106年專技高考-電子工程技師-工程數學詳解

106年專門職業及技術人員高等考試

等        別：高等考試
類        科：電子工程技師
科        目：工程數學

解：

(一)$$y''-2y'+y=0 \Rightarrow \lambda^2-2\lambda+1=0 \Rightarrow (\lambda-1)^2=0\\ \Rightarrow \lambda=1(二重根) \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{y_h=C_1e^x+C_2xe^x},\; C_1,C_2為常數$$(二)$$\text{利用變數變換(Variation of Parameters)來求}y_p:\\
y''-2y'+y=e^x =r(x)\\
\begin{cases} y_1=e^x\\ y_2=xe^x \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y_1'=e^x\\ y_2'=e^x+xe^x \end{cases} \Rightarrow W=\begin{vmatrix}y_1& y_1'\\ y_2 & y_2' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}e^x & e^x\\ xe^x & e^x+xe^x \end{vmatrix} =e^{2x} \\ \Rightarrow y_p=-y_1\int{ y_2\cdot r(x)\over W}dx +y_2\int{y_1\cdot r(x)\over W}dx =-e^x \int{xe^{2x}\over e^{2x}}dx + xe^x \int{e^{2x}\over e^{2x}}dx \\= -e^x\int{x\;dx}+xe^x\int{1\;dx} =-{1\over 2}x^2e^x+x^2e^x ={1\over 2}x^2e^x\\
\Rightarrow \bbox[red, 2pt]{y_p={1\over 2}x^2e^x}$$(三)$$y=y_h+y_p = C_1e^x +C_2xe^x +{1\over 2}x^2 \Rightarrow W(x)=\begin{vmatrix}e^x & xe^x & x^2\\ {d\over dx}e^x & {d\over dx}xe^x & {d\over dx}x^2\\{d^2\over dx^2}e^x & {d^2\over dx^2}xe^x & {d^2\over dx^2}x^2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}e^x & xe^x & x^2\\ e^x & e^x+xe^x & 2x\\e^x & 2e^x+xe^x & 2 \end{vmatrix}\\ =e^{2x}\begin{vmatrix}1 & x & x^2\\ 1 & 1+x & 2x\\1 & 2+x & 2 \end{vmatrix} =e^{2x}(x^2-2x+2) \Rightarrow W(0)=2\ne 0 \Rightarrow 解集合為線性獨立$$

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解：
(一)$$A=\begin{bmatrix}1 & 2& -1\\ 1& 0 & 1\\4 & -4 &5 \end{bmatrix} \Rightarrow det(A-\lambda I)=0 \Rightarrow \begin{vmatrix}1-\lambda & 2& -1\\ 1& -\lambda & 1\\4 & -4 &5-\lambda \end{vmatrix}=0\\
\Rightarrow (\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-3)=0 \Rightarrow \bbox[red,2pt] {特徵值\lambda=1,2,3}$$(二)$$\lambda=1 \Rightarrow A-\lambda I=\begin{bmatrix}0 & 2& -1\\ 1& -1 & 1\\4 & -4 &4 \end{bmatrix} \Rightarrow (A-\lambda I)x=0 \Rightarrow \begin{cases} 2x_2=x_3\\ x_1+x_3=x_2 \end{cases}\Rightarrow 取u_1=\begin{bmatrix}-1\\ 1\\2  \end{bmatrix}\\
\lambda=2 \Rightarrow A-\lambda I=\begin{bmatrix}-1 & 2& -1\\ 1& -2 & 1\\4 & -4 &3 \end{bmatrix} \Rightarrow (A-\lambda I)x=0 \Rightarrow \begin{cases} x_1+x_3=2x_2\\ 4x_1+3x_3=4x_2 \end{cases}\Rightarrow 取u_2=\begin{bmatrix}-2\\ 1\\4  \end{bmatrix}\\
\lambda=3 \Rightarrow A-\lambda I=\begin{bmatrix}-2 & 2& -1\\ 1& -3 & 1\\4 & -4 &2 \end{bmatrix} \Rightarrow (A-\lambda I)x=0 \Rightarrow \begin{cases} 2x_1+x_3=2x_2\\ x_1+x_3=3x_2 \end{cases}\Rightarrow 取u_3=\begin{bmatrix}-1\\ 1\\4  \end{bmatrix}\\
\Rightarrow \bbox[red, 2pt]{特徵向量為\begin{bmatrix}-1\\ 1\\2  \end{bmatrix},\begin{bmatrix}-2\\ 1\\4  \end{bmatrix}及\begin{bmatrix}-1\\ 1\\4  \end{bmatrix}}$$

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解：$$F\{ e^{-x^2}\}= \int_{-\infty}^\infty{e^{-x^2}e^{i\omega x}\;dx} = \int_{-\infty}^\infty{e^{-x^2+i\omega x}\;dx} =  \int_{-\infty}^\infty {e^{-(x^2-i\omega x+(i\omega)^2/4)}\cdot e^{(i\omega)^2/4}\;dx} \\ = e^{-\omega^2/4} \int_{-\infty}^\infty {e^{-(x-i\omega/2)^2}\;dx} = e^{-\omega^2/4} \int_{-\infty}^\infty {e^{-u^2}\;du}(u= x-i\omega/2) \\
令I= \int_{-\infty}^\infty{ e^{-x^2}dx} \Rightarrow I^2=\int_{-\infty}^\infty{ e^{-x^2}dx}\int_{-\infty}^\infty{ e^{-y^2}dy} =\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty{e^{-(x^2+y^2)}dxdy}\\
=\int_0^{2\pi}\int_0^\infty{re^{-r^2}drd\theta} =\int_0^{2\pi}{1\over 2}d\theta=\pi \Rightarrow I=\sqrt{\pi}\\
\Rightarrow F\{ e^{-x^2}\}=e^{-\omega^2/4} \int_{-\infty}^\infty {e^{-u^2}\;du}= \bbox[red, 2pt]{\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}}$$

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解：$$\text{div}F=\nabla\cdot F={\partial F_1 \over \partial x}+{\partial F_2 \over \partial y}+{\partial F_3 \over \partial z} = {\partial xz \over \partial x}+{\partial yz \over \partial y}+{\partial xy \over \partial z} = z+z+0=2z\\
\text{curl}F=\nabla\times F=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ {\partial  \over \partial x} & {\partial  \over \partial y}&{\partial \over \partial z} \\ F_1 & F_2 &F_3\end{vmatrix}= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ {\partial  \over \partial x} & {\partial  \over \partial y}&{\partial \over \partial z} \\ xz & yz & xy\end{vmatrix} =y\vec{i}+ 0\vec{k}+ z\vec{j}-z\vec{k}-y\vec{j}-0\vec{i}\\ \qquad=y\vec{i}+(z-y)\vec{j}-z\vec{k}\\ \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{\begin{cases} 散度: 2z \\ 旋度:y\vec{i}+(z-y)\vec{j}-z\vec{k} \end{cases}} $$

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解：$$\oint _{ C }{ f\left( z \right) dz } =\oint _{ C }{ \frac { 1 }{ z^{ 2 }+1 } dz } \Rightarrow \begin{cases} Res\left( f,i \right) =\left. \frac { 1 }{ z+i }  \right| _{ z=i }=\frac { 1 }{ 2i }  \\ Res\left( f,-i \right) =\left. \frac { 1 }{ z-i }  \right| _{ z=-i }=\frac { -1 }{ 2i }  \end{cases}\\ \Rightarrow \oint _{ C }{ f\left( z \right) dz } =2\pi i\left( Res\left( f,i \right) +Res\left( f,i \right)  \right) =2\pi i\left( \frac { 1 }{ 2i } -\frac { 1 }{ 2i }  \right) =\bbox[red, 2pt]{0}$$

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考選部未公布申論題答案，解題僅供參考