107年公務人員高等考試三級考試試題
類 科 :電力工程、電子工程、電信工程
科 目:工程數學
類 科 :電力工程、電子工程、電信工程
科 目:工程數學
last modified: 8/21/2019
解:y=∞∑m=0amxm=a0+a1x+a2x2+a3x3+⋯+anxn+⋯⇒y′=a1+2a2x+3a3x2+⋯+nanxn−1+⋯⇒xy′=a1x+2a2x2+3a3x3+⋯+nanxn+⋯⇒(x+1)y′=a1+(a1+2a2)x+(2a2+3a3)x2+⋯+(nan+(n+1)an+1)xn+⋯(x+1)y′=y⇒{a0=a1a1=a1+2a2a2=2a2+3a3⋯an=nan+(n+1)an+1⇒{a0=a1an=0,n≥2⇒y=a0+a0x,a0為常數
解:f(x)在區間−π≤x≤π的傅立葉級數為f(x)=a0+∞∑n=1ancosnx+∞∑n=1bnsinnx其中{a0=12π∫π−πf(x)dx=12π∫π−πx22dx=14π[13x3]|π−π=16π2an=1π∫π−πf(x)cosnxdx=1π∫π−πx22cosnxdx=12π[x2nsinnx+2xn2cosnx−2n3sinnx]|π−π=2n2(−1)nbn=1π∫π−πf(x)sinnxdx=1π∫π−πx22sinnxdx=0(奇函數)⇒f(x)=π26+∞∑n=12n2(−1)ncosnx⇒f(π)=π26+∞∑n=12n2(−1)ncosnπ=π26+∞∑n=12n2=π26+2(112+122+132+⋯)⇒f(π)=π22=π26+2(112+122+132+⋯)⇒112+122+132+⋯=(π22−π26)÷2=π26⇒1+14+19+116+⋯=π26
解:{A=[1234]B=[−1−2−3−4]⇒{|A+B|=|0000|=0|A|+|B|=|1234|+|−1−2−3−4|=−2−2=−4⇒|A+B|≠|A|+|B|,故選(B)
解:{a=(1,1)≠0b=(2,2)≠0⇒a×b=0,故選(D)
解:[1a−1011202]≡[→u→v→w]⇒→u=m→v+n→w,m,n為常數⇒{2n=1m=am+2n=−1⇒{n=1/2m=−2⇒a=m=−2,故選(A)
解:rank(A)=n⇒nullity(A)=n−n=0,故選(D)
解:L(x,y,z)=(x−2y,2x+y)≡[1−20210][xyz],故選(D)
解:[−12045−33−720142−524614−92−4−47]3r1+r2,2r1+r3,4r1+r4→[−12045−30−121216−50−121216−50−121216−5]−r2+r3,−r2+r4→[−12045−30−121216−5000000000000]⇒Rank=2,故選(B)
解:e5+2i=e5⋅e2i=e5⋅(cos2+isin2),故選(C)
解:f(z)=sinhzz2⇒Res(f,z=0)=ddzsinhz|z=0=ddzez−e−z2|z=0=ez+e−z2|z=0=1+12=1⇒∫Csinhzz2dz=2πi×Res(f,z=0)=2πi×1=2πi,故選(A)
解:由公式:L−1{F(s)}=f(t)⇒L−1{e−asF(s)}=u(t−a)f(t−a)因此L−1{e−2ss2−3s+2}=L−1{e−2s(1s−2−1s−1)}=u(t−2)(e2(t−2)−e1(t−2))=(−et−2+e2t−4)u(t−2),故選(B)
解:y(t)−∫t0y(τ)(t−τ)dτ=2−12t2⇒y(0)−∫00y(τ)(t−τ)dτ=2−1202⇒y(0)=2又y(t)=a+bet+ce−t⇒y(0)=a+b+c=2,故選(C)
解:2+(6x−e−2y)dydx=0⇒2dx+(6x−e−2y)dy=0≡Mdx+Ndy=0⇒{M=2N=6x−e−2y⇒f(y)=∂M∂y−∂N∂xM=0−62=−3⇒積分因子I=e−∫f(y)dy=e∫3dy=e3y,故選(C)
解:{x′(t)=−2y(t)y′(t)=12x(t)⇒{x″(t)=−2y′(t)=−2(12x(t))y″(t)=12x′(t)=12(−2y(t))⇒{x″(t)+x(t)=0y″(t)+y(t)=0⇒{x(t)=Acost+Bsinty(t)=Ccost+Dsint代回{x′(t)=−2y(t)y′(t)=12x(t)可得{B+2C=0A−2D=0由{x(0)=2y(0)=0⇒{A=2C=0⇒{D=1B=0⇒{x(t)=2costy(t)=sint,故選(A)
解:(x−1)2y″−4xy′+4y′+4y=0⇒(x−1)2y″−4(x−1)y′+4y=0令u=x−1,則上式為u2y″−4uy′+4y=0令y=um⇒y′=mum−1⇒y″=m(m−1)um−2⇒m(m−1)um−4mum+4um=0⇒m(m−1)−4m+4=0⇒m2−5m+4=0⇒(m−4)(m−1)=0⇒m=4,1⇒y=c1u4+c2u1=c1(x−1)4+c2(x−1),故選(B)
解:依定義,故選(B)
解:令ux=P,則uxy=4ux⇒dPdy=4P⇒dpP=4dy⇒lnP=4y+A(x)⇒P=B(x)e4y⇒u=∫Pdx=∫B(x)e4ydx=e4y∫B(x)dx=e4yC(x)+D(y),故選(C)
解:{L{sinhat}=as2−a2L{coshat}=ss2−a2⇒L−1{F(s)}=L−1{5s+1s2−25}=L−1{5ss2−52+1s2−52}=5L−1{ss2−52}+15L−1{5s2−52}=5cosh5t+15sinh5t,故選(B)
解:選項(A)正確⇒選項(B)錯誤,故選(B)
解:不合乎條件的事件A={(x,y)∣x≠y且x×y是奇數}={(1,3),(1,5),(3,1),(3,5),(5,1),(5,3)}⇒#(A)=6⇒1−P(A)=1−6/36=30/36=5/6,故選(C)
解:E[Z]=∑zp(z)=∑xyf(x,y)=2⋅1⋅f(2,1)+2⋅3⋅f(2,3)+2⋅5⋅f(2,5)+4⋅1⋅f(4,1)+4⋅3⋅f(4,3)+4⋅5⋅f(4,5)=0.2+1.2+1+0.6+3.6+3=9.6,故選(C)
解:E[X]=∑xp(x)=0×(1/3)+1×(2/3)=2/3,故選(C)
考選部未公布申論題答案,解題僅供參考
請問 申論題的第三題 bn=0 不是偶函數嗎?
回覆刪除原意是:(x^2/2)sin(nx)是奇函數,所以積分為0;
刪除第9題 最後答案是-e^t-2 打錯了喔!
回覆刪除謝謝提醒,已修訂
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