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107年地方特考-統計學概要-詳解
107年特種考試地方政府公務人員考試
等 別:四等考試
類 科:統計
科 目:統計學概要
解:
(一)
母體分配{P(X=0)=4/8=1/2P(X=−1)=2/8=1/4P(X=1)=2/8=1/4
(二)
母體平均數E(X)=∑xp(x)=0⋅1/2+(−1)⋅1/4+1⋅1/4=0E(X2)=∑x2p(x)=02⋅1/2+(−1)2⋅1/4+12⋅1/4=1/2⇒母體變異數Var(X)=E(X2)−(E(X))2=1/2−0=1/2
(三)
由於取後放回,X1與X2無相互影響,兩隨機變數為獨立(四)
X1X2ˉX=(X1+X2)/2P(ˉX)0001/2×1/2=1/40−1−1/21/2×1/4=1/8011/21/2×1/4=1/8−10−1/21/4×1/2=1/8−1−1−11/4×1/4=1/16−1101/4×1/4=1/16101/21/4×1/2=1/81−101/4×1/4=1/161111/4×1/4=1/16⇒ˉX的抽樣分配為ˉXP(ˉX)−11/16−1/21/403/81/21/411/16(五)
\overline{X}的平均數E(\overline{X})=\sum{\overline{X}P(\overline{X})}=(-1)\cdot (1/16)+(-1/2)\cdot (1/4)+0+(1/2)\cdot (1/4) + 1\cdot (1/16)\\=\bbox[red,2pt]{0}\\ E(\overline{X}^2)=\sum{\overline{X}^2P(\overline{X})}=(-1)^2\cdot (1/16)+(-1/2)^2\cdot (1/4)+0+(1/2)^2\cdot (1/4) + 1^2\cdot (1/16)\\= \bbox[red,2pt]{1/4}\\ \overline{X}的變異數Var(\overline{X})=E(\overline{X}^2)-{E(\overline{X})}^2 = 1/4-0=\bbox[red,2pt]{1/4}(六)
\overline{X_4}的標準差=\sqrt{Var(\overline{X_4})} =\sqrt{Var((X_1+X_2+X_3+X_4)/4)} = \sqrt{Var(X)/4}=\sqrt{1/2\over 4}=\bbox[red,2pt]{ {\sqrt{2}\over 4}}
解:
(一)
4位同學期中考平均成績\bar{x}=(40+60+80+60)\div 4=240/4=60\\
4位同學期末考平均成績\bar{y}=(60+50+50+80)\div 4=240/4=60\\
由於兩次考試都符合常態分配,所以我們以樣本的平均數來推估,即\\
100位同學期中考平均成績估計為\bar{x}=60,期末考平均成績估計為\bar{y}=60
(二)
4位同學期中考變異數s_{x}={(40-60)^2+(60-60)^2+(80-60^2+(60-60^2)\over 4-1}=800/3\\
4位同學期末考變異數s_{y}={(60-60)^2+(50-60)^2+(50-60)^2+(80-60)^2)\over 4-1}=600/3=200\\
由於兩次考試都符合常態分配,所以我們以樣本的變異數來推估,即\\
100位同學期中考變異數估計為s_{x}=800/3,期末考變異數估計為s_{y}=200(三)
\begin{array}{cc|ccc}
X& Y &XY &X^2 &Y^2\\\hline
40 & 60 &2400 & 1600 & 3600\\
60 & 50 & 3000 & 3600 & 2500\\
80 & 50 & 4000 & 6400 & 2500\\
60 & 80 & 4800 & 3600 & 6400\\\hline
240&240&14200&15200 &15000\\
\sum{X}&\sum{Y}&\sum{XY}& \sum{X^2} &\sum{Y^2}
\end{array}\\
相關係數\gamma={\sum{XY}-\sum{X}\sum{Y}/n \over \sqrt{\sum{X^2}-(\sum{X})^2/n}\sqrt{\sum{Y^2}-(\sum{Y})^2/n}}={14200-240\cdot 240/4 \over \sqrt{15200-240^2/4}\sqrt{15000-240^2/4}}\\ ={-200 \over 20\sqrt{2}\times 10\sqrt{6}}=-{1\over \sqrt{12}}=\bbox[red, 2pt]{-0.289}(四)
假設100位同學期中考成績平均為\mu_x,期末考成績平均為\mu_y;則\\ H_0:\mu_x=\mu_y\\H_1: \mu_x\ne\mu_y(五)
令Z_i=X_i-Y_i,i=1-4,則檢定統計量t={\bar{Z}-0\over s_Z/\sqrt{n}} \sim t_{df=3}(六)
\bar{z}=\bar{X}-\bar{Y}=60-60=0, s_Z^2= {\sum{(z_i-\bar{z})^2 } \over n-1}= {1800\over 3}=600 \Rightarrow s_Z=\sqrt{600}\\ \Rightarrow t={\bar{Z}-0\over s_Z/\sqrt{n}}={0\over \sqrt{600}/\sqrt{4}}=0
解:
(一)
不可以,因此變異數並不服從F分配
(二)
判定係數\gamma^2=(-{1\over \sqrt{12}})^2=\bbox[red,2pt]{1/12}\\ \hat{\beta}=\gamma\times {\sqrt{ s_Y^2\over s_X^2}}=-{1\over \sqrt{12}}\times \sqrt{600\over 800}=-{1\over \sqrt{16}}=\bbox[red,2pt]{-{1\over 4}}\\\bar{\alpha}=\bar{Y}-\hat{\beta}\bar{X}=60-({-1\over 4})\times 60=\bbox[red,2pt]{75}
解:
(一)
\sum_{i=1}^n{\left({X_i-\mu\over \sigma}\right)^2}={ 1\over \sigma^2}\sum_{i=1}^n{\left({X_i-\mu}\right)^2}\sim \bbox[red,2pt]{\chi_n^2}\\ \sum_{i=1}^n{\left({X_i-\bar{X}\over \sigma}\right)^2}={ 1\over \sigma^2}\sum_{i=1}^n{\left({X_i-\bar{X}}\right)^2}\sim \bbox[red,2pt]{\chi_{n-1}^2}(二)
P(|\overline{X}-\mu|\le e)=0.95 \Rightarrow P\left({|\overline{X}-\mu| \over \sigma/\sqrt{n}} \le {e \over \sigma/\sqrt{n}}\right)=0.95 \Rightarrow P\left(|z| \le {e \over \sigma/\sqrt{n}}\right)=0.95\\ \Rightarrow {e \over \sigma/\sqrt{n}}=z_{0.5/2}=1.96 \Rightarrow e={ \sigma\over \sqrt{n}}\times 1.96= { 6.76\over \sqrt{100}}\times 1.96 =0.676\times 1.96=\bbox[red,2pt]{1.32496}
考選部未公布答案,解題僅供參考
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