112年調查三等-工程數學詳解

112年法務部調查局調查人員考試試題

考 試 別： 調查人員
等 別： 三等考試
類 科 組： 電子科學組
科 目： 工程數學

解答： $$y''-{4\over x}y'+{4\over x^2}y = x^2+1 ，先求齊次解，即y''-{4\over x}y'+{4\over x^2}y =0\Rightarrow x^2y''- 4xy'+4y=0\\ 取y=x^m \Rightarrow y'=mx^{m-1} \Rightarrow y''=m(m-1)x^{m-2} \Rightarrow m(m-1)x^m-4mx^m+4x^m=0\\ \Rightarrow (m^2-5m+4)x^m=0 \Rightarrow (m-4)(m-1)=0 \Rightarrow m=1,4 \Rightarrow y_h=c_1x+ c_2x^4\\ \text{接下來用參數變換法(variations of parameters)}: 令r(x)=x^2+1\\令\cases{y_1=x\\ y_2=x^4} \Rightarrow \cases{y_1'=1\\ y_2'= 4x^3} \Rightarrow W(y_1,y_2)=y_1y_2'-y_2y_1' =4x^4- x^4=3x^4\\ \Rightarrow y_p =-y_1 \int {y_2r(x)\over W}dx+ y_2\int {y_1r(x)\over W}dx =-x \int { x^4(x^2+1) \over 3x^4}dx +x^4 \int{x(x^2+1) \over 3x^4}dx \\=-{x\over 3} \int x^2+1\,dx +{x^4\over 3}\int {1\over x}+{1\over x^3}\,dx =-{x\over 3}({1\over 3}x^3+x) +{x^4\over 3}(\ln x-{1\over 2x^2}) \\ =-{1\over 9}x^4-{1\over 2}x^2+{1\over 3}x^4\ln x \Rightarrow y=y_h+y_p  \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{y=C_1x +C_2x^4-{1\over 2}x^2+{1\over 3}x^4\ln x,C_1與C_2為常數}$$

解答： $$L\{f(t)\} =\int_0^1 1\cdot e^{-st}\,dt +\int_1^2 t\cdot e^{-st}\,dt + \int_2^3 t^2\cdot e^{-st}\,dt \\= \left. \left[-{1\over s}e^{-st} \right] \right|_0^1 + \left. \left[{1\over s^2}e^{-st}(-st-1) \right] \right|_1^2 + \left. \left[-{1\over s}t^2 e^{-st}+{2\over s^3}e^{-st}(-st-1) \right] \right|_2^3 \\=\left(-{1\over s}e^{-s}+{1\over s} \right)+ \left({1\over s}e^{-s}(1-2e^{-s}) + {1\over s^2}e^{-s}(1-e^{-s}) \right) \\\qquad +{1\over s}e^{-2s}(4 -9e^{-s}) +{1\over s^2}e^{-2s}(4-6e^{-s}) +{1\over s^3}e^{-2s}(2-2e^{-s}) \\=\bbox[red, 2pt]{{1\over s^3}\left(s^2(1-9e^{-3s}+ 2e^{-2s}) +s(3e^{-2s}+ e^{-s}-6e^{-3s} )-2e^{-3s}+2e^{-2s} \right)}$$

解答： $$z=t+it \Rightarrow dz=(1+i)dt \Rightarrow \int_\Gamma z^2\,dz = \int_0^1 (t+it)^2(1+i)\,dt =\int_0^1 2it^2-2t^2\,dt \\ =\left. \left[ {2\over 3}it^3-{2\over 3}t^3 \right] \right|_0^1 =\bbox[red, 2pt]{-{2\over 3}+i{2\over 3}}$$

解答： $$z=2+3i =\sqrt{13}({2\over \sqrt{13}}+ i{3\over \sqrt{13}}) =\sqrt{13} (\cos\theta+ i\sin \theta) =\sqrt{13}e^{i\theta},其中\cases{\cos\theta=2/\sqrt{13} \\ \sin\theta= 3/\sqrt{13}} \\ \Rightarrow \ln z=|z|+ \arg(z) =\sqrt{13}+i\theta+ i2n\pi \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{\cases{a=\sqrt{13}\\ b=\theta +2n\pi},其中n\in \mathbb Z且\cases{\cos\theta=2/\sqrt{13} \\ \sin\theta= 3/\sqrt{13}}}$$

解答： $$向量x在\left\{\begin{bmatrix}1\\ 0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix} \right\}為基底的座標為-2\begin{bmatrix}0\\ 1\end{bmatrix}+1\begin{bmatrix}-1\\ 2\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-1\\ 0\end{bmatrix}\\ 假設向量x在\left\{\begin{bmatrix}1\\-2 \end{bmatrix},\begin{bmatrix}1 \\ -1\end{bmatrix} \right\}為基底的座標為\begin{bmatrix}a \\ b \end{bmatrix} \Rightarrow a\begin{bmatrix}1\\-2 \end{bmatrix}+b\begin{bmatrix}1 \\ -1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-1\\ 0\end{bmatrix}\\ \Rightarrow \cases{a+b=-1\\ -2a-b=0} \Rightarrow \cases{a=1\\ b=-2} \Rightarrow \bbox[red,2pt]{\begin{bmatrix}1 \\ -2 \end{bmatrix} }$$

解答： $$\mathbf{(一)}\;A=\begin{bmatrix}1 &-1 &0 \\0 &1 & 1 \\0 &0 &-1 \end{bmatrix} \Rightarrow \det(A)=\bbox[red,2pt]{-1} \\\mathbf{(二)}\; \det(A-\lambda I)=0 \Rightarrow -\lambda^3 +\lambda^2+\lambda-1 =0 \Rightarrow -(\lambda-1)^2(\lambda +1)=0 \Rightarrow 特徵值\lambda =1,-1\\ \lambda_1=1 \Rightarrow (A-\lambda_1 I)x =0 \Rightarrow x_2=x_3=0,取v_1= \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\0 \end{bmatrix} \\ \lambda_2=-1 \Rightarrow (A-\lambda_2 I)x=0 \Rightarrow \cases{2x_1=x_2\\ 2x_2+x_3=0}, 取v_2=\begin{bmatrix}1 \\ 2 \\-4 \end{bmatrix} \\ \qquad 特徵值為\bbox[red,2pt]{1,-1},對應之特徵向量為\bbox[red, 2pt]{\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1 \\ 2 \\-4 \end{bmatrix}} \\\mathbf{(三)} Ax=\begin{bmatrix}1 &-1 &0 \\0 &1 & 1 \\0 &0 &-1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\ x_2 \\x_3 \end{bmatrix}= 0 \Rightarrow \cases{x_1-x_2=0\\ x_2+x_3=0\\ -x_3=0} \Rightarrow x_1=x_2=x_3=0 \\ \qquad \Rightarrow \text{null space of }A=\bbox[red, 2pt]{\{(0,0,0)\}}$$

解答： $$\sum p(x) =1 \Rightarrow a+2a+3a+2a+ a=9a=1 \Rightarrow a={1\over 9}\\ E(X) =\sum xp(x) =0\cdot a+1\cdot 2a+ 2\cdot 3a+ 3\cdot 2a +4\cdot a=18a=2\\ E(X^2)= \sum x^2p(x)=0^2\cdot a+1^2\cdot 2a+ 2^2\cdot 3a+ 3^2 \cdot 2a +4^2\cdot a =48a={16\over 3} \\ \Rightarrow Var(X) =E(X^2)-(E(X))^2 ={16\over 3}-2^2 ={4\over 3}  \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{\cases{a=1/9\\ 期望值=2\\ 變異數=4/3}}$$

解答： $$四張都是A,剩下一張有52-4=48種情形,因此每種鐵支都有48種,共13\times 48種鐵支\\ 機率為{13\times 48\over C^{52}_5} =\bbox[red, 2pt]{1\over 4165}$$
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