111 學年度臺中市政府教育局受託辦理本市立國民中學
(含本市立高級中等學校附設國中部)教師甄選
選擇題(共 50 題,每題 2分,共 100 分)
解答:f(x)=xsin(x)+e−x⇒{f(2h)=2hsin(2h)+e−2hf(0)=1f(−2h)=2hsin(2h)+e2h⇒limh→0f(2h)−2f(0)+f(−2h)h2=limh→04hsin(2h)+e2h+e−2h−2h2=limh→04sin(2h)+8hcos(2h)+2e2h−2e−2h2h by l'Hospital rule=limh→016cos(2h)−16hsin(2h)+4e2h+4e−2h2 by l'Hospital rule=242=12,故選(D)解答:x2+3xy+y2+x−y=10對x微分→2x+3y+3xy′+2yy′+1−y′=0⇒y′=−2x+3y+13x+2y−1|(1,2)=−32⇒切線斜率為−32且通過(1,2)⇒切線方程式:y=−32(x−1)+2⇒y=−32x+72,故選(B)
解答:f(x)=ddx(∫cosx1√1+t4dt)=√1+(cosx)4⋅(−sinx)⇒f(π4)=√1+14⋅(−√22)=√52⋅(−√22)=−√104,故選(C)
解答:∞∑k=1(x+1)kk⋅2k⇒an=(x+1)nn⋅2n⇒收斂區間r=limn→∞|an+1an|=limn→∞|x+12⋅nn+1|<1⇒|x+12|<1⇒−2<x+1<2⇒−3<x<1⇒收斂區間[−3,1)(x=−3級數收斂)⇒{a=−3b=1⇒a+4b=−3+4=1,故選(C)
解答:直線L通過A(2,1,3)且方向向量為(1,−3,2)(即平面E:x−3y+2z=4的法向量)⇒L:x−21=y−1−3=z−32;若P∈L⇒P(t+2,−3t+1,2t+3),t∈R⇒d(P,E)=|t+2+9t−3+4t+6−4√1+9+4|=14t+1√14⇒當t=−114時,P(2714,1714,207)在E上因此P=(A+Q)/2,Q為A的對稱點⇒Q=2P−A=(137,107,197)=(α,β,γ)⇒β+γ=297,故選(B)
解答:A=[0−112]=[−1110][1101][0111]=PDP−1⇒An=P[1n01]P−1⇒A111=P[111101]P−1=[−1−1101111][0111]=[−110−111111112]=[abcd]⇒a+c+d=−110+111+112=113,故選(D)
解答:個位數必須是2,4,6,8,有四種選擇;百位數有5種選擇、萬位數有5種選擇、千位數有4種選擇、十位數有3種選擇,共有4×5×5×4×3=1200個偶數,故選(A)
解答:10n−2>9n⇒log10n−2>log9n⇒n−2>2nlog3=2n×0.4771⇒0.0458n>2⇒n>43.67⇒n=44,故選(C)
解答:令{a=3√2+√3b=3√2−√3⇒x=a−b⇒x3=(a−b)3=(a3−b3)−3ab(a−b)=2√3−3⋅1⋅x⇒x3+3x=2√3⇒x3+3x+1=2√3+1,故選(A)
解答:x=1−i√3−i=(√3+1)−(√3−1)i4=1√2(√6+√24−√6−√24i)=1√2(cos(15∘)−isin(15∘))⇒x10=132(cos(150∘)−isin(150∘))=132(−√32−12i)⇒64x10=−√3−i,故選(A)
解答:(A)◯:66≡1(mod13)⇒66111≡1(mod13)⇒66111−1是13的倍數(B)×:2999≡5111≡837(mod13),而{8≡8(mod13)82≡12(mod13)83≡5(mod13)84≡1(mod13)85≡8(mod13)⇒循環數為4⇒837≡8(mod13)⇒2999+5是13的倍數(C)×:68333≡3333≡1111(mod13)⇒2999+1不是13的倍數(D)◯:1850=(182)25≡(13−1)25(mod13)⇒1850+1是13的倍數,故選(C)
解答:令p(x)=1+x+x2+x3+x4,則(1+x+x2+x3+x4)(x+x2+⋯+x10)2=p(x)(xp(x)+x6p(x))2=p(x)(x6+x)2p(x)2=p3(x)(x2+2x7+x12)由於{p3(x)的x3係數=10p3(x)的x8係數=15⇒原式x10係數=2×10+15=35,故選(C)註:p(x)的係數=1,1,1,1,1⇒p2(x)的係數1,2,3,4,5,4,3,2,1⇒p3(x)的係數1,3,6,10,15,18,19,18,15,10,6,3,1
解答:logx+2logy=1⇒logxy2=1⇒xy2=10⇒3x+2y22≥√6xy2=√60⇒3x+2y2≥2√60=4√15⇒3x+2y2的最小值為4√15,故選(C)
解答:兩根為3±√5⇒兩根之和=6=9cosθ⇒cosθ=23⇒1−2sin2θ2=23⇒sin2θ2=16⇒sinθ2=√66,故選(A)
解答:{1+2x−x2+x33+x+x2+2x3−1+x−2x2+2x30−2x+x2+2x3⇒A=[12−113112−11−220−212 ]⇒rref(A)=[1003010−3001−40000]⇒Rank(A)=3,故選(C)
解答:{3x+3y−z=104x−y−3z=2mnx−4y−2z=m−2⇒[33−14−1−3n−4−2][xyz]=[102mm−2]≡Ax=b無解⇒det([34−14−1−3n−4−2])=0⇒10−10n=0⇒n=1⇒{3x+3y−z=10⋯(1)4x−y−3z=2m⋯(2)x−4y−2z=m−2⋯(3)⇒{3×(3)−(1)⇒−15y−5z=3m−164×(3)−(2)⇒−15y−5z=2m−8⇒3m−16=2m−8⇒m=8⇒m−n=8−1=7,故選(D)
解答:
|(z−1)(z+12)|=|z−1||z+12|=¯PAׯPB,其中{P在圓周上A(1,0)B(−1/2,0),見上圖;{cos∠POA=cosθ=¯OA2+¯OP2−¯PA22⋅¯OA⋅¯OP=2−¯PA22⇒¯PA2=2−2cosθcos∠POB=−cosθ=¯OB2+¯OP2−¯PB22⋅¯OB⋅¯OP=54−¯PB2⇒¯PB2=cosθ+54⇒α2=f(θ)=¯PA2ׯPB2=(2−2cosθ)(cosθ+54)=−2cos2θ−12cosθ+52⇒α2的最大值=f(−18)=−264+116+52=8132,故選(B)解答:
解答:limx→0sinx−xx=limx→0cosx−11=1−11=0,故選(C)
解答:f(x)=cos(sin(x))⇒f′(x)=−sin(sin(x))cos(x)⇒f′(0)=0,故選(B)
解答:f(x)=cos(sin(x))⇒f′(x)=−sin(sin(x))cos(x)⇒f′(0)=0,故選(B)
解答:y=x2⇒y′=2x|(1,1)=2⇒L斜率為2⇒L:y=2(x−1)+1⇒y=2x−1與x軸交於(12,0)⇒x坐標=12,故選(D)
解答:f(x,y)=x2+y2⇒{fx=2xfy=2y⇒∇f(x,y)=(2x,2y)⇒∇f(1,1)=(2,2),故選(C)
解答:取u=x2⇒du=2xdx⇒∫√π0xcosx2dx=∫π012cosudu=[12sinu]|π0=0,故選(B)
解答:limn→∞1nn∑k=0(kn)4=∫10x4dx=15,故選(D)
解答:本題與42題一樣,都是採用羅必達(l'Hospital rule),再加萊布尼茲積分法:lims→π∫sπcos3xdxs−π=lims→πcos3s1=−1,故選(D)
解答:xk=1+1k2>1⇒f(xk)=1,故選(D)
解答:14+(14)2+(14)3+⋯=1/41−1/4=13,故選(C)
解答:顯然是(D),故選(D)
解答:sinx=x−x33!+x55!−x77!+⋯沒有偶次項,故選(B)
解答:y=∞∑k=0xkk!⇒y′=∞∑k=1xk−1(k−1)!=∞∑k=0xkk!=y⇒y′=y,故選(B)
解答:y=∞∑k=0kxkk!⇒y′=∞∑k=1k2xk−1k!⇒y″=∞∑k=2k2(k−1)xk−2k!⇒y‴=∞∑k=3k2(k−1)(k−2)xk−3k!⇒y‴(0)=9⋅2⋅13!=3,故選(C)
解答:(2×3)(m×n)(5×8)⇒{m=3n=5,故選(C)
解答:|3468|=3⋅8−6⋅4=0,其他選項行列式皆不為0,故選(C)
解答:AX=0⇒{x+y+z=0x+2y+3z=0,兩平面相交為一直線,故選(B)
解答:A=[111−1]/√2=[1/√21/√21/√2−1/√2]=[cos45∘sin45∘sin45∘−cos45∘]為直線鏡射矩陣,故選(C)
解答:A=[112134112]⇒rref(A)=[101011000]⇒Rank(A)=2⇒Null(A)=1,故選(D)
解答:2×3=6,故選(D)
解答:取{u=x2⇒du=2xdxdv=cosxdx⇒v=sinx⇒∫x2cosxdx=x2sinx−2∫xsinxdx再取{u=x⇒du=dxdv=sinxdx⇒v=−cosx,則∫x2cosxdx=x2sinx−2(−xcosx+sinx)⇒∫π0x2cosxdx=[x2sinx+2xcosx−2sinx]|π0=−2π,故選(D)
解答:E(X+1)=E(X)+1=3⇒E(X)=2;E[(X+1)2]=E(X2+2X+1)=E(X2)+2E(X)+1=E(X2)+4+1=20⇒E(X2)=15Var(2X−1)=E[(2X−1)2]−(E(2X−1))2=E(4X2−4X+1)−(2E(X)−1)2=4E(X2)−4E(X)+1−(2⋅2−1)2=60−8+1−9=44,故選(C)
解答:取{u=f(x)⇒du=f′(x)dxdv=sinxdx⇒v=−cosx⇒∫f(x)sinxdx=−cosxf(x)+∫f′(x)cosxdx再取{u=f′(x)⇒df=f″(x)dxdv=cosxdx⇒v=sinx⇒∫f′(x)cosxdx=f′(x)sinx−∫f″(x)sinxdx因此∫f(x)sinxdx=−cosxf(x)+f′(x)sinx−∫f″(x)sinxdx原式∫π0(f″(x)+f(x))sinxdx=[−cosxf(x)+f′(x)sinx]|π0=f(π)−12=0⇒f(π)=12,故選(B)
解答:點數和為5的情況:(1,4),(4,1),(2,3),(3,2),共四種情況,機率p=436=19因此P(X=1)=p,P(X=2)=(1−p)p,..,P(X=n)=(1−p)n−1p,n∈N⇒X∼Geometric(p)⇒期望值E(X)=1p⇒E(5X−1)=5E(X)−1=5p−1=45−1=44,故選(D)
解答:f(x)=cos22x+4cos2x−4⇒f′(x)=−4cos2xsin2x−8cosxsinx=−4cos2xsin2x−4sin2x=−4sin2x(cos2x+1)=0⇒{sin2x=0⇒x=kπ/2,k∈Zcos2x=−1⇒x=(2k−1)π/2,k∈Z⇒cos2x=−1且cos2x=0,則f(x)有最小值⇒f(π/2)=1+0−4=−3,故選(B)
解答:limx→0x−3∫2x0t21+t3dt=limx→0∫2x0t21+t3dtx3=limx→04x21+8x3⋅23x2=limx→08x23x2+24x5=limx→016x6x+120x4=limx→0166+480x3=166=83,故選(D)
解答:x+1x=2cosθ⇒(x+1x)2=x2+1x2+2=4cos2θ⇒x2+1x2=4cos2θ−2⇒x3+1x3=(x+1x)(x2−1+1x2)=2cosθ(4cos2θ−3)=2(4cos3θ−3cosθ)=2cos3θ,故選(A)
解答:a+b4=a3+a3+a3+b4≥4√a3b27⇒1≥4√a3b27⇒a3b≤27⇒loga3b≤log27⇒3loga+logb≤3log3,故選(D)
解答:38+36+34+32+134+33+32+3+1=1−3101−321−351−3=310−18⋅235−1=35+14=61,故選(B)
解答:假設x=p為其共同根⇒{x2+kx+1=(x−p)(x−q)x2+x+k=(x−p)(x−r),兩式相除⇒x2+kx+1x2+x+k=x−qx−r⇒x3+(k−r)x2+(1−kr)x−r=x3+(1−q)x2+(k−q)x−kq⇒{k−r=1−q⋯(1)1−kr=k−q⋯(2)r=kq⋯(3),將(3)代入(1)及(2)⇒{k−kq=1−q⇒q=1⋯(4)1−k2q=k−q⋯(5)將(4)代入(5)⇒1−k2=k−1⇒k2+k−2=0⇒(k+2)(k−1)=0⇒k=1,−2⇒1−2=−1,故選(A)
解答:|ab||a+b|ab小計05050−550−504140231221−1−2−2−14323−1−13−311−34410500⇒共12組答案,故選(D)
解答:d=32⇒最小的∑ai=32×50=1600>1504⇒d≠32d=16⇒最小的∑ai=16×50=800<1504,又(1504−800)÷16=44⇒a1=a2=⋯=a6=16,a7=a8=⋯=a50=32滿足16∣ai,i=1−50因此最大的d=16,故選(C)
解答:
解答:f(x,y)=x2+y2⇒{fx=2xfy=2y⇒∇f(x,y)=(2x,2y)⇒∇f(1,1)=(2,2),故選(C)
解答:取u=x2⇒du=2xdx⇒∫√π0xcosx2dx=∫π012cosudu=[12sinu]|π0=0,故選(B)
解答:limn→∞1nn∑k=0(kn)4=∫10x4dx=15,故選(D)
解答:本題與42題一樣,都是採用羅必達(l'Hospital rule),再加萊布尼茲積分法:lims→π∫sπcos3xdxs−π=lims→πcos3s1=−1,故選(D)
解答:xk=1+1k2>1⇒f(xk)=1,故選(D)
解答:14+(14)2+(14)3+⋯=1/41−1/4=13,故選(C)
解答:顯然是(D),故選(D)
解答:sinx=x−x33!+x55!−x77!+⋯沒有偶次項,故選(B)
解答:y=∞∑k=0xkk!⇒y′=∞∑k=1xk−1(k−1)!=∞∑k=0xkk!=y⇒y′=y,故選(B)
解答:y=∞∑k=0kxkk!⇒y′=∞∑k=1k2xk−1k!⇒y″=∞∑k=2k2(k−1)xk−2k!⇒y‴=∞∑k=3k2(k−1)(k−2)xk−3k!⇒y‴(0)=9⋅2⋅13!=3,故選(C)
解答:(2×3)(m×n)(5×8)⇒{m=3n=5,故選(C)
解答:|3468|=3⋅8−6⋅4=0,其他選項行列式皆不為0,故選(C)
解答:AX=0⇒{x+y+z=0x+2y+3z=0,兩平面相交為一直線,故選(B)
解答:A=[111−1]/√2=[1/√21/√21/√2−1/√2]=[cos45∘sin45∘sin45∘−cos45∘]為直線鏡射矩陣,故選(C)
解答:A=[112134112]⇒rref(A)=[101011000]⇒Rank(A)=2⇒Null(A)=1,故選(D)
解答:2×3=6,故選(D)
解答:取{u=x2⇒du=2xdxdv=cosxdx⇒v=sinx⇒∫x2cosxdx=x2sinx−2∫xsinxdx再取{u=x⇒du=dxdv=sinxdx⇒v=−cosx,則∫x2cosxdx=x2sinx−2(−xcosx+sinx)⇒∫π0x2cosxdx=[x2sinx+2xcosx−2sinx]|π0=−2π,故選(D)
解答:E(X+1)=E(X)+1=3⇒E(X)=2;E[(X+1)2]=E(X2+2X+1)=E(X2)+2E(X)+1=E(X2)+4+1=20⇒E(X2)=15Var(2X−1)=E[(2X−1)2]−(E(2X−1))2=E(4X2−4X+1)−(2E(X)−1)2=4E(X2)−4E(X)+1−(2⋅2−1)2=60−8+1−9=44,故選(C)
解答:取{u=f(x)⇒du=f′(x)dxdv=sinxdx⇒v=−cosx⇒∫f(x)sinxdx=−cosxf(x)+∫f′(x)cosxdx再取{u=f′(x)⇒df=f″(x)dxdv=cosxdx⇒v=sinx⇒∫f′(x)cosxdx=f′(x)sinx−∫f″(x)sinxdx因此∫f(x)sinxdx=−cosxf(x)+f′(x)sinx−∫f″(x)sinxdx原式∫π0(f″(x)+f(x))sinxdx=[−cosxf(x)+f′(x)sinx]|π0=f(π)−12=0⇒f(π)=12,故選(B)
解答:點數和為5的情況:(1,4),(4,1),(2,3),(3,2),共四種情況,機率p=436=19因此P(X=1)=p,P(X=2)=(1−p)p,..,P(X=n)=(1−p)n−1p,n∈N⇒X∼Geometric(p)⇒期望值E(X)=1p⇒E(5X−1)=5E(X)−1=5p−1=45−1=44,故選(D)
解答:f(x)=cos22x+4cos2x−4⇒f′(x)=−4cos2xsin2x−8cosxsinx=−4cos2xsin2x−4sin2x=−4sin2x(cos2x+1)=0⇒{sin2x=0⇒x=kπ/2,k∈Zcos2x=−1⇒x=(2k−1)π/2,k∈Z⇒cos2x=−1且cos2x=0,則f(x)有最小值⇒f(π/2)=1+0−4=−3,故選(B)
解答:limx→0x−3∫2x0t21+t3dt=limx→0∫2x0t21+t3dtx3=limx→04x21+8x3⋅23x2=limx→08x23x2+24x5=limx→016x6x+120x4=limx→0166+480x3=166=83,故選(D)
解答:x+1x=2cosθ⇒(x+1x)2=x2+1x2+2=4cos2θ⇒x2+1x2=4cos2θ−2⇒x3+1x3=(x+1x)(x2−1+1x2)=2cosθ(4cos2θ−3)=2(4cos3θ−3cosθ)=2cos3θ,故選(A)
解答:a+b4=a3+a3+a3+b4≥4√a3b27⇒1≥4√a3b27⇒a3b≤27⇒loga3b≤log27⇒3loga+logb≤3log3,故選(D)
解答:38+36+34+32+134+33+32+3+1=1−3101−321−351−3=310−18⋅235−1=35+14=61,故選(B)
解答:假設x=p為其共同根⇒{x2+kx+1=(x−p)(x−q)x2+x+k=(x−p)(x−r),兩式相除⇒x2+kx+1x2+x+k=x−qx−r⇒x3+(k−r)x2+(1−kr)x−r=x3+(1−q)x2+(k−q)x−kq⇒{k−r=1−q⋯(1)1−kr=k−q⋯(2)r=kq⋯(3),將(3)代入(1)及(2)⇒{k−kq=1−q⇒q=1⋯(4)1−k2q=k−q⋯(5)將(4)代入(5)⇒1−k2=k−1⇒k2+k−2=0⇒(k+2)(k−1)=0⇒k=1,−2⇒1−2=−1,故選(A)
解答:|ab||a+b|ab小計05050−550−504140231221−1−2−2−14323−1−13−311−34410500⇒共12組答案,故選(D)
解答:d=32⇒最小的∑ai=32×50=1600>1504⇒d≠32d=16⇒最小的∑ai=16×50=800<1504,又(1504−800)÷16=44⇒a1=a2=⋯=a6=16,a7=a8=⋯=a50=32滿足16∣ai,i=1−50因此最大的d=16,故選(C)
解答:
斜線區域面積=正方形扣除右上角的△BPC=1−12(2−a)2=−a22+2a−1,故選(C)
================= END ==================
解題僅供參考,教甄歷屆試題及詳解
謝謝老師的詳解!!
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