(b-2\sqrt { 3 } )^{ 2 } \\ \overline { AB } =\sqrt { 3 } \cdot \overline { OB }  \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} a^{ 2 }+b^{ 2 }=(a+5)^{ 2 }+(b-2\sqrt { 3 } )^{ 2 } \\ 5^{ 2 }+(2\sqrt { 3 } )^{ 2 }=3\cdot \left( a^{ 2 }+b^{ 2 } \right)  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} b=\left( 10a+37 \right) /4\sqrt { 3 }  \\ a^{ 2 }+b^{ 2 }=37/3 \end{cases}\\ \Rightarrow a^{ 2 }+\frac { \left( 10a+37 \right) ^{ 2 } }{ 48 } =37/3\Rightarrow 48a^{ 2 }+\left( 10a+37 \right) ^{ 2 }=592\Rightarrow 148a^{ 2 }+740a+777=0\\ \Rightarrow 4a^2+20a+21=0\Rightarrow (2a+7)(2a+3)=0\Rightarrow \begin{cases}a=-\frac { 7 }{ 2 }\\a=-\frac{3}{2}\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}b=\frac{1}{2\sqrt{3}} \\ b=\frac{11}{2\sqrt{3}}\end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases}A=(-\frac{7}{2},\frac{1}{2\sqrt{3}}),B=(\frac{3}{2},-\frac{11\sqrt{3}}{6})\\ A=(-\frac{3}{2},\frac{11}{2\sqrt{3}}),B=(\frac{7}{2},-\frac{\sqrt{3}}{6})(逆時針)\end{cases}\Rightarrow z的實部為a=\bbox[red,2pt]{-\frac{7}{2}}$$

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第貳部分：非選擇題

解：
(1) $$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow {OP}= \left|\overrightarrow{OA}\right|\left|\overrightarrow{OP}\right|\cos{\angle AOP}=\sqrt{1+2+1}\cdot 2\cdot \frac{1}{2}=\bbox[red,2pt]{2}$$
(2) $$假設P=(x,y,z) \Rightarrow \overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OA}=2 \Rightarrow (x,y,z) \cdot (1,\sqrt{2},1) =x+\sqrt{2}y+z=2 \\\Rightarrow E:\bbox[red,2pt]{x+\sqrt{2}y+z=2}$$
(3) $$令\vec{u}=\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB} =(1,\sqrt{2},1)\times (2,0,0)=(0,2,-2\sqrt{2})\\ \Rightarrow 該直線方向向量即為\vec{u}=\bbox[red,2pt]{(0,2,-2\sqrt{2})}$$
(4) $$Q=(x,y,z)\Rightarrow \begin{cases} \overrightarrow{OQ}\cdot \overrightarrow{OA}=2\cdot 2\cdot \cos{60^o}=2 \\ \overrightarrow{OQ}\cdot \overrightarrow{OB}=2\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x+\sqrt{2}y+z=2 \\ 2x=2 \Rightarrow x=1\end{cases}\\ 任找一點符合以上兩式,如(1,0,1)，再由直線向量(0,2,-2\sqrt{2})可得Q=(1,2t,-2\sqrt{2}t+1)\\ \Rightarrow |\overrightarrow{OQ}|=2\Rightarrow \sqrt{1+4t^2+1-4\sqrt{2}t+8t^2}=2 \Rightarrow 12t^2-4\sqrt{2}t-2=0\\ \Rightarrow \begin{cases} t={\sqrt{2}\over 2}\\t={-\sqrt{2}\over 6}\end{cases}\Rightarrow \bbox[red,2pt]{\begin{cases} Q=(1,\sqrt{2},-1)\\Q=(1,-{\sqrt{2}\over 3},{5\over 3})\end{cases}}$$

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解：
(1) $$xf(x)=3x^4-2x^3+x^2+\int_1^x{f(t)\,dt}\Rightarrow 1\cdot f(1)=3-2+1+0 \Rightarrow f(1)=\bbox[red,2pt]{2}$$ (2) $$xf(x)=3x^4-2x^3+x^2+\int_1^x{f(t)\,dt}\Rightarrow f(x)+xf'(x)=12x^3-6x^2+2x+f(x)\\\Rightarrow f'(x)=(12x^3-6x^2+2x)/x =\bbox[red,2pt]{12x^2-6x+2}$$ (3) $$f(x)=\int{f'(x)\,dx}=\int{12x^2-6x+2\,dx}=4x^3-3x^2+2x+C\\ 由f(1)=2\Rightarrow 4-3+2+C=2\Rightarrow C=-1 \Rightarrow f(x)=\bbox[red,2pt]{4x^3-3x^2+2x-1}$$ (4) $$令g(a)=\int_0^a{f(x)\,dx}= \int_0^a{4x^3-3x^2+2x-1\,dx}=\left.\left[x^4-x^3+x^2-x\right]\right|_0^a\\ =a^4-a^3+a^2-a=a^3(a-1)+a(a-1)=(a^3+a)(a-1)\Rightarrow g(1)=0\\ \Rightarrow g'(a)=f(a)=4a^3-3a^2+2a-1=4a\left(a^2-\frac{3}{4}a+\frac{1}{2}\right)-1\\=4a\left[\left(a-\frac{3}{8}\right)^2+\frac{1}{2}-\frac{9}{64}\right]-1 = 4a\left[\left(a-\frac{3}{8}\right)^2+\frac{23}{64}\right]-1\\\Rightarrow g'(1)=4\left(\frac{48}{64}\right)-1>0且g'(a)>0 對a\ge 1\\ 也就是說對a\ge 1，g(a)為嚴格遞增，即 g(m)< g(n), for\; 1\le m< n\\ 因此，由\begin{cases}g(1)=0\\g(a)為連續且嚴格遞增,對a\ge 1\end{cases}\Rightarrow 存在唯一的a> 1，使用g(a)=1，即\int_0^a{fx)\,dx}=1$$
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