108年基北區師大附中特招數學詳解

基北區國立臺灣師範大學附屬高級中學

108 學年度高級中等學校特色招生考試

數學能力測驗詳解

解：

$$46\le 10a^2<47\Rightarrow 4.6\le a^2<4.7 \Rightarrow \sqrt{4.6}\le a<\sqrt{4.7}\Rightarrow 10\sqrt{4.6}\le 10a<10\sqrt{4.7}\\ \Rightarrow \sqrt{460}\le 10a<\sqrt{470}\\ 又\begin{cases}21^2=441\\22^2=484\end{cases} \Rightarrow 21\le 10a<22,故選\bbox[red,2pt]{(2)}。$$

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解：

$$\angle  APD=\angle BPC\Rightarrow  b+43=a+b-2\Rightarrow a=45\\ 在\triangle ABD中: a+c-1+b+43=180 \Rightarrow   b+c=180-43+1-a=93\\在\triangle BCD中: a+b-2+c+\angle PDC=180 \Rightarrow  \angle PDC=180-a-(b+c)+2\\=180-45-93+2=44，故選\bbox[red,2pt]{(2)}。$$

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解：
$$10x^{ 2 }+x-12=\left( 2x+a \right) \left( 5x+b \right) +9=10x^{ 2 }+(5a+2b)x+ab+9\\ \Rightarrow \begin{cases} 5a+2b=1 \\ ab+9=-12 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=(1-2b)/5 \\ ab=-21 \end{cases}\Rightarrow \frac { b\left( 1-2b \right)  }{ 5 } =-21\Rightarrow 2b^{ 2 }-b-105=0\\ \Rightarrow \left( b+7 \right) \left( 2b-15 \right) =0\Rightarrow \begin{cases} b=15/2(不合,需為整數) \\ b=-7 \end{cases}\Rightarrow a=3\Rightarrow a-b=10，故選\bbox[red,2pt]{(4)}。$$

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解：
$$假設第二次有a人進歩20分\Rightarrow 有(13-a)人進步15分\\\Rightarrow 第二次平均超過56分\Rightarrow 第二次總分超過40\times 56=2240\\ \Rightarrow 40\times 50-4\times 5-8\times 10+6\times 5+9\times 10+20a+(13-a)\times 15>2240\\ \Rightarrow 2020+20a+15(13-a)>2240\Rightarrow 5a+195>220\Rightarrow a>5\Rightarrow a\ge6\\\Rightarrow 至少有6人進步20分，故選\bbox[red,2pt]{(2)}。$$

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解：

$$68+b+c=180\Rightarrow b+c=180-68=112\\ \angle C=180-2c 且\angle B=180-2b \Rightarrow \angle A=180-\angle B-\angle C=180-(180-2c)-(180-2b)\\=2(b+c)-180= 2\times 112-180=44，故選\bbox[red,2pt]{(2)}。$$

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解：

$$\triangle ABD\sim \triangle CAE\Rightarrow \frac{\overline{AB}}{\overline{AC}}= \frac{\overline{BD}}{\overline{AE}}= \frac{\overline{AD}}{\overline{CE}} \Rightarrow \frac{6}{4}= \frac{\overline{BD}}{3}= \frac{3}{\overline{CE}} \Rightarrow \begin{cases}\overline{BD}=9/2\\ \overline{CE}=2\end{cases} \\ \triangle ABC\sim \triangle EAC(符合AAA) \Rightarrow \frac{\overline{AC}}{\overline{BC}}= \frac{\overline{EC}}{\overline{AC}} \Rightarrow \frac{4}{9/2+\overline{DE}+2} =\frac{2}{4}\\\Rightarrow 16=13+2\overline{DE} \Rightarrow \overline{DE}=\frac{3}{2} \Rightarrow \frac{乙}{甲+乙+丙}= \frac{\overline{DE}}{\overline{BC}}=\frac{3/2}{9/2+3/2+2} = 3/16，故選\bbox[red,2pt]{(4)}。$$

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解：
$$\begin{cases}甲→\frac{2}{3}甲\cdots(1)\\乙→乙+\left(\frac{1}{3}甲-\frac{1}{5}丙\right)\cdots(2)\\丙→丙+\frac{1}{5}丙=\frac{6}{5}丙\cdots(3)\end{cases}\\(1)=(3)\Rightarrow \frac{2}{3}甲=\frac{6}{5}丙 \Rightarrow 丙=\frac{5}{9}甲,代入(2)\Rightarrow 乙+\left(\frac{1}{3}甲-\frac{1}{5}丙\right)=乙+\frac{2}{9}甲\cdots(4)\\(1)=(4)\Rightarrow \frac{2}{3}甲=乙+\frac{2}{9}甲 \Rightarrow 乙=\frac{4}{9}甲\\因此乙從\frac{4}{9}甲變成\frac{2}{3}甲\Rightarrow \frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{9}}=\frac{3}{2},故選\bbox[red,2pt]{(1)}。$$

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解：
$$假設長方體邊長分別為r,s,t，則\begin{cases}rst=a\\rs=12\\2(rs+st+rt)=108\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}t=a/12\\rs=12\\t(r+s)=42\end{cases} \\\Rightarrow \begin{cases}t=a/12\\rs=12\\a=42\times 12/(r+s)\end{cases} \Rightarrow
\begin{array}{c|c|c|c}r&s&r+s&a\\\hline 1&12&13&非整數\\\hline 6&2&8&63\\\hline 4&3&7&72\\\hline3&4&7&72\\\hline 2&6&8&63\\\hline1&12&13&非整數\end{array}，故選\bbox[red,2pt]{(1)}。$$

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解：$$男生:a_1 < a_2 <\cdots < a_{23}\Rightarrow \begin{cases}a_1=42\\Q_1=a_{6}=51\\Q_2=a_{12}=63\\Q_3=a_{18}=80\\a_{23}=95\end{cases}\\女生:43<49<53<60<61<68<70<85<90<98 \\男生+女生:a_1=42,\{a_2\cdots a_5,43,49\},a_{6}=51,\{a_7\cdots a_{11},53,60,61\},a_{12}=63,\\\{a_{13}\dots a_{17},68,70\},a_{18}=80,\{a_{19}\cdots a_{21},85,90\},a_{23},98\\\equiv b_1 < b_2 < \cdots< b_{33}\Rightarrow \begin{cases}b_1=42\\Q'_1=b_{9}>51\\Q'_2=b_{17}=63\\Q'_3=b_{25}=80\\b_{33}=98\end{cases}\Rightarrow Q'_1>Q_1, Q'_3=Q_3，故選\bbox[red,2pt]{(3)}。$$

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解：
$$(1)a的個位數是4，b的千位數是2\Rightarrow \begin{cases}a=XXX4\\b=2XXX\end{cases}\xrightarrow {a-b個位數是5}\begin{cases}a=XXX4\\b=2XX9\end{cases}\\\xrightarrow {a-b千位數是3}\begin{cases}\begin{cases}a=6XX4\\b=2XX9\end{cases}\\\begin{cases}a=5XX4\\b=2XX9\end{cases}\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}\begin{cases}a=6294\\b=2469\end{cases}\\\begin{cases}a=5294或5924皆不合\end{cases}\end{cases},故選\bbox[red,2pt]{(1)}。$$

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解：

$$\begin{cases}\overline{BD}=n+2\\\overline{AC}=m+3\end{cases}\Rightarrow \overline{BD}=2\overline{AC}-2\Rightarrow n+2=2(m+3)-2\Rightarrow n=2m+2\\又\triangle PAB=\triangle PCD-56=\triangle PAB+\triangle ACD+\triangle ACB-56\\\Rightarrow \triangle ACD+\triangle ACB=56\Rightarrow (m+3)(n+2)\div 2=56\Rightarrow (m+3)(2m+2+2)=112\\ \Rightarrow (m+3)(m+2)=56\Rightarrow m^2+5m-50=0\Rightarrow (m-5)(m+10)=0\\\Rightarrow m=5\Rightarrow n=2\times 5+2=12\Rightarrow m+n=5+12=17，故選\bbox[red,2pt]{(3)}。$$

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解：

紅色直線為對稱軸及各角度代號如上圖
$$\begin{cases}\angle BAD=132^\circ \Rightarrow 2b+c=132^\circ \cdots (1)\\ a+c+2b=180^\circ\cdots (2) \\ 2a+c+b=180^\circ \cdots (3) \end{cases} \xrightarrow{(1)代入(2)} a=180-132=48\cdots(4)\\ \xrightarrow{(4)代入(3)} b+c=180-48\times 2= 84\cdots(5) \xrightarrow {(5)代入(1)}  b=132-84=48\\ \xrightarrow{將a=48,b=48代入(2)} c=180-48\times 3=36 \\在\triangle ADB' \Rightarrow \angle D+c+\angle AB'D=180 \Rightarrow \angle AB'D=180-73-36=71，故選\bbox[red,2pt]{(1)}$$

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解：$$假設湯圓買了a杯，且每杯b元\\燒仙草的杯數比湯圓了3杯\Rightarrow 燒仙草買了(a+3)杯\\燒仙草與湯圓共x杯\Rightarrow (a+3)+a=x\Rightarrow a=\frac{x-3}{2}\\ 燒仙草每杯比湯圓便宜5元\Rightarrow 燒仙草每杯賣(b-5)元\\買燒仙草的錢比買湯圓少y元\Rightarrow (a+3)(b-5)=ab-y\Rightarrow y=5a-3b+15\\=5\times\frac{x-3}{2}-3b+15\Rightarrow b=\frac{5x-15}{6}+5-\frac{1}{3}y \\\Rightarrow 3杯燒仙草的錢=3(b-5)=\frac{5x-15}{2}-y=-\frac{15}{2}+\frac{5}{2}x-y,故選\bbox[red,2pt]{(4)}。$$

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解：

\(\overline{BD}\)為正三角形及正五角形的共同邊，所以\(\overline{BD}\)的中垂線會通過A及E兩點，也就是\(\overline{AE}\)為正三角形及正五角形的對稱軸，見上圖；因此\(\angle   FEG=\angle   E/2=54^\circ\)且\(\angle BAG=\angle   A/2=30^\circ\)；
由於\(\overline{BA}=\overline{BC}=\overline{BF}\Rightarrow   \overline{BA}=\overline{BF}\)，因此假設\(\angle   BAF=\angle   BFA=a\)；
在\(\triangle   BAF\)中，\(\angle   B+2a=\angle   ABC+\angle   CBF+2a   =60+108+2a=180   \Rightarrow   a=6\)；因此\(\angle   FAE=30-a=24\)，又\(\angle   P=\angle  FEA+\angle   FAE(對同弧的圓周角)=54+24=78\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(2)}\)。

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解：

延長直線\(\overline{AD}\)交\(\overline{BC}\)於N，並令\(\overline{MA}={MB}=a\)及\(\overline{NB}=\overline{NC}=b\)，見上圖；
$$\begin{cases}\angle ABN=\angle ADB=90^\circ\\ \angle BAD=\angle BAN\end{cases} \Rightarrow \triangle  ADB\sim\triangle  ABN \Rightarrow \frac{\overline{AD}}{\overline{AB}}= \frac{\overline{AB}}{\overline{AN}}=\frac{\overline{BD}}{\overline{BN}}\\ \Rightarrow  \frac{\overline{AD}}{2a}= \frac{2a}{\sqrt{4a^2+b^2}}=\frac{\overline{BD}}{b}\Rightarrow    \begin{cases}\overline{AD} =\frac{4a^2}{\sqrt{4a^2+b^2}}\\ \overline{BD}=\frac{2ab}{\sqrt{4a^2+b^2}}\end{cases}\Rightarrow  \begin{cases}AEBD=\overline{AD}\times\overline{BD} =\frac{8a^3b}{4a^2+b^2}\\ \triangle ABC=\overline{AB}\times\overline{BC}\div 2=2ab\end{cases}\\  \Rightarrow  \frac{AEBD}{\triangle ABC}=\frac{4a^2}{4a^2+b^2}=\frac{5}{6}\Rightarrow  4a^2=5b^2 \Rightarrow  2a=\sqrt{5}b\Rightarrow a:b=\sqrt{5}:2 ，故選\bbox[red,2pt]{(3)}。$$

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解：

$$\overset { { \frown  } }{ AB } =\overset { { \frown  } }{ BC } =\overset { { \frown  } }{ CD } =\overset { { \frown  } }{ DA } \Rightarrow \angle DOC=90°\Rightarrow 乙=2\left( \frac { 6^{ 2 }\pi  }{ 4 } -6\times 6\div 2 \right) =18\pi -36\\ \Rightarrow 丙=圓-乙\times 2=6^{ 2 }\pi -2\left( 18\pi -36 \right) =\bbox[red,2pt]{72}$$

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解：

$$f(x)=4(x-5)^2+300 \Rightarrow 頂點A(5,300) \Rightarrow 對稱直線x=5 \\ \Rightarrow 滿足f(a)=f(b) 的對數有\\\begin{cases}a=b&0\le a,b\le 10, 共11組\\a+b=10&共10組 \end{cases} \Rightarrow 共有11+10=\bbox[red,2pt]{21}組$$

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解：

$$\begin{cases} a+b+c+d+e+g+h+i+1=a+b+d+e+f+h+i+j+3 \\ c+d+e+g+h+i+k+l+6=d+e+f+h+i+j+k+l+x \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} c+g+1=f+j+3 \\ c+g+6=f+j+x \end{cases}\\ \Rightarrow 5=x-3\Rightarrow x=\bbox[red,2pt]{8}$$

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解：

延直線\(\overline{BD}\)交\(\overline{AD}\)於G，並令\(\overline{AE}=\overline{EF}=a\)，如上圖；$$\triangle BCF=ABCD\times \frac{2}{5}\Rightarrow 20\times h_2\div 2= 20\times 20\times\frac{2}{5} \Rightarrow h_2=16\Rightarrow h_1=20-h_2=4\\ \overline{AD}//\overline{BC} \Rightarrow \triangle FEG\sim\triangle FCB\Rightarrow h_1:h_2= \overline{EF}:\overline{FC} \Rightarrow 4:16= a:\overline{FC}\Rightarrow \overline{FC}=4a\\ 直角\triangle EDC \Rightarrow {\overline{EC}}^2 ={\overline{ED}}^2+{\overline{DC}}^2 \Rightarrow (5a)^2=(20-a)^2+20^2 \Rightarrow 3a^2+5a-100=0 \\\Rightarrow (a-5)(3a+20)=0 \Rightarrow a=5(a需為正數)\Rightarrow \overline{CF}=4a=\bbox[red,2pt]{20}$$

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解：
1、2、3、10；1、2、4、9；1、2、5、8；1、2、6、7；
1、3、5、7；1、3、4、8；
1、4、5、8；2、3、4、7；2、3、5、6；
共有\(\bbox[red,2pt]{9}\)種不同的拆法。

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解：

由上圖可知紅色共轉了\(\bbox[red,2pt]{7}\)個彎

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解：
$$\begin{array}{c|c}洗牌次數&號碼牌\\\hline &1234567\\\hline1&4567123 \\ \hline 2&7123456\\\hline 3&3456712\\\hline 4&6712345\\\hline 5&2345\bbox[red,2pt]{6}71\\\hline 6&5671234\\\hline 7&1234567\end{array}$$由上表可知：經過7次洗牌後回到初始狀態；由於\(705=7\times 100+5\)，因此洗牌705次相當於洗牌5次，其結果為2345671，從上而下的第5張牌為\(\bbox[red,2pt]{6}\)

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解：
$$\begin{cases}a=1\\b=x\end{cases} \xrightarrow{a<3}   \begin{cases}P=a+1=2\\Q=\frac{b+2}{b}=\frac{x+2}{x}\end{cases}\Rightarrow   \begin{cases}a=P=2\\b=Q=\frac{x+2}{x}\end{cases} \xrightarrow{a<3}   \begin{cases}P=a+1=3\\Q=\frac{b+2}{b}=\frac{\frac{x+2}{x}+2}{\frac{x+2}{x}}\end{cases}\\\Rightarrow   \begin{cases}a=P=3\\b=Q=\frac{\frac{x+2}{x}+2}{\frac{x+2}{x}}\end{cases}\xrightarrow  {a\nless 3}輸出b=\frac{5}{2}\Rightarrow   \frac{\frac{x+2}{x}+2}{\frac{x+2}{x}}=\frac{5}{2}\Rightarrow  \frac{3x+2}{x+2}=\frac{5}{2}\Rightarrow x=\bbox[red,2pt]{6} $$

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解：
A→？→(B→C)：A→(B→C)、A→E→(B→C)、A→D→E→(B→C)、A→D→E→A→(B→C)，有四種；
A→？→(D→C)：與A→？→(B→C)對稱，也有四種；
A→？→(E→C)：A→(E→C)、A→D→(E→C)、A→B→(E→C)、A→D→E→A→B→(E→C)、 A→B→E→A→D→(E→C)，有五種；
共有4+4+5=\(\bbox[red,2pt]{13}\)種路線

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解：
甲跑2圈的時間等於乙跑完7圈，甲速:乙速=2:7；
甲跑2圈被丙追過3次，丙跑的距離至少是甲跑的距離加上3圈操場，即丙至少跑了3+2=5圈操場；因此甲速:丙速=2:5，也就是甲速:乙速:丙速=2:7:5；
乙與丙逆向，當乙遇到丙代表兩人跑的距離和剛好是操場一圈的距離；甲跑2圈時，乙跑了7圈、丙跑了至少5圈，所以乙跑的距離+丙跑的距離 \(\ge 5+7=12 \Rightarrow   n=\bbox[red,2pt]{12}\)

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- END -