111年國中會考參考試題-數學科詳解

111年國中教育會考數學科參考試題

出處：臺師大心測中心

解：

$$圖形(D)左右對稱，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：
$$白長條(國文)及灰長條(數學)一年比一年長，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$- \frac{5}{3} - \left( -\frac{1}{6} \right) =- \frac{5}{3}+\frac{1}{6}=- \frac{10}{6}+ \frac{1}{6} =-\frac{9}{6}=-\frac{3}{2} ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解：
$$\begin{cases}7x-3y=8\cdots (1)\\3x-y=8 \cdots (2)\end{cases} \xrightarrow{3\times(2)-(1)} 2x=16 \Rightarrow x=8 \xrightarrow{代入(2)} 24-y=8 \Rightarrow y=24-8=16 \\ \Rightarrow  \begin{cases}x=8=a\\y=16=b\end{cases}  \Rightarrow a+b=8+16=24，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$\begin{cases}甲袋 \Rightarrow \begin{cases}抽中紅球機率=2/(2+2+1+5)=2/10\\ 抽中黃球機率=2/(2+2+1+5)=2/10\end{cases} \\ 乙袋 \Rightarrow \begin{cases}抽中紅球機率=4/(4+2+4+10)=4/20=2/10\\ 抽中黃球機率=2/(4+2+4+10)=2/20=1/10\end{cases} \end{cases} \\  \Rightarrow 阿馮抽中黃球的機(2/10)比小潘抽中黃球的機率(1/10)大，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$\begin{cases} \sqrt{44} =2 \sqrt{11} =2 \sqrt{a} \\ \sqrt{54} =3 \sqrt{6} =3  \sqrt{b}  \end{cases}  \Rightarrow  \begin{cases}a =11\\b=6\end{cases}  \Rightarrow a+b=11+6=17，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$直線L過(-3,4)且與y軸垂直\Rightarrow L: y=4 \Rightarrow  L過D(0,4)，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：

$$\begin{cases} \overline{AB} = \overline{DE} \\ \overline{BC} = \overline{AE}\\ \overline{AC} = \overline{AD}  \end{cases} \xrightarrow{SSS}   \triangle ABC\cong  \triangle ADE  \Rightarrow \begin{cases} \angle BCA = \angle EAD=a \\ \angle BAC = \angle EDA=b\\ \angle B = \angle E=115^o  \end{cases}  \\ 在 \triangle AED中 \Rightarrow \angle E+a+b=180^o \Rightarrow a+b=180^o-115^o=65^o \Rightarrow \angle BAE= a+b+60^o\\ =65^o+60^o= 125^o，故選\bbox[red,2pt]{( C)}$$

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解：
$$x^2-8x=48 \Rightarrow x^2-8x+16=48+16 \Rightarrow (x-4)^2=48+16 \equiv (x-a)^2=48+b\\  \Rightarrow  \begin{cases}a =4\\b=16\end{cases}  \Rightarrow a+b=4+16=20，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解：
$$2(1+2+\cdots+365)=2\times  \frac{(365+1)\times 365}{2} =365\times 366=133590，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$設計費只花1次，印刷費與張數成正比；假設總共印n張卡片，則\\ \begin{cases} 成本=1000+5n\\ 售價=15n \end{cases} \Rightarrow 利潤=15n-(1000+5n)>(1000+5n)\times 20\% \\\Rightarrow 10n-1000 > 200+n \Rightarrow 9n>1200 \Rightarrow n>133.3 \Rightarrow n=134，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：

左下角三角形直角位置不正確

邊長5的鄰邊長度皆不是5,無法接合

邊長5的鄰邊長度皆不是5,無法接合

$$故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：

$$\angle A=180^o-\angle B-\angle C=180^o-44^o-56^o=80^o \Rightarrow  \begin{cases} a=80^o/2=40^o \\c =56^o/2=28^o\end{cases} \\  \Rightarrow \angle AID=\angle AIC+ \angle CID= (180^o-a-c)+(180^o-90^o-c) \\=(180^o-40^o-28^o)+(180^o-90^o-28^o)=112^o +62^o=174^o，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解：
$$小涵自備容器買250g的咖啡豆花費295元，250g的咖啡豆售價應為295+5=300元，也就是\\每公克的咖啡為300/250元\Rightarrow y=(300/250)x；故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：
$$有效命中率的變數有三個，分別是F、P、A，依題意兩人的A及F均相等，\\因此唯有提升P才能有較高的有效命中率，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

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解：
$$a=b+2 \Rightarrow ab+1=(b+2)b+1=b^2 +2b+1=(b+1)^2\\  \Rightarrow  \begin{cases}(A)& (b+1)^2=39^2  \Rightarrow b=38不是質數\\(B) & (b+1)^2=40^2  \Rightarrow b=39不是質數 \\(C) & (b+1)^2=41^2  \Rightarrow b=40不是質數 \\ (D) &(b+1)^2=42^2  \Rightarrow b =41是質數 \end{cases} ，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

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解：
$$40ml洋紅色=a+b,其中 \begin{cases}a\text{ ml的洋紅色需要}2a\text{ ml的藍色調製葡萄紫色} \\b\text{ ml的洋紅色與}b\text{ ml的青色調出}2b\text{ ml的藍色}\end{cases} \\  \Rightarrow  \begin{cases}b=40-a\\2b=2a\end{cases} \Rightarrow  \begin{cases}a=20 \\b= 20\end{cases} ，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

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解：

$$\triangle AED \Rightarrow \angle AED=180^o-\angle A-\angle ADE=180^o-90^o-30^o= 60^o \\\Rightarrow \overline {AD}=\sqrt{3}\times \overline{AE}= \sqrt{3} \Rightarrow \overline{CD}=\sqrt{3}-1\\ 又\begin{cases} \angle A=\angle A\\ \angle ADE=\angle ABC =30^o \\ \overline{AC}=\overline{AE}=1\end{cases} \xrightarrow{ASA} \triangle AED\cong \triangle ACB \Rightarrow \overline{AD}=\overline{AB} \Rightarrow \angle B=\angle D=45^o \\\Rightarrow \angle FDB=\angle FBD=45^o-30^o=15^o \Rightarrow \angle CFD= \angle FBD+\angle FDB =30^o \\\Rightarrow \triangle CFD為等腰\Rightarrow \overline{CF}=\overline{CD}=\sqrt{3}-1 \Rightarrow AEFC 周長=1+1+(\sqrt{3}-1) +(\sqrt{3}-1)\\ =2\sqrt{3}，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

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解： $$\overline{OB}約為\overline{OA}的10倍，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

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解：
頂點在X軸下方且於X軸交兩點，因此圖形開口向上；也就是說離頂點越遠，則Y值越大，故選$\bbox[red, 2pt]{(D)}$；
如果不能理解上述的解法，可以用傳統的方法：
$$\begin{cases}頂點A=(2,-1)\\P=(a,0)\\ Q=(a+6,0)\end{cases}  \Rightarrow  \begin{cases}f(x) = k(x-2)^2-1\\ \frac{a+(a+6)}{2}=2 \Rightarrow a=-1 \end{cases}  \Rightarrow f(a)=0 \Rightarrow f(-1)=9k-1=0 \Rightarrow k= \frac{1}{9}\\  \Rightarrow f(x)=\frac{1}{9}(x-2)^2-1 \Rightarrow  \begin{cases}(A) & a = f(1)=\frac{1}{9}-1=-\frac{8}{9}\\(B) & b=f(3) = \frac{1}{9}-1=-\frac{8}{9} \\ (C) &c=f(-1)= \frac{1}{9}\times 9-1=0 \\(D) & d=f(-3) =\frac{1}{9} \times 25-1= \frac{16}{9}\end{cases} ，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

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解： $$\begin{cases}420=35\times 12\\a=35k,k與12互質\end{cases}  \Rightarrow  \begin{cases}k不是2的倍數 \Rightarrow  a不是20的倍數\\ k可以是5的倍數 \Rightarrow a可能是25的倍數\end{cases}，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

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解：
假設1杯飲料$b$元，阿輝買飲料$a$杯，則小薰買飲料$a+6$杯；小薰花了1000+120=1120元，阿輝花了2000-1120=880元，因此我們有 $$\begin{cases}ab=880\\ (a+6)b=1120 \end{cases} \Rightarrow 6b=1120-880= 240 \Rightarrow b=40 \Rightarrow a=880/40=22 ，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

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解：
任一圓周角的角平分線經過圓心，又任一弦的中垂線經過圓心，因此甲的作法正確；
由於角D與角C皆為直角，所以$\overline{PC}與\overline{QD}$皆為直徑，因此乙的的作法也是正確的；
因此兩人作法皆正確，故選$\bbox[red, 2pt]{(A)}$

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解：
$$V\cdot Y=1.5 \Rightarrow 0.6\cdot Y=1.5 \Rightarrow Y=1.5\div 0.6=5/2=2.5，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

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解：

$$\triangle ABC \sim  \triangle ADE \Rightarrow  \frac{Y_1}{Y_2} = \frac{4}{5}  \Rightarrow V_1Y_1=V_2Y_2 \Rightarrow  \frac{V_2}{V_1} = \frac{Y_1}{Y_2} =\frac{4}{5}\\  \Rightarrow V_2=\frac{4}{5}V_1=V_1 \times 80\%，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

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解：
(一) $$\begin{cases}巧克力每份30公克，熱量174大卡\\原味每份30公克，熱量96大卡\end{cases}  \Rightarrow \begin{cases}巧克力每匙5公克，熱量為174/6=29大卡\\原味每匙5公克，熱量為96/6=16大卡\end{cases} \\\Rightarrow 答：\bbox[red, 2pt]{\begin{cases}巧克力口味每匙熱量為29大卡\\原味每匙熱量為16大卡\end{cases} }$$ (二) $$\begin{cases}巧克力x匙\\原味12-x匙\end{cases}  \Rightarrow 熱量為29x+16(12-x)<10\times 29 \Rightarrow 13x+192<290 \Rightarrow 13x<98\\  \Rightarrow x<98/13=7.5 \Rightarrow x=7 \Rightarrow 答：\bbox[red, 2pt]{最多7匙}$$

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解： $$車輛高度限制1.8公尺 \Rightarrow  \overline{BC} =1.8\\ 由 \triangle ABC \sim  \triangle FDE \Rightarrow  \frac{ \overline{BC} }{ \overline{CA} } = \frac{ \overline{FE} }{ \overline{ED} } \Rightarrow  \frac{ 1.8 }{ \overline{CA} } = \frac{ 6 }{ 2 } \Rightarrow \overline{CA}=0.6\\  \Rightarrow  \overline{AB} ^2=\overline{BC} ^2+\overline{CA} ^2=1.8^2+0.6^2=3.6 \Rightarrow  \overline{AB}= \sqrt{3.6} \\答：\bbox[red, 2pt]{A點正上方\sqrt{3.6}公尺}$$

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-- end --