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2019年8月20日 星期二

107年高考三級-工程數學詳解


107年公務人員高等考試三級考試試題

類 科 :電力工程、電子工程、電信工程
科 目:工程數學
last modified: 8/21/2019

ABA=P1BP(一)P1(λI+B)P=P1λIP+P1BP=λP1IP+A=λI+AλI+AλI+B(二)A=P1BPtr(A)=tr(P1BP)=tr((P1B)(P))=tr((P)(P1B))=tr(B)(三)A=P1BPdet(A)=det(P1BP)=det(P1)det(B)det(P)=det(P1)det(P)det(B)=det(B)A,Bdet(A)=det(B)():λI+AλI+Bdet(λI+A)=det(λI+B)


y=m=0amxm=a0+a1x+a2x2+a3x3++anxn+y=a1+2a2x+3a3x2++nanxn1+xy=a1x+2a2x2+3a3x3++nanxn+(x+1)y=a1+(a1+2a2)x+(2a2+3a3)x2++(nan+(n+1)an+1)xn+(x+1)y=y{a0=a1a1=a1+2a2a2=2a2+3a3an=nan+(n+1)an+1{a0=a1an=0,n2y=a0+a0x,a0


f(x)πxπf(x)=a0+n=1ancosnx+n=1bnsinnx{a0=12πππf(x)dx=12πππx22dx=14π[13x3]|ππ=16π2an=1πππf(x)cosnxdx=1πππx22cosnxdx=12π[x2nsinnx+2xn2cosnx2n3sinnx]|ππ=2n2(1)nbn=1πππf(x)sinnxdx=1πππx22sinnxdx=0()f(x)=π26+n=12n2(1)ncosnxf(π)=π26+n=12n2(1)ncosnπ=π26+n=12n2=π26+2(112+122+132+)f(π)=π22=π26+2(112+122+132+)112+122+132+=(π22π26)÷2=π261+14+19+116+=π26

解:Cf(z)dz=C3z3+2(z1)(z2+9)dz{Res(f,z=1)=3z3+2z2+9|z=1=510=12Res(f,z=3i)=3z3+2(z1)(z+3i)|z=3i=281i186iRes(f,z=3i)=3z3+2(z1)(z3i)|z=3i=2+81i18+6iCf(z)dz=2πi×(Res(f,z=1)+Res(f,z=3i)+Res(f,z=3i))=2πi×(12+218i186i+2+18i18+6i)=2πi×(12+900360)=2πi×3=6πi



乙、測驗題部分:(50分)

{A=[1234]B=[1234]{|A+B|=|0000|=0|A|+|B|=|1234|+|1234|=22=4|A+B||A|+|B|(B)


{a=(1,1)0b=(2,2)0a×b=0(D)




[1a1011202][uvw]u=mv+nw,m,n{2n=1m=am+2n=1{n=1/2m=2a=m=2(A)


rank(A)=nnullity(A)=nn=0(D)


L(x,y,z)=(x2y,2x+y)[120210][xyz](D)


[120453372014252461492447]3r1+r2,2r1+r3,4r1+r4[120453012121650121216501212165]r2+r3,r2+r4[12045301212165000000000000]Rank=2(B)


e5+2i=e5e2i=e5(cos2+isin2)(C)


f(z)=sinhzz2Res(f,z=0)=ddzsinhz|z=0=ddzezez2|z=0=ez+ez2|z=0=1+12=1Csinhzz2dz=2πi×Res(f,z=0)=2πi×1=2πi(A)


:L1{F(s)}=f(t)L1{easF(s)}=u(ta)f(ta)L1{e2ss23s+2}=L1{e2s(1s21s1)}=u(t2)(e2(t2)e1(t2))=(et2+e2t4)u(t2)(B)


y(t)t0y(τ)(tτ)dτ=212t2y(0)00y(τ)(tτ)dτ=21202y(0)=2y(t)=a+bet+cety(0)=a+b+c=2(C)


2+(6xe2y)dydx=02dx+(6xe2y)dy=0Mdx+Ndy=0{M=2N=6xe2yf(y)=MyNxM=062=3I=ef(y)dy=e3dy=e3y(C)


{x(t)=2y(t)y(t)=12x(t){x(t)=2y(t)=2(12x(t))y(t)=12x(t)=12(2y(t)){x(t)+x(t)=0y(t)+y(t)=0{x(t)=Acost+Bsinty(t)=Ccost+Dsint{x(t)=2y(t)y(t)=12x(t){B+2C=0A2D=0{x(0)=2y(0)=0{A=2C=0{D=1B=0{x(t)=2costy(t)=sint(A)


(x1)2y4xy+4y+4y=0(x1)2y4(x1)y+4y=0u=x1,u2y4uy+4y=0y=umy=mum1y=m(m1)um2m(m1)um4mum+4um=0m(m1)4m+4=0m25m+4=0(m4)(m1)=0m=4,1y=c1u4+c2u1=c1(x1)4+c2(x1)(B)



(B)


ux=P,uxy=4uxdPdy=4PdpP=4dylnP=4y+A(x)P=B(x)e4yu=Pdx=B(x)e4ydx=e4yB(x)dx=e4yC(x)+D(y)(C)


{L{sinhat}=as2a2L{coshat}=ss2a2L1{F(s)}=L1{5s+1s225}=L1{5ss252+1s252}=5L1{ss252}+15L1{5s252}=5cosh5t+15sinh5t(B)


(A)(B)(B)


A={(x,y)xyx×y}={(1,3),(1,5),(3,1),(3,5),(5,1),(5,3)}#(A)=61P(A)=16/36=30/36=5/6(C)


E[Z]=zp(z)=xyf(x,y)=21f(2,1)+23f(2,3)+25f(2,5)+41f(4,1)+43f(4,3)+45f(4,5)=0.2+1.2+1+0.6+3.6+3=9.6(C)


E[X]=xp(x)=0×(1/3)+1×(2/3)=2/3(C)


考選部未公布申論題答案,解題僅供參考

4 則留言:

  1. 請問 申論題的第三題 bn=0 不是偶函數嗎?

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    1. 原意是:(x^2/2)sin(nx)是奇函數,所以積分為0;

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  2. 第9題 最後答案是-e^t-2 打錯了喔!

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