106年專技高考_電機工程技師-工程數學詳解

106年專門職業及技術人員高等考試

等        別：高等考試
類        科：電機工程技師
科        目：工程數學

解：

$$A=\left[\begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array} \right] \xrightarrow{-r_1+r_2,\;-2r_3+r_4} \left[\begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -3 & 0 & 0 & -2 & 1\end{array} \right]\\ \xrightarrow{ r_2/3,\;-r_4/3} \left[\begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & -1/3 & 1/3 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2/3 & -1/3\end{array} \right] \\ \xrightarrow{ r_2+r_1,\;-2r_4+r_3} \left[\begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 & 2/3 & 1/3 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & -1/3 & 1/3 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1/3 & 2/3\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2/3 & -1/3\end{array} \right]\\ \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{A^{-1}= \left[\begin{array}{rrrr}  2/3 & 1/3 & 0 & 0\\  -1/3 & 1/3 & 0 & 0\\  0 & 0 & -1/3 & 2/3\\  0 & 0 & 2/3 & -1/3\end{array} \right]}$$

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解： $$A=\begin{bmatrix} 2 & 1\\ 1 &2 \\ 1& 1\\ 0 & 1\end{bmatrix} \Rightarrow A^T= \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 &0 \\ 1& 2 & 1 &1\end{bmatrix} \Rightarrow \begin{cases} A^TA= \begin{bmatrix} 6 & 5\\ 5 & 7\end{bmatrix} \\ A^Tb= \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 &0 \\ 1& 2 & 1 &1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \\ -1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 4  \\ 2\end{bmatrix} \end{cases}\\ Ax=b \Rightarrow A^TAx=A^Tb \Rightarrow \begin{bmatrix} 6 & 5\\ 5 & 7\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1  \\ x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4  \\ 2\end{bmatrix} \Rightarrow \begin{cases} 6x_1+5x_2=4 \\ 5x_1+7x_2 =2 \end{cases} \\ \Rightarrow \begin{bmatrix} x_1  \\ x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 18/17  \\ -8/17\end{bmatrix} \Rightarrow \bbox[red, 2pt] {x= \begin{bmatrix} 18/17  \\ -8/17\end{bmatrix}}$$

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解： $$先求齊次解y_h,即y''+4y'+4y=0 \Rightarrow \lambda^2 +4\lambda +4=0 \Rightarrow (\lambda+2)^2=0\\ \Rightarrow \lambda=-2(二重根)\Rightarrow y_h=C_1e^{-2x}+C_2xe^{-2x}\\ \text{利用參數變換法(Variation of Parameters)求}y_p:\\ y''+4y'+4y={2e^{-2x} \over x^2} \equiv y''+p(x)y'+q(x)y=r(x)\\ 令\begin{cases} y_1=e^{-2x} \\ y_2=xe^{-2x}\end{cases}\Rightarrow W=\begin{vmatrix} y_1& y_1'\\y_2 & y_2'  \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} e^{-2x}& -2e^{-2x}\\xe^{-2x} & e^{-2x}-2xe^{-2x}  \end{vmatrix} \\= e^{-4x}-2xe^{-4x}+2xe^{-4x}=e^{-4x} \\\Rightarrow y_p=-y_1\int{y_2r(x) \over W}dx+y_2\int{y_1r(x)\over W}dx\\ =-e^{-2x}\int{xe^{-2x}\cdot {2e^{-2x} \over x^2} \over e^{-4x}}\;dx +xe^{-2x}\int{e^{-2x}\cdot {2e^{-2x} \over x^2}\over e^{-4x}}\;dx\\ =-e^{-2x}\int{2\over x}\;dx+xe^{-2x}\int{2\over x^2}\;dx = -2e^{-2x}\ln{x} - 2e^{-2x}\\ y=y_h+y_p=C_1e^{-2x}+C_2xe^{-2x}-2e^{-2x}\ln{x} - 2e^{-2x}\\ \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{y=\left(C_3+C_2x-2\ln{x} \right)e^{-2x}},\text{其中 }C_2與C_3為常數$$

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解： $$y\left( t \right) =1-\sinh { t } +\int _{ 0 }^{ t }{ \left( 1+\tau  \right) y\left( t-\tau  \right) d\tau  } \Rightarrow L\left\{ y\left( t \right)  \right\}\\ =L\left\{ 1 \right\} -L\left\{ \sinh { t }  \right\} +L\left\{ \int _{ 0 }^{ t }{ \left( 1+\tau  \right) y\left( t-\tau  \right) d\tau  }  \right\} \\ =\frac { 1 }{ s } -\frac { 1 }{ s^{ 2 }-1 } +L\left\{ 1+t \right\} L\left\{ y\left( t \right)  \right\} =\frac { 1 }{ s } -\frac { 1 }{ s^{ 2 }-1 } +L\left\{ y\left( t \right)  \right\} \left( \frac { 1 }{ s } +\frac { 1 }{ s^{ 2 } }  \right) \\ \Rightarrow L\left\{ y\left( t \right)  \right\} \left( 1-\frac { 1 }{ s } -\frac { 1 }{ s^{ 2 } }  \right) =\frac { 1 }{ s } -\frac { 1 }{ s^{ 2 }-1 } \Rightarrow L\left\{ y\left( t \right)  \right\} \left( \frac { s^{ 2 }-s-1 }{ s^{ 2 } }  \right) =\frac { s^{ 2 }-s-1 }{ s\left( s^{ 2 }-1 \right)  } \\ \Rightarrow L\left\{ y\left( t \right)  \right\} =\frac { s }{ s^{ 2 }-1 } =\frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { 1 }{ s-1 } +\frac { 1 }{ s+1 }  \right) \Rightarrow y\left( t \right) =\frac { 1 }{ 2 } \left( L^{ -1 }\left\{ \frac { 1 }{ s-1 }  \right\} +L^{ -1 }\left\{ \frac { 1 }{ s+1 }  \right\}  \right) \\ =\frac { 1 }{ 2 } \left( { e }^{ t }+{ e }^{ -t } \right) =\cosh { t } \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{y\left( t \right) =\cosh { t }}$$

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解： $$z=1-\sqrt{3}i=2\left({1\over 2}-{\sqrt{3}\over 2}i \right) =2\left(\cos{(5\pi/3)}+i\sin{(5\pi/3)} \right) \\ \Rightarrow z^{12}=2^{12}\left(\cos{(60\pi/3)}+i\sin{(60\pi/3)} \right) =2^{12}\left(\cos{(20\pi)}+i\sin{(20\pi)} \right)\\ =2^{12}(1+0i)=\bbox[red, 2pt]{4096}$$

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解：
(一) $$\int{f(x)dx}=1\Rightarrow \int_0^\infty{kxe^{-x}\;dx}\Rightarrow  k\left. \left[ -xe^{-x}-e^{-x}\right] \right|_0^\infty  =1 \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{k=1}$$ (二) $$X\text{機率分布函數}F(x)=P(X\le x)= \int_0^x{f(t)dt}= \int_0^x{te^{-t}\;dt}=  \left. \left[ -te^{-t}-e^{-t}\right] \right|_0^x  \\ (-xe^{-x}-e^{-x})-(-1)=1-e^{-x}-xe^{-x} \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{F(x)=1-e^{-x}-xe^{-x}}$$

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解： $$\begin{array}{cc} x & p(x) \\\hline 1 & 1/6  \\ 2 & 1/6  \\ 3 & 1/6  \\ 4 & 1/6  \\ 5 & 1/6  \\ 6 & 1/6  \\\hline \end{array} \\ \Rightarrow E(X)=\sum{xp(x)}=(1+2+\cdots+6)\div 6=7/2\\ \Rightarrow E(X^2)=\sum{x^2p(x)}=(1^2+2^2+\cdots+6^2)\div 6=91/6\\ \Rightarrow Var(X)=E(X^2)-(E(X))^2=91/6-(7/2)^2= \bbox[red, 2pt]{{35\over 12}}$$

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解： $$\begin{array}{cc} r &x=r^2\pi& p(x) \\\hline 1 & \pi&1/10  \\ 2 & 4\pi& 1/10  \\ 3 & 9\pi& 1/10  \\ 4 & 16\pi &1/10  \\ 5 & 25\pi&1/10  \\ 6 & 36\pi &1/10  \\ 7 & 49\pi& 1/10  \\ 8 & 64\pi&1/10  \\ 9 & 81\pi&1/10  \\ 10 & 100\pi& 1/10  \\ \hline \end{array} \\ \Rightarrow E(X)=\sum{xp(x)}=(1^2+2^2+\cdots+10^2)\pi\div 10=\bbox[red, 2pt]{38.5\pi}$$

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考選部未公布申論題答案，解題僅供參考