111年高考二級-應用數學詳解

 111年公務人員高等考試二級考試試題

等 別：高考二級
類 科：氣象
科 目：應用數學（包括微積分、微分方程、初步複變函數與向量分析）

解答：

$$f(x)=4x^3+ 6x^2-24x-5 \Rightarrow f'(x)=12x^2+12 x-24 \\ f'(x)=0 \Rightarrow 12(x^2+x-2)=12(x+2) (x-1)=0 \Rightarrow x=1,-2(-2\not \in[0,2])\\ \Rightarrow \cases{f(1)=4+6-24-5=-19\\   f(0)=-5\\ f(2)= 32+24 -48-5=3} \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{\cases{最大值=3\\ 最小值=-19}}$$

解答： $$y''+ 2y'+5y=20e^{3x}，先求齊次解，即y_h''+2y_h'+5y_h=0 \Rightarrow \lambda^2+ 2\lambda +5=0\\ \Rightarrow \lambda =-1\pm 2i \Rightarrow y_h=e^{-x}(A\cos 2x+B\sin 2x) \\ 接著令y_p=Ce^{3x} \Rightarrow y_p'= 3Ce^{3x} \Rightarrow y_p''=9Ce^{3x} \Rightarrow y_p''+2y_p'+ 5y_p = 20Ce^{3x} =e^{3x} \\ \Rightarrow C=1 \Rightarrow y_p= e^{3x} \Rightarrow y=y_h+ y_p =e^{-x}(A\cos 2x+ B\sin 2x) +e^{3x} \\ \Rightarrow y'= e^{-x}((2B-A)\cos 2x-(2A+B) \sin 2x)+ 3e^{3x}\\ 將\cases{y(0)=2\\ y'(0) = 6} 代入\Rightarrow \cases{A+1=2\\ -A+2B+3 = 6} \Rightarrow \cases{A=1\\ B=2} \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{y=e^{-x}(\cos 2x+ 2\sin 2x) +e^{3x}}$$

解答： $$f(z)=e^{3z} \Rightarrow f'(z)=3e^{3z} \Rightarrow f''(z)=9e^{3z} \\再利用柯西積分公式: \oint_C {f(z)\over z^3}\,dz ={2\pi i \over 2!} f''(0) =\pi \cdot 9= \bbox[red, 2pt]{9\pi}$$

解答： $$令\cases{x(t)=\cos t\\ y(t)=\sin t}, t=1-2\pi \Rightarrow \cases{P(x,y)=3y \Rightarrow P(x(t),y(t))= 3\sin t\\ Q(x,y)=-2x \Rightarrow Q(x(t),y(t)) =-2\cos t} \\\Rightarrow \int_C \mathbf F\cdot dr =\int_0^{2\pi}  P(x(t),y(t))x'(t)+Q(x(t), y(t)y'(t)\,dt = \int_0^{2\pi} 3\sin t(-\sin t)-2\cos t(\cos t)\,dt \\ =\int_0^{2\pi} -3\sin^2 t-2\cos^2 t\,dt =\int_0^{2\pi}  -3+\cos^2 t\,dt =\int_0^{2\pi}  -{5\over 2}+ {1\over 2}\cos 2 t\,dt \\ =\left. \left[ -{5\over 2}t+ {1\over 4}\sin 2t\right] \right|_0^{2\pi} =\bbox[red, 2pt]{-5\pi}$$

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