113年台北市國中教甄聯招-資優數學詳解

臺北市 113 學年度市立國民中學正式教師聯合甄選

特殊教育（資優數學）科題本

貳、專業科目
選擇題（共 40 題，每題 1.75 分，共 70 分）

解答:$$f(2)=32a-8b+2c-6=10 \Rightarrow 32a-8b+2c=16 \\\Rightarrow f(-2)=-32a+8b-2c-6=-16-6=-22，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$\cases{y=7-\sqrt{x+1}的最大值發生在x+1=0 \Rightarrow 最大值=7=a\\ y=x^2+6x-3=(x+3)^2-12的最小值=-12=b} \\ \Rightarrow ab=7\times(-12)=-84，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$a:b:c= 1:2 :3 \Rightarrow \cases{a=k\\ b=2k\\ c=3k} \Rightarrow f(a+b+c) ={(b+c)(a+c)(a+b) \over abc} +{ab+ bc+ca\over (a+b+c)^2} \\={5k\cdot 4k\cdot 3k\over 6k^3}+{2k^2+6k^2+3k^2\over 36k^2} =10+{11\over 36 } ={371\over 36}，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$y=2x^2+5 \xrightarrow{右移1單位} y=2(x-1)^2+5  \xrightarrow{下移2單位}y=2(x-1)^2+5-2\\ \Rightarrow y=2(x-1)^2+3，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$甲的正因數:1,2,3,4,6,a,b,c ,甲 \Rightarrow 甲的正因數有9(奇數)個\Rightarrow 甲是完全平方數 \Rightarrow  甲=36\\ 乙的正因數:1,2,3,4,6,d,e,乙\Rightarrow \cases{d=8\\ e=12\\ 乙=24} \Rightarrow 甲-乙=36-24=12，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$一開始\cases{甲:1-91號球\\ 乙:\times\\ 丙:\times} \xrightarrow{第一步驟後} \cases{甲:1-91的奇數球,共46球\\ 乙:2-90的偶數球,共45球\\ 丙:\times} \\\xrightarrow{第二步驟後} \cases{甲:1-91的奇數球,共46球\\ 乙:2-90的偶數球但不是六的倍數,共30球\\ 丙:6-90中六的倍數球,共15球} \Rightarrow \cases{a=46\\ b=30\\ c=15}，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$2x+p \lt 4x-2 \Rightarrow x\gt 1+{p\over 2} \Rightarrow 小於4的整數解有3個\Rightarrow x=3,2,1 ，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$\sum_{n=1}^{77} \left( 1+(n-1)\times {1\over 4} \right) =\sum_{n=1}^{77} 1+{1\over 4}\sum_{n=1}^{77} (n-1) =\sum_{n=1}^{77} 1+{1\over 4}\sum_{n=1}^{77} n-{1\over 4}\sum_{n=1}^{77} 1 \\={3\over 4}\sum_{n=1}^{77} 1 +{1\over 4}\sum_{n=1}^{77} n={3\over 4}\cdot 77+{1\over 4}\cdot{78\cdot 77\over 2} ={77\over 4}(3+39) ={77\cdot 21\over 2}，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$f(x)=ax^2 +bx+c \Rightarrow \cases{f(0)=c=-1\\ f(1)=a+b+c=4\\ f(2)=4a+2b+c=13} \Rightarrow \cases{a=2\\ b=3\\ c=-1} \\ \Rightarrow f(x)=2x^2+3x-1 \Rightarrow f(-1)=2-3-1=-2，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$\cases{A(5,1) \\B(-2,3)} \Rightarrow \cases{\overline{AB}斜率=-2/7\\ P=\overline{AB}中點=(3/2,2)} \Rightarrow 中垂線斜率=7/2且經過P(3/2,2) \\ \Rightarrow 中垂線方程式: y={7\over 2}(x-{3\over 2})+2 \Rightarrow 14x-4y=13，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$(a-1)^2+ a^2 +(a+1)^2=149 \Rightarrow 3a^2+2=149 \Rightarrow a^2=49 \Rightarrow a=7 \\ \Rightarrow 三數和=a-1+a+a+1=3a=21，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$y=-x^2+4=0 \Rightarrow x=\pm 2 \Rightarrow 面積A=\int_{-2}^2 (-x^2+4)\,dx =2\int_0^2 (-x^2+4) \,dx \\= 2 \left. \left[ -{1\over 3}x^3+4x \right] \right|_0^2 = {32\over 3}，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$\cases{7^1 的個位數字=7 \\7^2 的個位數字=9 \\ 7^3 的個位數字=3 \\7^4 的個位數字=1 \\ 7^5 的個位數字=7 } \Rightarrow 循環數4 \Rightarrow 2024 \equiv 0 {\mod 4} \Rightarrow 7^{2024} 的個位數字=7^4的個位數字1\\，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$f(x)=x^7+x^2-1=(x^2+1)p(x)+ ax+b \Rightarrow  f(i) =-i-1-1=-i-2=ai+b  \Rightarrow \cases{a=-1\\ b=-2}\\，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$${x^3+4x^2-x-4\over x^2+2x+1} ={x^3+4x^2-x-4\over x^2+2x+1} ={x^2(x+4)-(x+4) \over (x+1)^2}= {(x^2-1)(x+4) \over (x+1)^2} \ge 0\\ \Rightarrow (x-1)(x+1)(x+4)\ge 0 \Rightarrow x\ge 1,或-4\le x\le -1\\ 分母(x+1)^2 \ne 0 \Rightarrow x\ne -1 \Rightarrow x\ge 1或-4\le x\lt -1，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$剛出發就有一艘輪船駛向巴黎，每半小時遇到1艘對向來的輪船，\\七小時遇到14+1=15艘，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$\left( x+{1\over x} \right)^{10} = \sum_{n=0}^{10} {10\choose n} {x^n\over x^{10-n}}  = \sum_{n=0}^{10} {10\choose n}   x^{2n-10} \Rightarrow 2n-10=2 \Rightarrow n=6 \\\Rightarrow x^2係數={10\choose 6}  = {10!\over 6! 4!} =210，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$\sum_{k=1}^n k={n(n+1) \over 2} \Rightarrow {1\over 1}+{1\over 1+2} +{1\over 1+2+3} +\cdots+{1\over 1+2+\cdots+n}+\cdots \\= \sum_{n=1}^\infty {1\over n(n+1)/2} =2\sum_{n=1}^\infty \left( {1\over n}-{1\over n+1} \right) =2，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$495=3^2\times 5\times 11\Rightarrow  2+7+3+x+4+9+y+5=30+x+y 是3的倍數,也是9的倍數\\，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$\cases{\alpha+\beta=2 \\\alpha\beta =-5} \Rightarrow \cases{1/\alpha+ 1/\beta= (\alpha+\beta)/\alpha\ \beta=-2/5\\ (1/\alpha)\cdot (1/\beta)=1/\alpha\beta=-1/5} \Rightarrow x^2+{2\over 5}x-{1\over 5}=0 \\ \Rightarrow 5x^2+2x-1=0，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$假設預先繳交費用的同學有a人,共收了450\times 10\%\times a= 45a元的服務費 \\ \Rightarrow 45a=3\times450 \Rightarrow a=30，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$L:y=2x-4 \Rightarrow \cases{A(2,0) \\B(0,-4)} \Rightarrow \overline{OB}=4 \Rightarrow \triangle OBP={1\over 2}\cdot 4\cdot a=2a=8 \Rightarrow a=4 \\ \Rightarrow P的x坐標為\pm a \Rightarrow \cases{x=-4 \Rightarrow y=2\cdot (-4)-4=-12\\ x=4 \Rightarrow y=2\cdot 4-4=4} ，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$珍珠紅茶熱量:105\times 4+28\times 2.5=490 \Rightarrow 剩下1800-490=1310大卡\\ 而1310=710(肉絲蛋炒飯)+600(燒烤鮭魚飯)，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$10個數的中位數=排序第5與第6的平均值 \Rightarrow (3+a_6)/2=4 \Rightarrow a_6=5\\ 眾數為7\Rightarrow 7至少有3個\Rightarrow 目前有9個數1,2,2,3,3,5,7,7,7,合計=37 \\ 為使平均數最小，另一個數x需滿足5\le x\le 7 \Rightarrow {37+5\over 10}\le {37+x\over 10} \le {37+7\over 10} \\ \Rightarrow 4.2\le 平均值\le4.4，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$\cases{22^2=484\\ 23^2=529\\ 24^2= 576\\ 25^2=625 \\26^2=676} \Rightarrow \cases{484+50\gt 529 \Rightarrow k\ne 22 \\ 529+50\gt 576 \Rightarrow k\ne 23\\ 576+50\gt 625\Rightarrow k\ne 24 \\ 625+50\lt 676 \Rightarrow k=25}，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$9\times 31^2+31\times 37+4 =(9\times 31+1)(31+4) =280\times 35 =2^3\times 5^2\times 7^2 \\ \Rightarrow 介於10與30之間的因數:14,20,25,28 \Rightarrow 14+20+25+28=87，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline品項& 中杯&大杯\\\hline 義式& (35-3)/360=0.088 & (50-5)/480= 0.093\\\hline 拿鐵& (50-3)/360=0.13 & (65-5)/480=0.125\\\hline 卡布& (45-3)/360=0.12& (60-5)/480=0.115\\\hline \end{array} \\ \Rightarrow 僅有義式大杯比中杯貴，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$\cases{a=\sqrt 3+1\\ b=\sqrt 3-1} \Rightarrow \cases{ab=2 \\ 1/b=(\sqrt 3+1)/2 \approx1.37} \Rightarrow (\sqrt 3+1)^{-3} \times (\sqrt 3-1)^{-4} =  a^{-3}b^{-4} =(ab)^{-3}b^{-1 } \\={1\over 8b}={1.37\over 8} \approx0.17，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$y=\sqrt{1-x^2} \Rightarrow x^2+y^2=1為單位圓 \Rightarrow \int_0^1 \sqrt{1-x^2}\,dx ={1\over 4}圓面積={1\over 4}\pi，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$公差d=a_2-a_1={1\over 4 } \Rightarrow \cases{a_3=a_1+1/2\\ a_6=a_1+5/4} \Rightarrow a_3^2=a_1a_6 \Rightarrow (a_1+{1\over 2})^2=a_1\cdot (a_1+{5\over 4}) \\ \Rightarrow a_1=1 \Rightarrow \cases{a_2=5/4\\ a_3=3/2} \Rightarrow \cases{a_1:a_2=1:5/4= 4:5\\ a_1:a_3=1:3/2=2:3}，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$\cases{甲班捐書數量:6 \times 1+7\times 2+11\times (x-3)=11x-13\\ 乙班捐書量:6\times 1+8\times 3+10\times(y-4)= 10y-10} \Rightarrow \cases{250\le 11x-13\le 300\\ 250\le 10y-10\le 300}\\  \Rightarrow \cases{24\le x\le 28\\ 26\le y\le 31}   又  11x-13=10y-10+13  \Rightarrow 11x-10y=16 \Rightarrow \cases{x=26 \\ y=27} \\\Rightarrow \cases{甲班捐書量:273 \\乙班捐書量:286}，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$y=f(x)= ax^2+a^2x-1 \Rightarrow 頂點P坐標(-{a\over 2},f(-{a\over 2})) = \left( -{a\over 2},-{a^3\over 4}-1 \right)  \\ \cases{a\gt 0 \Rightarrow P在第三象限 \\ a\lt 0 \Rightarrow \cases{-a/2\gt 0\\ -a^3/4-1可能正,也可能負}  \Rightarrow P在第一或第四象限} \Rightarrow P不在第二象限，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$將x=y=z=1 代入原式: x(y^2+z^2+\cdots+2xyz=8為2的倍數(2=x+y)，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:

$$\overline{BA} =\overline{BC} \Rightarrow \angle BAC=\angle BCA= (180^\circ-44^\circ-42^\circ)/2=47^\circ\\ 對同弧的圓周角相等\Rightarrow \cases{\angle DAC=\angle DBC=42^\circ\\ \angle ACD=\angle ABD =44^\circ \\   \angle ADB= \angle ACB=47^\circ\\ \angle  BDC= \angle BAC=47^\circ }\\ \triangle DAC中\Rightarrow \cases{\angle ACD \gt \angle DAC \Rightarrow \overline{DA} \gt \overline{DC} \\ \overline{DE}是\angle D的角平分線 \Rightarrow {\overline{DA} \over \overline{DC}}={\overline{AE} \over \overline{EC}}} \Rightarrow \overline{AE}\gt \overline{CE}，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$1+3+5+ \cdots = \sum_{k=1}^n(2k-1) =n^2 \Rightarrow 7^2\lt 52\lt 8^2 \Rightarrow 52=7^2+3 \\ \Rightarrow 第50項:{1\over 8} \Rightarrow 第51項:{2\over 8} \Rightarrow 第52項:{3\over 8}，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:

$$\cases{\overline{OP}=a \\圓R半徑=r}\Rightarrow {\overline{OP} \over \overline{OQ}} ={\overline{AP} \over \overline{BQ}} \Rightarrow {a\over a+1+3}={1\over 3} \Rightarrow a=2 \Rightarrow \overline{OA}= \sqrt{a^2-1^2}=\sqrt 3 \\ \Rightarrow L=\overleftrightarrow{OP}: y={1\over \sqrt 3}x \Rightarrow \cases{P(\sqrt 3,1) \\ Q(3\sqrt 3, 3) \\R(\sqrt 3r,r)} \Rightarrow {\overline{OQ} \over \overline{OR}} ={\overline{BQ} \over \overline{CR}} \Rightarrow {6\over 6+3+r} ={3\over r} \Rightarrow r=9 \\ \Rightarrow R(9\sqrt 3, 9) \Rightarrow \overline{BC}=9\sqrt 3-3\sqrt 3=6\sqrt 3，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$\cases{X=x-1\\ Y=y-2\\ Z=z-3} \Rightarrow x+y+z=20 \Rightarrow X+Y+Z=14 \Rightarrow 整數解數量=H^3_{14} =120，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:

$$假設\overline{QR}與圓交於S,並假設\cases{圓心O\\圓半徑r \\\overline{SR}=a} \Rightarrow \angle POR=2\angle PQR =30^\circ \Rightarrow \angle PRO=60^\circ \\ \Rightarrow \cases{\overline{QR}=2r+a =18\\ \overline{OP} =r= {\sqrt 3\over 2}\overline{OR}} \Rightarrow r={\sqrt 3\over 2}(r+a) ={\sqrt 3\over 2}(r+18-2r) \Rightarrow r={18\sqrt 3\over 2+\sqrt 3} \\ \Rightarrow a=18-{36\sqrt 3\over 2+\sqrt 3} \Rightarrow \overline{PR}={1\over 2}(r+a) ={1\over 2} \left( 18-{18\sqrt 3\over 2+\sqrt 3} \right) =9-{9\sqrt 3\over 2+ \sqrt 3}\\ =9-9\sqrt 3(2-\sqrt 3) =36-18\sqrt 3，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$\cases{p= a\times b\\ q=a\times(b+1) \\r=(a+1)\times b \\s=(a+1)\times (b+1)} \Rightarrow p+q+r+s=(2a+1)(2b+1) =91=13\times 7 \Rightarrow \cases{2a+1=13\\ 2b+1=7} \\ \Rightarrow \cases{a=6\\ b=3} \Rightarrow a+b=9，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:

$$假設正方形甲的邊長為2, 中心點為坐標原點,則四頂點\cases{P(1,1) \\Q(-1,1) \\R(-1,-1) \\S(1,-1)} \\ \Rightarrow 正三角形乙, 丙,丁, 戊的外頂點分別是\cases{E(0,1+\sqrt 3) \\ F(-1-\sqrt 3,0) \\G(0,-1-\sqrt 3)\\H(1+\sqrt 3, 0)},\\ 及其重心(=外心=內心=垂心)\cases{A=(P+Q+E)/3= (0,1+\sqrt 3/3) \\B=(Q+R+F)/3 =(-1-\sqrt 3/3,0) \\C=(R+S +G)/3=(0,-1-\sqrt 3/3) \\D=(P +S+H)/3= (1+\sqrt 3/3,0)} \Rightarrow \overline{AB} = \sqrt{8+4\sqrt 3\over 3}\\ \Rightarrow \cases{正方形甲面積=2^2=4\\ 正方形ABCD面積=\overline{AB}^2={8+4\sqrt 3\over 3}} \Rightarrow {8+4\sqrt 3\over 3}/4={2+\sqrt 3\over 3}，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

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