103年普考-經建行建-統計學概要詳解

 103年公務人員普通考試

類 科： 經建行政、工業行政、交通技術
科 目： 統計學概要

解答：

(一) $$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline 組別(i)& 範圍& 組中點(k_i)& 數量(n_i)\\\hline 1 & 4-6 & 5 & 5 \\\hline 2 & 6-8 & 7 & 20\\\hline 3& 8-10& 9 & 30 \\\hline 4 & 10-12 & 11 & 30 \\\hline 5 & 12-14 & 13 & 15\\\hline\end{array}\\   平均數=\sum k_in_i/\sum n_i =(5\cdot 5+7\cdot 20+ 9\cdot 30+ 11\cdot 30 + 13\cdot 15)/100\\ =960/100= 9.6千元\\中位數落在第3組，因此中位數= 第3組的起點+{(\sum n_i/2)-(n_1+n_2)\over n_3}\\ =8+{100/2-25\over 30} =9.667 \Rightarrow 男性員工薪資之\bbox[red,2pt]{\cases{平均數=9.6千元\\ 中位數=9.667千元} }$$ (二) $$\cases{S=0代表男性\\ S=1代表女性} \Rightarrow \bbox[red,2pt]{\beta= 男性薪資與女性薪資的差異}；\\又S=0\Rightarrow E(W)=E(\alpha) \Rightarrow \bbox[red,2pt]{\alpha 為男性平均薪資}$$ (三) $$\cases{男性平均薪資9.6千元 \\女性平均薪資9 千元} \Rightarrow 迴歸直線經過\cases{(W=9.6,S=0)\\ (W=9,S=1)} \Rightarrow \cases{9.6= \alpha\\ 9=\alpha + \beta} \\\Rightarrow \bbox[red,2pt]{\cases{\alpha的估計值=9.6\\ \beta的估計值 =-0.6}}$$ (四) $$由於F+M=1 \Rightarrow F,M共線\Rightarrow 該迴歸模型\bbox[red,2pt]{沒有解釋力}$$

解答：

(一) $$令\mu:該品牌手機平均待機時間(天)，則\bbox[red,2pt]{\cases{H_0:\mu\ge 10\\ H_1:\mu \lt 10}}$$ (二) $$令\mu:該品牌手機平均待機時間(天)，則\bbox[red,2pt]{\cases{H_0:\mu\ge 10\\ H_1:\mu \lt 10}}\\ z={9-10\over 2/\sqrt{64}}= -4 \Rightarrow P(Z\lt -4) \lt P(Z\lt -0.025)=-1.96 \Rightarrow 拒絕H_0\\ \Rightarrow \bbox[red,2pt]{不符合標準}$$ (三) $$檢定力=1-\beta = P(\bar X\lt 9.51\mid \mu=9\in H_1) =P(Z\lt {9.51-9\over 2/\sqrt{64}}) =P(Z\lt 2.04)\\= 0.4793(查試題附表)+0.5 =\bbox[red,2pt]{0.9793}$$ (四) $$Z={9.5-10\over 2/\sqrt{64}} =-2 \Rightarrow P(Z\lt -2)=0.5-0.4772(查試題附表)=\bbox[red,2pt]{0.0228}$$

解答：

(一) $$\cases{E(X)=np=1.2\\ Var(X)=np(1-p)=0.84} \Rightarrow {Var(X)\over E(X)}=1-p={0.84\over 1.2} ={7\over 10} \Rightarrow p={3\over 10} \Rightarrow n=4\\ \Rightarrow \bbox[red,2pt]{\cases{n=4\\ p=0.3}}$$ (二) $$\sigma(X)=70\%\times E(X)  \Rightarrow \sqrt{np(1-p)}=0.7np \Rightarrow 1-p= 0.49np\\ 由(一)知:p=0.3，因此0.7=0.49\times 0.3\times n \Rightarrow n={1\over 0.21} =4.76\\ 又\cases{n=5 \Rightarrow \cases{\sigma(X)=\sqrt{5\cdot 0.3\cdot 0.7  }=1.0247 \\ 0.7E(X)=0.7\cdot 5\cdot 0.3=1.05 } \Rightarrow \sigma(X)\lt 0.7E(X)\\ n=4 \Rightarrow \cases{\sigma(X)=\sqrt{4\cdot 0.3\cdot 0.7  }=0.9165 \\ 0.7E(X)=0.7\cdot 4\cdot 0.3=0.84 } \Rightarrow \sigma(X) \gt 0.7E(X) } \\ \Rightarrow \cases{n\ge 5 \Rightarrow \sigma(X) \lt 0.7E(X)\\ n\le 4 \Rightarrow \sigma(X)\gt 0.7E(X)}，由於n是整數\\，因此\bbox[red,2pt]{不存在整數n}滿足標準差等於期望值的百分之七十$$

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