106年地方特考(經建行政、交通技術)-統計學概要-詳解

106年特種考試地方政府公務人員考試

等 別：四等考試
類 科 ：經建行政、交通技術
科 目：統計學概要

解：
(一) $$樣本空間S=\{(x,y)\mid 1\le x,y\le 6, x,y\in Z\}$$
(二) $$S_{ X=1 }=\{ (1,2),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2)\} \Rightarrow \#(S_{ X=1 })=10\\ S_{ X=2 }=\{ (2,2)\} \Rightarrow \#(S_{ X=2 })=1\\\Rightarrow \#(S_{ X=0 })=\#(S)-\#(S_{ X=1 })-\#(S_{ X=2 })=36-10-1=25 \\ \Rightarrow \begin{cases} P(X=0)=25/36 \\ P(X=1)=10/36 \\ P(X=2)=1/36 \end{cases} \Rightarrow 動差母函數m_X(t)=E(e^{tX}) =\sum_{X=0}^2{e^{tX}P(X)}\\ = e^0\cdot{25\over 36}+e^t\cdot{10\over 36} + e^{2t}\cdot {1\over 36} = \bbox[red,2pt] {{1\over 36}\left( e^{2t}+10e^t+25 \right)}$$

(三) $$P(X\ge 1)=P(X=1)+P(X=2) ={10\over 36}+{1\over 36}=\bbox[red,2pt]{11\over 36}$$

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解：

(一)

$$假設樣本資料\{x_1,x_2,\dots,x_n\}的個數為n，則\\樣本平均數\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^n{x_i}}{n}\\ 樣本變異數s^2=\frac{\sum_{i=1}^n {(x_i-\bar{x})^2}}{n-1}\Rightarrow 計算公式s^2={\sum_{i=1}^n{x_i^2}-n(\bar{x})^2\over n-1}$$

(二) $$假設母體資料\{x_1,x_2,\dots,x_N\}的個數為N，則\\母體平均數就是母體內所有數值的平均，即\mu=\frac{\sum_{i=1}^N{x_i}}{N}\\ 母體變異數就是母體內所有數值與母體平均數的離差平方再取其平均值，\\即\sigma^2= \frac{\sum_{i=1}^N {(x_i-\mu)^2}}{N}\Rightarrow 計算公式\sigma^2={\sum_{i=1}^N{x_i^2} \over N}-\mu^2$$ (三) 母體平均數未知的情況下，會以樣本的平均數來替代。

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解：

(一) $$積分區域如上圖，因此\int_0^2{\int_0^y{f(x,y)\,dx}dy}=1 \Rightarrow \int_0^2{\int_0^y{{1\over c}\,dx}dy}=1\\ \Rightarrow \int_0^2{{1\over c}ydy}=1 \Rightarrow {2\over c}=1 \Rightarrow \bbox[red,2pt] {c=2}$$

(二) $$f_{X,Y}(x,y)={1\over 2} \Rightarrow \begin{cases} f_X(x)=\int_x^2{f(x,y)\,dy}= \int_x^2{{1\over 2}\,dy} =1-{1\over 2} x\\  f_Y(y)=\int_0^y{f(x,y)\,dx} =\int_0^y{{1\over 2}\,dx} ={1\over 2}y \end{cases} \Rightarrow \bbox[red,2pt]{\begin{cases} f_X(x)=1-{1\over 2} x\\  f_Y(y)={1\over 2}y \end{cases}}$$
(三) $$f_{Y|X}(Y|X)={f_{X,Y}\over f_X}={1/2\over {2-x\over 2}} =\bbox[red,2pt] {{1\over 2-x},0\le   x<2}$$
(四) $$\mu _{ Y|X }=\int _{ x }^{ 2 }{ yf_{ Y|X }\, (y|x)dy } =\int _{ x }^{ 2 }{ y\cdot \frac { 1 }{ 2-x } dy } =\frac { 1 }{ 2-x } \left. \left[ \frac { 1 }{ 2 } { y }^{ 2 } \right]  \right| _{ x }^{ 2 }=\frac { 1 }{ 2-x } \cdot \frac { 4-x^{ 2 } }{ 2 } =\frac { 2+x }{ 2 }\\ \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{\mu _{ Y|X }=\frac { 2+x }{ 2 },0\le x\le 2}\\E\left( Y^{ 2 }|X=x \right) =\int _{ x }^{ 2 }{ y^{ 2 }f_{ Y|X }\, (y|x)dy } =\int _{ x }^{ 2 }{ y^{ 2 }\cdot \frac { 1 }{ 2-x } dy } =\frac { 1 }{ 2-x } \left. \left[ \frac { 1 }{ 3 } { y }^{ 3 } \right]  \right| _{ x }^{ 2 }=\frac { 2^{ 3 }-x^{ 3 } }{ 3(2-x) } \\ =\frac { \left( 2-x \right) \left( 2^{ 2 }+2x+x^{ 2 } \right)  }{ 3(2-x) } =\frac { 1 }{ 3 } \left( 2^{ 2 }+2x+x^{ 2 } \right) \Rightarrow \sigma _{ Y|X }^{ 2 }=E\left( Y^{ 2 }|X=x \right) -\mu _{ Y|X }^{ 2 }\\ =\frac { 1 }{ 3 } \left( 2^{ 2 }+2x+x^{ 2 } \right) -{ \left( \frac { 2+x }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }=\frac { 1 }{ 12 } \left( 4-4x+x^{ 2 } \right) =\frac { 1 }{ 12 } { \left( x-2 \right)  }^{ 2 }\\ \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{\sigma _{ Y|X }^{ 2 }=\frac { 1 }{ 12 } { \left( x-2 \right)  }^{ 2 },0\le x\le 2}$$ (五) $$由(三)可知為\bbox[red,2pt]{均勻分配}，即\bbox[red, 2pt]{Y\mid   X=x   \sim   U(x, 2)}$$

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解：
(一) $$先計算50筆資料的樣本平均數\bar{x}={\sum_{i=1}^{50}{x_i}\over 50}={3037 \over 50} = 60.74\\ 樣本標準差s=\sqrt{\sum_{i=1}^{50}{x_i^2}-50\cdot (\bar{x})^2\over 50-1} =\sqrt{ 189785-50\cdot 60.74^2\over 49}= \sqrt{5317.62\over 49} = 10.42\\ \Rightarrow 四組組界\begin{cases} \bar{x}+s\cdot  z_{0.25}=60.74-10.42\cdot 0.6745=53.71\\\bar{x}=60.74\\\bar{x}+s\cdot  z_{0.75}  = 60.74+10.42\cdot 0.6745=67.77\end{cases}\\ 理論次數每組都是50\div 4=12.5，觀察次數將原資料依組界分組，可得以下表格\\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline 組界&最小至53.71& 53.71至60.74 &60.74至67.77&67.77至最大\\\hline 觀察值o_i &   12  &  11 & 14 &13\\\hline 理論值e_i & 12.5 &12.5  &12.5&12.5\\\hline \end{array}\\ H_0:資料服從常態分配\\ H_1:資料不服務常態分配\\顯著水準\alpha=0.05\\ 卡方檢定值\chi^2=\sum_{i=1}^4{(e_i-o_i)^2\over e_i}= {5\over 12.5}=0.4\\ 查表\chi_{df=1,\alpha=0.05}^2=3.841 \Rightarrow 拒絕區域R=\{\chi^2\mid \chi^2>3.841\}\\ 由於0.4\notin R，因此不能拒絕H_0，即資料為常態分配$$ (二) $$已知資料\bar{x}=60.74,s=10.42, n=50\\ H_0: \mu=60\\H_1:\mu \ne 60\\ 顯著水準\alpha=0.1\\檢定值t={\bar{x}-\mu \over s/\sqrt{n}} ={60.74-60 \over 10.42/\sqrt{50}}=0.502\\ 查表t_{n-1,\alpha/2}=t_{49,0.05}=1.677 \Rightarrow 拒絕區域R=\{t \mid |t|>1.677\}\\ 由於t=0.502\notin R \Rightarrow 不能拒絕H_0，即\mu=60$$

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考選部未公布答案，解題僅供參考