104年關務四等-統計學概要詳解

104年 公 務 人 員 特 種 考 試 關 務 人 員 考 試

考 試 別： 關務人員考試
等 別： 四等考試
類 科： 關稅統計
科 目： 統計學概要

解答： $$(一)P(19000\lt X\lt 32200) \Rightarrow P({19000-25600\over 2200}\lt Z\lt {32200-25600\over 2200})\\ =P(-3\lt Z\lt 3)=0.9974 (查表) \Rightarrow 1000\times 0.9974=997.4 \\ \Rightarrow 約有\bbox[red,2pt]{997}位畢業生薪資介於19000與32200之間\\(二)P(19000\lt X\lt 32200) =P(|X-25600|\lt 3\cdot 2200)\ge 1-{1\over 3^2}={8\over 9}\\ \Rightarrow 1000\times {8\over 9}=888.9 \Rightarrow 至少有\bbox[red,2pt]{888}位畢業生薪資介於19000與32200之間\\(三)(一)為常態分配，可查表求得較精確數值，而(二)分配未知，僅能已柴比雪夫不等式估算。$$

解答：

(一) $$\cases{X\sim N(75,20^2=400)\\ Y\sim N(65,21^2=441) } \Rightarrow  X-Y \sim N(75-65,400+441) =N(10,841) \\ \Rightarrow P(X-Y \gt 0) =P(Z\gt {0-10\over \sqrt{841}})= P(Z\gt -0.345)\approx \bbox[red,2pt]{0.6338}$$ (二) $$\cases{X\sim N(75,20^2=400)\\ Y\sim N(65,21^2=441) } \Rightarrow \cases{\bar X\sim N(75,400/5)\\ \bar Y\sim N(65,441/5)} \Rightarrow \bar X-\bar Y\sim N(75-65,400/5+441/5)\\ =N(10,841/5) \Rightarrow P(\bar X-\bar Y\gt 0) = P(Z\gt {0-10\over \sqrt{841/5}}) = P(Z\gt -0.771)=\bbox[red,2pt]{0.7794}$$ (三) $$(一)是單日計算，而(二)是五日平均，兩者不同$$

解答：

(一) $$令\cases{p_A: A國家農藥超標比例\\ p_B: B國家農藥超標比例}，因此\bbox[red,2pt]{\cases{H_0: p_A\le p_B \\ H_1: p_A\gt p_B}}；\\ 若能拒絕H_0，則證明p_A\gt p_B$$ (二) $$依樣本資料\cases{\hat p_A=67/100=0.67\\ \hat p_B=93/150=0.62} \Rightarrow \hat p_A-\hat p_B \sim N(p_A-p_B,{ p_A(1-p_A)\over n_A}+{ p_B(1-p_B) \over n_B})\\ \Rightarrow p_A-p_B的單尾信賴區間=(\hat p_A-\hat p_B- z_{\alpha }\sqrt{{ \hat p_A(1-\hat p_A)\over n_A}+{ \hat p_B(1-\hat p_B)\over n_B}},\infty)\\ =(0.67-0.62-z_{0.1}\sqrt{{0.67\cdot 0.33\over 100}+ {0.62\cdot 0.38\over 150}}, \infty) =(0.05-1.28(查表)\cdot 0.0615,\infty)\\ =(-0.029,\infty) \Rightarrow 原點在信賴區間內\Rightarrow 不能拒絕H_0\\ \Rightarrow \bbox[red,2pt]{沒有證據顯示來自A國家水果農藥超標比例高於來自B國家的水果}$$ (三) $$檢定統計量z={\hat p_A-\hat p_B\over \sqrt{{ \hat p_A(1-\hat p_A)\over n_A}+{ \hat p_B(1-\hat p_B)\over n_B}}} ={0.05\over 0.0615}=0.813 \Rightarrow P(Z\gt 0.813)=1-0.791=0.209\\ \Rightarrow P值=0.209 \not \lt 0.1\\ \Rightarrow 不能拒絕H_0\Rightarrow \bbox[red,2pt]{沒有證據顯示來自A國家水果農藥超標比例高於來自B國家的水果}$$

解答：

(一) $$迴歸直線斜率b_1={\sum (X-\bar X)(Y-\bar Y)\over \sum(X-\bar X)^2} ={28\over 32} ={7\over 8}；\\又迴歸直線經過(\bar X,\bar Y) \Rightarrow y=b_1(x-\bar X)+\bar Y ={7\over 8}(x-3)+4 \\ \Rightarrow 迴歸直線方程式: \bbox[red,2pt]{y=0.875 x+1.375}$$ (二) $$\cases{SST= \sum(Y-\bar Y)^2=26 \\ SSR= b_1^2\sum (X-\bar X)^2 ={49\over 64}\cdot 32=49/2} \Rightarrow SSE= SST-SSR= 26-49/2 = 3/2 \\ \Rightarrow MSE={SSE\over n-2}= (3/2)/(10-2)=3/16= \bbox[red,2pt]{0.1875}$$ (三) $$將x_p=2.5代入迴歸直線，可得\hat y_p =0.875\times 2.5+1.375=3.5625\\ \Rightarrow 信賴區間=\hat y_p \pm t(1-\alpha/2,n-2)\cdot    \sqrt{MSE\cdot \left({1\over n} +{(x_p-\bar X)^2\over \sum (X-\bar X)^2}\right)}  \\=3.5625\pm t(0.025,8)\cdot   \sqrt{0.1875 \cdot \left({1\over 10}+{(2.5-3)^2\over 32}\right)} \\ =3.5625 \pm2.306(查試題附表) \times  0.1422=3.5625\pm 5.778 =\bbox[red,2pt]{(3.2346,3.8904)}$$

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解題僅供參考，其他國考試題及詳解