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2024年12月27日 星期五

110年中山大學海下碩士班-工程數學詳解

 國立中山大學110學年度碩士班招生考試

科目名稱:工程數學【海下所碩士班】

解答:limxlnxxa+1=limxddxlnxddxxa+1=limx1/x(a+1)xa=limx1(a+1)xa+1=0
解答:(1) v1=u1=<3,1>⇒e1=v1|v1|=<310,110>=<31010,1010>v2=u2(u2e1)e1=<1,1>2105<31010,1010>=<15,35>e2=v2|v2|=<1010,31010> an orthonormal basis: {e1,e2}={<31010,1010>,<1010,31010>}(2) v1=u1=<1,1,1>⇒e1=v1|v1|=<33,33,33>v2=u2(u2e1)e1=<1,2,2>533<33,33,33>=<23,13,13>e2=v2|v2|=<63,66,66>v3=u3(u3e1)e1(u3e2)e2=<0,12,12>⇒e3=v3|v3|=<0,22,22> an orthonormal basis: {e1,e2,e3}={<33,33,33>,<63,66,66><0,22,22>}
解答:A=[221110010]AT=[210211100]{B=12(A+AT)C=12(AAT){B=[23/21/23/211/21/21/20]C=[01/21/21/201/21/21/20]
解答:dydx+y=xexdydx+yex=xex(exy)=xexexy=xexdx=xexex+c1y=x1+c1exy(0)=1+c1=3c1=4y=x1+4ex
解答:(1) L{sin(2t)}=0estsin(2t)dt=12i0est(e2tie2ti)dt=12i0(e(2is)te(2i+s)t)dt=12i[12ise(2is)t+12i+se(2i+s)t]|0=12i(12is+12i+s)=12i(2i+s4s2+2is4s2)=12i4is2+4=2s2+4(2) L{dydt}+3L{y}=13L{sin(2t)}sY(s)6+3Y(s)=132s2+4(s+3)Y(s)=26s2+4+6Y(s)=26(s2+4)(s+3)+6s+3y(t)=L1{Y(s)}=L1{26(s2+4)(s+3)+6s+3}=L1{2s+6s2+4+8s+3}y(t)=2cos(2t)+3sin(2t)+8e3t
解答:Bessel’s equation of order ν is given byx2y+xy+(x2v2)y=0
解答:yx2+(x281)y=xyyx2+xy+(x292)y=0 is a Bessel's equation of order v=9y=c1J9(x)+c2Y9(x), where J9(x)=n=0(1)nn!Γ(n+10)(x2)2n+9,J9(x)=n=0(1)nn!Γ(n8)(x2)2n9 and Y9(x)=limv9cosvπJv(x)Jv(x)sinvπ
解答:Case I k=0:y=0y=c1x+c2{y(0)=c2=0y(L)=c1L+c2=0{c1=0c2=0y=0Cases II k>0:y+ky=0y=c1cos(kx)+c2sin(kx)y(0)=c1=0y(L)=c2sin(kL)=0kL=nπk=n2π2L2,nNCase III k<0:y+ky=0y=c1ekx+c2ekxy(0)=c1+c2=0c2=c1y=c1ekxc1ekxy(L)=c1ekLc1ekL=0c1(e2kL1)=0c1=0c2=0y=0Summary, eigenfunctions: yn(x)=cnsin(nπxL),nN
解答:f(t) with period 2f(t)={10t111t2f(t)={10t111t0cn=1211f(t)einπtdt=12(01einπtdx+10einπtdt)=12([1inπeinπt]|01+[1inπeinπt]|10)=12(2inπ1inπ(einπ+einπ))=1inπ(1(1)n),n=0,±1,±2,f(t)=n=1inπ(1(1)n)einπt

========================== END =========================

解題僅供參考,碩士班歷年試題及詳解

2 則留言:

  1. 第5題的(2),倒數第二行中,不是2/(s+3),要是8/(s+3),故最後答案後面應是,8e^(-3t)

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