107年地方特考-統計學概要-詳解

107年特種考試地方政府公務人員考試

等 別：四等考試
類 科：統計
科 目：統計學概要

解：
(一)$$母體分配\begin{cases}P(X=0)=4/8=1/2\\ P(X=-1)=2/8=1/4\\ P(X=1)=2/8=1/4\end{cases}$$
(二)$$母體平均數E(X)=\sum{xp(x)}=0\cdot 1/2+(-1)\cdot 1/4+1\cdot 1/4=0\\
E(X^2)=\sum{x^2p(x)} =0^2\cdot 1/2+(-1)^2\cdot 1/4+1^2\cdot 1/4=1/2\\ \Rightarrow 母體變異數Var(X) =E(X^2)-(E(X))^2=1/2-0=1/2$$

(三)$$由於取後放回，X_1與X_2無相互影響，兩隨機變數為獨立$$(四)$$\begin{array}{|R|R|c|c|}\hline
X_1& X_2 &\bar{X}=(X_1+X_2)/2 & P(\bar{X})\\\hline
0 & 0 & 0& 1/2\times 1/2=1/4 \\\hline
0 & -1& -1/2& 1/2\times 1/4=1/8\\\hline
0 & 1 & 1/2& 1/2\times 1/4=1/8\\\hline
-1 & 0& -1/2& 1/4\times 1/2=1/8\\\hline
-1 & -1& -1& 1/4\times 1/4=1/16\\\hline
-1 & 1& 0& 1/4\times 1/4=1/16\\\hline
1 & 0& 1/2& 1/4\times 1/2=1/8\\\hline
1 & -1& 0& 1/4\times 1/4=1/16\\\hline
1 & 1& 1& 1/4\times 1/4=1/16\\\hline
\end{array}\\ \Rightarrow \bar{X}的抽樣分配為\begin{array}{|c|c|}\hline
\bar{X} & P(\bar{X})\\\hline
-1 &1/16\\\hline
-1/2 &1/4\\\hline
0 & 3/8\\\hline
1/2 &1/4\\\hline
1 &1/16\\\hline
\end{array}$$(五)$$\overline{X}的平均數E(\overline{X})=\sum{\overline{X}P(\overline{X})}=(-1)\cdot (1/16)+(-1/2)\cdot (1/4)+0+(1/2)\cdot (1/4) + 1\cdot (1/16)\\=\bbox[red,2pt]{0}\\ E(\overline{X}^2)=\sum{\overline{X}^2P(\overline{X})}=(-1)^2\cdot (1/16)+(-1/2)^2\cdot (1/4)+0+(1/2)^2\cdot (1/4) + 1^2\cdot (1/16)\\= \bbox[red,2pt]{1/4}\\ \overline{X}的變異數Var(\overline{X})=E(\overline{X}^2)-{E(\overline{X})}^2 = 1/4-0=\bbox[red,2pt]{1/4}$$(六)$$\overline{X_4}的標準差=\sqrt{Var(\overline{X_4})} =\sqrt{Var((X_1+X_2+X_3+X_4)/4)} = \sqrt{Var(X)/4}=\sqrt{1/2\over 4}=\bbox[red,2pt]{ {\sqrt{2}\over 4}}$$

---

解：

(一)$$4位同學期中考平均成績\bar{x}=(40+60+80+60)\div 4=240/4=60\\
4位同學期末考平均成績\bar{y}=(60+50+50+80)\div 4=240/4=60\\
由於兩次考試都符合常態分配，所以我們以樣本的平均數來推估，即\\
100位同學期中考平均成績估計為\bar{x}=60，期末考平均成績估計為\bar{y}=60$$

(二)$$4位同學期中考變異數s_{x}={(40-60)^2+(60-60)^2+(80-60^2+(60-60^2)\over 4-1}=800/3\\
4位同學期末考變異數s_{y}={(60-60)^2+(50-60)^2+(50-60)^2+(80-60)^2)\over 4-1}=600/3=200\\
由於兩次考試都符合常態分配，所以我們以樣本的變異數來推估，即\\
100位同學期中考變異數估計為s_{x}=800/3，期末考變異數估計為s_{y}=200$$(三) $$\begin{array}{cc|ccc}
 X& Y &XY &X^2 &Y^2\\\hline
40 & 60 &2400 & 1600 & 3600\\
60 & 50 & 3000 & 3600 & 2500\\
80 & 50 & 4000 & 6400 & 2500\\
60 & 80 & 4800 & 3600 & 6400\\\hline
240&240&14200&15200 &15000\\
\sum{X}&\sum{Y}&\sum{XY}& \sum{X^2} &\sum{Y^2}
\end{array}\\
相關係數\gamma={\sum{XY}-\sum{X}\sum{Y}/n \over \sqrt{\sum{X^2}-(\sum{X})^2/n}\sqrt{\sum{Y^2}-(\sum{Y})^2/n}}={14200-240\cdot 240/4 \over \sqrt{15200-240^2/4}\sqrt{15000-240^2/4}}\\ ={-200 \over 20\sqrt{2}\times 10\sqrt{6}}=-{1\over \sqrt{12}}=\bbox[red, 2pt]{-0.289}$$(四)$$假設100位同學期中考成績平均為\mu_x，期末考成績平均為\mu_y；則\\ H_0:\mu_x=\mu_y\\H_1: \mu_x\ne\mu_y$$(五)$$令Z_i=X_i-Y_i,i=1-4，則檢定統計量t={\bar{Z}-0\over s_Z/\sqrt{n}} \sim t_{df=3}$$(六)$$\bar{z}=\bar{X}-\bar{Y}=60-60=0, s_Z^2= {\sum{(z_i-\bar{z})^2  }  \over n-1}= {1800\over 3}=600 \Rightarrow s_Z=\sqrt{600}\\ \Rightarrow t={\bar{Z}-0\over s_Z/\sqrt{n}}={0\over  \sqrt{600}/\sqrt{4}}=0$$

---

解：

(一)$$不可以，因此變異數並不服從F分配$$

(二)$$判定係數\gamma^2=(-{1\over \sqrt{12}})^2=\bbox[red,2pt]{1/12}\\ \hat{\beta}=\gamma\times {\sqrt{ s_Y^2\over s_X^2}}=-{1\over \sqrt{12}}\times \sqrt{600\over 800}=-{1\over \sqrt{16}}=\bbox[red,2pt]{-{1\over 4}}\\\bar{\alpha}=\bar{Y}-\hat{\beta}\bar{X}=60-({-1\over 4})\times 60=\bbox[red,2pt]{75}$$

---

解：
(一)$$\sum_{i=1}^n{\left({X_i-\mu\over \sigma}\right)^2}={ 1\over \sigma^2}\sum_{i=1}^n{\left({X_i-\mu}\right)^2}\sim \bbox[red,2pt]{\chi_n^2}\\ \sum_{i=1}^n{\left({X_i-\bar{X}\over \sigma}\right)^2}={ 1\over \sigma^2}\sum_{i=1}^n{\left({X_i-\bar{X}}\right)^2}\sim \bbox[red,2pt]{\chi_{n-1}^2}$$(二)$$P(|\overline{X}-\mu|\le e)=0.95 \Rightarrow P\left({|\overline{X}-\mu| \over \sigma/\sqrt{n}} \le {e \over \sigma/\sqrt{n}}\right)=0.95 \Rightarrow P\left(|z| \le {e \over \sigma/\sqrt{n}}\right)=0.95\\ \Rightarrow {e \over \sigma/\sqrt{n}}=z_{0.5/2}=1.96 \Rightarrow e={ \sigma\over \sqrt{n}}\times 1.96= { 6.76\over \sqrt{100}}\times 1.96 =0.676\times 1.96=\bbox[red,2pt]{1.32496}$$

---

考選部未公布答案，解題僅供參考