107年普考-統計學概要-詳解

107年公務人員普通考試

類 科 ：統計
科 目：統計學概要

解：
(一) $$\begin{cases} H_0:\mu=250 \\ H_1:\mu\ne 0 \end{cases}\\ 母體為常態分配且標準差\sigma=60為已知\\ \Rightarrow 檢定統計量z={\bar{x}-\mu \over \sigma/\sqrt{n} }= { 288-250\over 60/\sqrt{36}}={ 38\over 10}=3.8 \\ 查表P(Z>3.8)< P(Z>3.09)=0.001 (試題所附之Z表其Z值最大為3.09) \\\Rightarrow P-值=2P(Z>3.8)<0.002<0.05\Rightarrow 有顯著差異\\ 且拒絕區域R=\{z\mid |z|>z_\alpha/2= z_{0.025}=1.96\}\\ 3.8>1.96 \Rightarrow 3.8 \in R \Rightarrow 拒絕H_0，即廣告不真實$$
(二) $$95\%的信賴區間為\left( \bar{x}-z_{\alpha/2} \cdot {\sigma\over \sqrt{n}}, \bar{x}+z_{\alpha/2} \cdot {\sigma\over \sqrt{n}}\right)= \left( 288-z_{0.025} \cdot {60\over \sqrt{36}}, 288+z_{0.025} \cdot {60\over \sqrt{36}}\right)\\ = \left( 268.4, 307.6\right) \Rightarrow 平均售價並非250萬元，在95\%信賴水準落在區間\left( 268.4, 307.6\right)內$$

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解：

$$平均數\bar{x}=(17+15+23+7+9+13)\div 6= 84\div 6=14\\ 變異係數CV={標準差\over 平均數} = {\sqrt{33.2}\over 14}=0.412 = 41.2\%\\ 全距=最大-最小=23-7=16\\  \begin{cases} L_{25}=6\times{25\over 100}=1.5 \Rightarrow Q_1=x_2=9 \\ L_{75}=6\times{75\over 100}=4.5 \Rightarrow Q_3=x_5=17\end{cases}\Rightarrow  四分位距IQR=Q_3-Q_1=17-9=8\\ \Rightarrow \bbox[red,2pt]{\begin{cases}平均數=14\\變異係數=41.2\%\\全距=16\\四分位距=8\end{cases}}$$

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解：
(一) $${英文不及格且數學不及格\over 英文不及格}={10\over 25} ={2\over 5}=0.4$$ (二) $${英文不及格且數學不及格\over 數學不及格} ={10\over 40}={1\over 4}=0.25$$

(三) $$全部-兩科都不及格=1-0.1=0.9$$

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解：
$$P(X>58)=P\left( \frac { X-\mu  }{ \sigma  } >\frac { 58-\mu  }{ \sigma  }  \right) =P\left( Z>\frac { 58-60 }{ 5 }  \right) =P\left( Z>-0.4 \right) \\ =1-P\left( Z>0.4 \right) =1-0.3446(查表z_{ 0.4 }=0.3446)=0.6554\\ \Rightarrow N\times P(X>58)=400\times 0.6554=262.16\Rightarrow 有263個數據會大於58$$

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解：
(一) $$信心水準95\%\Rightarrow \alpha =0.05\Rightarrow z_{ \alpha /2 }=z_{ 0.025 }=1.96(查表)\\ \Rightarrow n=\frac { z_{ 0.025 }^{ 2 } }{ E^{ 2 } } \sigma ^{ 2 }=\frac { 1.96^{ 2 } }{ 2^{ 2 } } \times 15^{ 2 }=216.09\Rightarrow 至少需要\bbox[red, 2pt]{217}個樣本$$ (二) $$\\ n=\frac { z_{ 0.025 }^{ 2 } }{ E^{ 2 } } \sigma ^{ 2 }=\frac { 1.96^{ 2 } }{ 2^{ 2 } } \times 30^{ 2 }=864.36\Rightarrow 至少需要\bbox[red, 2pt]{865}個樣本$$

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解：
$$已知條件:三項處理,即G=3;共有G\times 5=15個觀察值,即N=15,\\及未完成的ANOVA表格: \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline  & SS & DF & MS& F \\\hline SSTR & SSB=520 & G-1 & MSTR \\\hline Error & SSE & N-G & MSE \\\hline Total & SSB+SSE=860& \\\hline \end{array}\\ (一)將已知條件代入可得\begin{cases} SSE=860-520=340\\ G-1=3-1=2\\N-G=15-3=12 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} MSB={SSB \over G-1}={520\over 2}=\bbox[red,2pt]{260}\\ MSE={SSE\over N-G}={340\over 12}= \bbox[red,2pt]{28.33} \end{cases}\\ (二)\begin{cases}H_0:\mu_1=\mu_2=\mu_3 \\ H_1:\mu_1\ne \mu_2或\mu_1\ne \mu_3 或\mu_2\ne \mu_3\end{cases}\\ \alpha=0.05 \Rightarrow 拒絕區域R=\{F\mid F>F_{0.05}(2,12)=3.89(題目有附)\}\\ F=MSB/MSE=260/28.33 =9.18>3.89 \Rightarrow 9.18\in R,即拒絕H_0\\結論: 三項處理的平均值\bbox[red,2pt]{不}全相同$$

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解：

(一) $$x=70代入\hat{y}=127-0.425x\Rightarrow \hat{y}=127-0.425\times 70=\bbox[red, 2pt]{97.25}$$ (二) $$H_0:\beta_1\ge 0\\H_1:\beta_1<0\\ 已知\begin{cases} \hat{y}=127-0.425x\\ SSReg=473.65 \\\ SSE = 119.21 \\ S_{b1}=0.095 \end{cases} \Rightarrow 檢定統計值t={b_1\over S_{b1}}={-0.425\over 0.095}=-4.47\\ 拒絕區域R=\{ t\mid t<-t_{0.05}(8-2)=-1.943\}\\ -4.47<-1.943 \Rightarrow 拒絕H_0\Rightarrow \bbox[red, 2pt]{有}負向影響$$

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考選部未公布答案，解題僅供參考