108 年公務人員高等考試三級考試試題
類 科 :電力工程、電子工程、電信工程、醫學工程
科 目:工程數學
甲、申論題部分:(50分)
解:
(一)C包住z=0⇒∫Ccoszz(z2+8)dz≡∫Cf(z)zdz=2πi×f(0)=2πi×cos002+8=2πi×18=πi4
(二)C包住z=0⇒∫Ccoshzz4dz≡∫Cf(z)z4dz=2πi3!×f(3)(0)=2πi3!×sinh0=0
解:2sin(y2)dx+xycos(y2)dy=0⇒{M(x,y)=2sin(y2)N(x,y)=xycos(y2)⇒{∂M∂y=4ycos(y2)∂N∂x=ycos(y2)⇒∂M∂y≠∂N∂x⇒非正合假設F=F(x)為積分因子⇒∂(MF)∂y=∂(NF)∂x⇒4ycos(y2)F=ycos(y2)F+xycos(y2)dFdx⇒3ycos(y2)F=xycos(y2)dFdx⇒1FdFdx=3x⇒∫1FdFdxdx=∫3xdx⇒lnF=3lnx⇒F=x3⇒{∂u∂x=MF=2x3sin(y2)∂u∂yNF=x4ycos(y2)⇒{u(x,y)=∫2x3sin(y2)dx=12x4sin(y2)+p(y)u(x,y)=∫x4ycos(y2)dy=12x4sin(y2)+q(x)⇒u(x,y)=0為其通解,即12x4sin(y2)+C=0為其通解,再由y(2)=√π2⇒8sin(π/2)+C=0⇒C=−8⇒其解為x4sin(y2)=16。
解:(一)A=[00−2121103]⇒det(A−λI)=0⇒|−λ0−212−λ1103−λ|=0⇒−λ(λ−2)(λ−3)−2(λ−2)=0⇒(λ−2)(−λ2+3λ−2)=0⇒(λ−2)2(λ−1)=0⇒λ=1,2,即A的特徵值為1及2(二)λ=1⇒A−λI=[−10−2111102]⇒[−10−2111102][x1x2x3]=0⇒{−x1−2x3=0x1+x2+x3=0x1+2x3=0⇒[x1x2x3]=a[−211]λ=2⇒A−λI=[−20−2101101]⇒[−20−2101101][x1x2x3]=0⇒x1+x3=0⇒[x1x2x3]=b[10−1]+c[010]⇒特徵向量為[−211],[10−1],[010]
解:(A)少一個條件T(ax)=aT(x)(B)T不只是函數,更重要的是線性(D)不一定找得到線性的函數T,故選(C)
解:(D){T(2,2)=(0,0,0)T(1,1)=(0,0,0)⇒T(1,1)=T(2,2)⇒不是一對一,故選(D)
解:ATB=[12121212][13572468]=[5111723511172351117235111723]−r1+r2,−r1+r3,−r1+r4,→[5111723000000000000]⇒rank(ATB)=1,故選(A)
解:[√32−1212√32]=[cosπ6−sinπ6sinπ6cosπ6]為旋轉π6矩陣⇒[√32−1212√32]100=[cos100π6−sin100π6sin100π6cos100π6]=[cos2π3−sin2π3sin2π3cos2π3]=[−12−√32√32−12],故選(D)
解:L(x,y,z)=(2x+3y+z,3x+3y+z,2x+4y+z)=[231331241][xyz]=AX⇒A−1=[−110−1016−2−3]⇒L−1(x,y,z)=(−x+y,−x+z,6x−2y−3z),故選(A)
解:A=[5321701220−27](A)det(A−5I)=|032170720−22|=0(B)det(A−8I)=|−332170420−2−1|=|−332170000−2−1|=0(C)det(A−11I)=|−632170120−2−4|=|−63217012000|=0(D)det(A−14I)=|−932170−220−2−7|≠0,故選(D)當然也可以按部就班的計算det(A−λI)=0⇒λ3−24λ2+183λ−440=0⇒(λ−5)(λ−8)(λ−11)=0⇒特徵值λ=5,8,11
解:z=1+i=√2(1√2+i1√2)=√2(cos9π4+isin9π4)=√2ei9π4⇒f(z)=r13cosθ+2π3+ir13sinθ+2π3=√213cos9π4+2π3+i√213sin9π4+2π3=6√2(cos17π12+isin17π12)=6√2ei17π12,故選(C)
解:C={t+t2i∣t:0→2}⇒{x=ty=t2⇒{dx=dtdy=2tdt⇒∫Cz2dz=∫C(x+yi)2d(x+yi)=∫C(x2−y2)dx−2xydy+i∫C(x2−y2)dy+2xydx=∫20(t2−t4)dt−2t3⋅2tdt+i∫202(t2−t4)tdt+2t3dt=∫20(t2−5t4)dt+i∫20(4t3−2t5)dt=[13t3−t5]|20+i[t4−13t6]|20=(83−16−32)+i(16−643)=−883−163i,故選(A)
解:nnn!(z+i)2n=nnn!(z−(−i))2n⇒令cn=√nnn!⇒R=limn→∞cncn+1=limn→∞√nnn!×(n+1)!(n+1)n+1=limn→∞√(nn+1)n×n+1n+1=limn→∞√(nn+1)n=√limn→∞(nn+1)n=√1e=1√e⇒{中心點−i收斂半徑R=1√e,故選(C)
解:y=acos(3x)+bsin(3x)+ccos(4x)⇒y′=−3asin(3x)+3bcos(3x)−4csin(4x)⇒{y(0)=0y′(0)=3⇒{a+c=03b=3⇒{a+c=0b=1⇒a+b+c=1,故選(A)
解:L{tsin(at)}=2as(s2+a2)2⇒L{t2ωsin(ωt)}=12ω2ωs(s2+ω2)2=s(s2+ω2)2,故選(C)
解:
y″−4xy′+4x2y=x2+1,先求齊次解,即y″−4xy′+4x2y=0令y=xm⇒y′=mxm−1,y″=m(m−1)xm−2代回齊次式⇒m(m−1)xm−2−4mxm−2+4xm−2=0⇒m(m−1)−4m+4=0⇒m2−5m+4=0⇒(m−4)(m−1)=0⇒yh=c1x+c2x4⇒只剩下選項(C),(D)正確(C)yp=a1+a2x2⇒y′p=2a2x,y″p=2a2代入原式不合,故選(D)。若要按部就班,可用參數變換法求解:yh=c1x+c2x4⇒yp=ϕ1x+ϕ2x4⇒[xx4ddxxddxx4][ϕ′1ϕ′2]=[0x2+1]⇒[xx414x3][ϕ′1ϕ′2]=[0x2+1]⇒{xϕ′1+x4ϕ′2=0ϕ′1+4x3ϕ′2=x2+1⇒{ϕ′1=−x2/3−1/3ϕ′2=1/3x+1/3x3⇒{ϕ1=∫(−x2/3−1/3)dx=−19x3−13xϕ2=∫(1/3x+1/3x3)dx=13lnx−16x2⇒yp=ϕ1x+ϕ2x4=−19x4−13x2+13x4lnx−16x2=−19x4−12x2+13x4lnx⇒y=yh+yp=c1x+(c2−1/9)x4−12x2+13x4lnx≡C1x+C2x4+A1x2+A2x4lnx
解:y=e−2xcosx⇒{y′=−2e−2xcosx−e−2xsinxy″=3e−2xcosx+4e−2xsinxy‴=−2e−2xcosx−11e−2xsinx⇒Ay‴+By″+Cy′+Dy=0⇒(−2A+3B−2C+D)e−2xcosx+(−11A+4B−C)e−2xsinx=0⇒{−2A+3B−2c+D=0−11A+4B−C=0(A)×:A=1,B=7,C=16,D=−10⇒−11A+4B−C=−11+28−16=1≠0(B)◯:A=B=1,C=−7,D=15⇒{−2A+3B−2c+D=0−11A+4B−C=0(C)×:A=0,B=1,C=8,D=17⇒−11A+4B−C=0+4−8=−4≠0(D)×:A=3,B=2,C=−8,D=−16⇒−11A+4B−C=−33+8+8=−17≠0,故選(B)
解:(A)y=x⇒y″+Ay′+By=0+A+BX=0⇒A=0且B=0(B)y=x2⇒y″+Ay′+By=2+2Ax+Bx2=0,無法找出A,B滿足該式(C)y=ex+1⇒y″+Ay′+By=ex+1+Aex+1+Bex+1=(A+B+1)ex+1=0⇒A+B=−1(D)y=excos(2x+3)⇒y″+Ay′+By=(A+B−3)excos(2x+3)−(2A+4)exsin(2x+3)=0⇒{A+B−3=02A+4=0,故選(B)
解:(A)◯:u(t,x)=sin2tsinx⇒{∂u∂x=sin2tcosx∂u∂t=2cos2tsinx⇒{∂2u∂x2=−sin2tsinx∂2u∂t2=−4sin2tsinx⇒∂2u∂t2=22∂2u∂x2(B)◯:u(t,x)=e−4tcos3x⇒{∂u∂x=−3e−4tsin3x⇒∂2u∂x2=−9e−tcos3x∂u∂t=−4e−4tcos3x⇒∂u∂t=(3/2)2∂2u∂x2(C)×:u(t,x)=etsin3x⇒{∂u∂x=3etcos3t∂u∂t=etsin3x⇒{∂2u∂x2=−9etsin3x∂2u∂t2=etsin3x⇒∂2u∂t2=−(1/3)2∂2u∂x2(D)◯:u(t,x)=e−tsin3x⇒{∂u∂x=3e−tcos3x⇒∂2u∂x2=−9e−tsin3x∂u∂t=−e−tsin3x⇒∂u∂t=32∂2u∂x2,故選(C)
解:L{t∗e2t}=L{t}⋅L{e2t}=1s2⋅1s−2=1s2(s−2),故選(C)
解:bn=15∫5−5F(x)sin(nπ5x)dx=15∫503sin(nπ5x)dx=35[−5nπcos(nπ5x)]|50=−3nπ(cos(nπ)−1)=3(1−cos(nπ))nπ,故選(C)
解:P(0<X≤1)=∫10x23dx=[19x3]|10=19,故選(A)
解:P[4<X≤12,0<Y<∞]=∫∞0∫124112e−(x/4)−(y/3)dxdy=∫∞0[−13e−(x/4)−(y/3)]|124dy=−13(∫∞0e−3−y/3−e−1−y/3dy)=−13[−3e−3−y/3+3e−1−y/3]|∞0=−13(0−(−3e−3+3e−1))=−13(3e−3−3e−1)=e−1−e−3,故選(B)
解:E[X]=x∫f(x)dx=∫102x2dx=[23x3]|10=23,故選(C)
謝謝你的辛苦詳解,對在職考生幫助很大
回覆刪除感謝
希望有幫助到大家,這也是寫詳解的原始初衷!!
刪除找到這個網站的詳解 如獲至寶 國家考試的選擇題都不給詳解的 不會寫的題目要畫很多時間思考才想得出來 感謝!
回覆刪除能提供幫助就是建站的初衷,若發現錯誤,記得留言提醒,謝謝
刪除第一題不太懂何謂"平行四邊體",如果是指三向量所形成的"四面體",應該不會"平行"啊?
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