108年高中學力鑑定-數學科詳解

108年度自學進修普通型高級中等學校
畢業程度學力鑑定考試

科目：數學
一、選擇題：(共 12 題，每題 5 分，共60分)

解：
$$數值變化越大，則標準差越大，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：
$$x^2係數的絕對值越大，則開口越大，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$A沒有反矩陣\Rightarrow det(A)=0 \Rightarrow \begin{vmatrix}x+2 & 3\\2& x+1 \end{vmatrix}=0 \Rightarrow (x+2)(x+1)-6=0\\ \Rightarrow x^2+3x-4=0 \Rightarrow (x+4)(x-1)=0 \Rightarrow x=1(x為正數,x=-4不合) ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解：
$$(A)\overline{PA}=\overline{PB}=13\\(B)\overline{PB}=\sqrt{10^2+5^2+12^2}>13\\(C)\overline{PA} =\sqrt{5^2+12^2+12^2} > 13 \\ (D)\overline{PA}=12<13\\，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$擲一次骰子的期望值=6\times{1\over 2}-2\times{1\over 2}=2 \Rightarrow 擲三次的期望值為2 \times 3=6，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$\begin{cases}\vec{a}=(1,2)\\ \vec{b}=(x,1-x) \end{cases} \Rightarrow \vec{a}\cdot (\vec{a}+\vec{b}) =(1,2)\cdot (x+1,3-x)=x+1+6-2x=7-x=0 \\ \Rightarrow x=7，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$(2x-y^2)^6 =\sum_{k=0}^6{{6\choose k}(2x)^k(-y^2)^{6-k}} \Rightarrow k=4時，可得x^4y^4 的係數為{6\choose 4}2^4(-1)^2\\ =15\times 16 =240，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$\begin{cases}A=\{2,4,a+1\} \\ B=\{-4,a-2,a^2-2a-3\}\\ A\cap B=\{2,5\} \end{cases} \Rightarrow a+1=5 \Rightarrow a=4，故選\bbox[red,2pt]{( B)}$$

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解：
$$5\le x\le 17 \Rightarrow -6\le x-11\le 6 \Rightarrow |x-11|\le 6 \equiv |x-11|\le a \Rightarrow a=6，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：
$$(8個數字任排)-(第1個數字是0，其餘7個數字任排)\\={8! \over 3!3!2!}-{7! \over 2!3!2!} ={8!\over 72}-{7! \over 24} ={5\times 7! \over 72}=350，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$\begin{cases}a_5=a_1r^4=12 \\ a_6=a_1r^5=24 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}a_1=3/4 \\ r=2 \end{cases} \Rightarrow a_1+a_2+\cdots+a_8= a_1(1+r+r^2+\cdots+ r^7)\\ = a_1\times {1-r^8\over 1-r} = {3\over 4}\times {1-2^8\over 1-2} = 765/4=191.25，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：
$$正弦定理\Rightarrow  \Rightarrow \sin{A}: \sin{B} :\sin{C} =\overline{BC}: \overline{AC}:\overline{AB} \Rightarrow \overline{BC}: \overline{AC}:\overline{AB}=5:12:13 \\ \Rightarrow \overline{AB}^2 = \overline{BC}^2+\overline{CA}^2 \Rightarrow \triangle ABC為直角三角形，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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二、填充題：(10題，每題4分，共40分)

解：

$${x^2 \over 25}+{y^2 \over 36}=1 \Rightarrow {x^2 \over 5^2}+{y^2 \over 6^2}=1 \Rightarrow a=6 \Rightarrow \overline{PF_1} +\overline {PF_2}=2a=12 \Rightarrow 7+\overline{PF_2}=12 \\\Rightarrow \overline{PF_2}=\bbox[red, 2pt]{5}$$

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解：
$$\lim_{n\to \infty}{2n-3\over n^2+1} =\lim_{n\to \infty}{2\over n} =\bbox[red, 2pt]{0}$$

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解：
$$\begin{cases}A(6,-3,1)\\ P(x,y,z) \\ B(1,-8,11) \\ \overline{AP}: \overline{PB}=2:3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x=(18+2)/5 =4\\ y=(-9-16)/5=-5 \\ z=(3+22)/5=5 \end{cases} \Rightarrow P=\bbox[red, 2pt]{(4,-5,5)}$$

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解：
$$f(x)=x^{2019}+ax^{108}+5x-1 \Rightarrow f(1)=4 \Rightarrow 1+a+5-1=4 \Rightarrow a=\bbox[red, 2pt]{-1}$$

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解：
$$\begin{cases}A=[5,30^o]=(5\cos{30^o},5\sin{30^o}) =(5\sqrt{3}/2,5/2) \\B=[3,150^o] =(3\cos{150^o}, 3\sin{150^o}) =(-3\sqrt{3}/2,3/2)\end{cases} \Rightarrow \overline{AB}= \sqrt{(4\sqrt{3})^2+1^2}= \sqrt{49}= \bbox[red, 2pt]{7}$$

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解：

過圓心C=(3,4)與原點的直線交圓於P、Q兩點，如上圖；
圓上任意點S與原點的距離$\overline{SO}$，其最大值為$\overline{OP} =\overline{OC}+半徑= 5+4=9$，最小值為$\overline{OQ}= \overline{OC}-半徑=5-4=1$；而且直線$\overline{OP}$為圓C的對稱軸；
因此$\overline{SO}$的整數距離為1, 2, ... , 9，扣除P、Q兩點，另外七個整數點各有兩個圓上的點，所以圓上有$2+7\times 2= \bbox[red, 2pt]{16}$個圓上的點與原點距離是整數；

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解： $$x=\log_3{5} \Rightarrow 3^x=5 \Rightarrow 3^x+9^{-x}=3^x+3^{-2x} = 3^x+{1\over 3^{2x}} = 5+{1\over 5^2} =5+{1\over 25} =\bbox[red, 2pt]{126 \over 25}$$

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解：
$$x^2+y^2=8 \Rightarrow \left(x^2+y^2 \right)\left(1^2+(-2)^2 \right)\ge (x-2y)^2 \Rightarrow 8\times 5\ge (x-2y)^2 \\ \Rightarrow \sqrt{40} \ge x-2y \ge -\sqrt{40} \Rightarrow x-2y的最大值為\sqrt{40}=\bbox[red, 2pt]{2\sqrt{10}}$$

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解： $$S(n)=\sum_{k=1}^n{k^3}=\left[{n(n+1)\over 2}\right]^2 \Rightarrow 11^3+12^3+\cdots+20^3 =S(20)-S(10)\\ =\left[{ 20\times 21 \over 2}\right]^2  -\left[{10\times 11\over 2}\right]^2 =210^2-55^2= 44100-3025 =\bbox[red, 2pt]{41075}$$

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解：
7-11需取出1個，共有${5\choose 1}=5$種取法，且1-5需取出2個，共有${5\choose 2}=10$種取法，共有$5\times 10=50$種取法；11個球取出4個球，共有${11\choose 4}=330$種取法，因此機率為${50\over 330}=\bbox[red, 2pt]{5\over 33}$。

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-- end --