臺北市立松山高中 115 學年度第一次教師甄選
第壹部分： 填充題(每題 5 分，共 60 分)
解答:$$M = \begin{bmatrix}{\sqrt 6-\sqrt 2\over 4} &- {\sqrt 6+\sqrt 2\over 4} \\ {\sqrt 6+\sqrt 2\over 4}&{\sqrt 6-\sqrt 2\over 4}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\cos 75^\circ & -\sin 75^\circ\\ \sin 75^\circ & \cos 75^\circ \end{bmatrix} 為一旋轉矩陣 \\ \cases{x-2y\le 0\\ 2x-y\ge 0} \Rightarrow \cases{y\ge x/2\\ y\le 2x} \Rightarrow \cases{\sin \alpha \ge \cos \alpha/2\\ \sin \alpha \le 2\cos \alpha} \Rightarrow \cases{\tan \alpha\ge 1/2\\ \tan \alpha\le 2} \Rightarrow {1\over 2}\le \tan \alpha\le 2且\alpha 在第一象限\\ n=1 \Rightarrow \tan 75^\circ =2+\sqrt 3 \not \le 2 \\ n=2 -4 \Rightarrow 旋轉角度 不在第一象限\\ n=5 \Rightarrow 75^\circ\times 5 \equiv 15^\circ {\mod 360^\circ} \Rightarrow \tan 15^\circ=2-\sqrt 3\not \ge {1\over 2} \\n=6-9 \Rightarrow 旋轉角度 不在第一象限 \\ n=10 \Rightarrow 75^\circ \times 10 \equiv 30^\circ {\mod 360^\circ} \Rightarrow \tan 30^\circ ={\sqrt 3\over 3} \approx 0.58 符合條件 \\ \Rightarrow n= \bbox[red, 2pt]{10}$$
解答:$$|x-a|+|x-b| \le 4代表數線上某點到a的距離+該點到b的距離和小於等於4\\ 只要|a-b|\le 4就有解，反之|a-b|\ge 5就無解，因此(a,b)=(6,1),(1,6)無解\\ 全部有6\times 6=36種組合，只有2種無解，剩下\bbox[red, 2pt]{34}組有解$$
解答:$$\cases{A(-1,0) \\B(1,0) \\P(\cos \theta, \sin \theta) \Rightarrow C(\cos \theta,0) \\D(x,y), y\ne0} \Rightarrow \cases{\overrightarrow{DC}=(\cos\theta-x,-y) \\ \overrightarrow{DA} =(-1-x,-y) \\\overrightarrow{DB} =(1-x,-y)} \\\Rightarrow (\cos \theta-x,-y)= \alpha(-1-x,-y)+ 2\alpha(1-x,-y) =(\alpha-\alpha x,-3\alpha y) \Rightarrow \cases{\alpha(1-3x)=\cos \theta-x\\-y=-3\alpha y}\\ \Rightarrow \alpha={1\over 3} \Rightarrow {1\over 3}-x=\cos \theta-x \Rightarrow \cos \theta={1\over 3} \Rightarrow \tan \theta= \bbox[red, 2pt]{2\sqrt 2}$$
解答:$$L_1: {x-1\over 2}={y-2\over -3} ={z-1\over -1} \Rightarrow \cases{L_1通過P(1,2,1)\\ L_1方向向量 \vec u_1=(2,-3,-1)} \\ L_2 :\cases{2x-3y-z=0\\ x+y-z=0} \Rightarrow \cases{L_2的方向向量 \vec u_2=(2,-3,-1) \times (1,1,-1)= (4,1,5) \\ L_2通過O(0,0,0)} \\ 取\vec n= \vec u_1\times \vec u_2=(-14,-14,14) \parallel (1,1,-1) \Rightarrow 歪斜線距離={\overrightarrow{OP} \cdot (1,1,-1) \over |(1,1,-1)|} ={2\over \sqrt 3} = \bbox[red, 2pt]{2\sqrt 3\over 3}$$
解答:$$\cases{A(1)=(1,0) \\B(z)=(3\cos \theta, 3\sin \theta) \\C(z^3)=(27\cos 3\theta, 27\sin 3\theta)} \Rightarrow {3\cos \theta-1\over 27\cos 3\theta-1} ={3\sin \theta\over 27\sin 3\theta} \Rightarrow 18\cos^2 \theta-27\cos \theta-5=0 \\ \Rightarrow (3\cos \theta-5)(6\cos \theta+1)=0 \Rightarrow \cos \theta=-{1\over 6} \Rightarrow \sin \theta = \pm{\sqrt {35}\over 6} \Rightarrow B(z)=(3\cos \theta, 3\sin \theta) \\\Rightarrow z= \bbox[red, 2pt]{-{1\over 2}\pm {\sqrt{35}\over 2} i}$$
解答:$$V= \pi \int_0^\pi \left[ (\sin x+2)^2 -(\sin x+1)^2 \right] \,dx = \pi \int_0^\pi \left[ 2\sin x+3\right] \,dx = \pi \left. \left[ -2\cos x+3x \right] \right|_0^\pi \\=\pi[(2+3\pi)-(-2)] = \bbox[red, 2pt]{\pi(4+3\pi)}$$
解答:$$\bbox[cyan,2pt]{學校提供}$$
解答:$$\bbox[cyan,2pt]{學校提供}$$
解答:$$x^4+x^3+1=0 \Rightarrow \cases{a+b+c+d= -1\\ ab+ac+ad+ bc+bd +cd=0\\ abcd=1} \\ \Rightarrow \begin{vmatrix} a& 1& 1& 1\\1& b& 1& 1\\ 1& 1& c& 1\\ 1& 1& 1& d \end{vmatrix} =abcd-(ab+ac+ad+ bc+bd +cd)+2(a+b+ c+d)-3\\ =1-0-2-3= \bbox[red, 2pt]{-4{}}$$
解答:$$\bbox[cyan,2pt]{學校提供}$$
$$$$
解答:$$\bbox[cyan,2pt]{學校提供}$$
解答:$$\bbox[cyan,2pt]{學校提供}$$
第二部份 :計算證明題 (每題 10 分，共 40 分)
解答:$$假設\lim_{x\to 0}f(x){|x|\over x} =L \Rightarrow \cases{\lim_{x\to 0^+}f(x){|x|\over x} =\lim_{x\to 0^+}f(x) =L \\ \lim_{x\to 0^-} f(x){|x|\over x} =\lim_{x\to 0^-}f(x)(-1)=L \Rightarrow \lim_{x\to 0^-} f(x)=-L}\\ (1)\bbox[red, 2pt]{正確}: \lim_{x\to 0} \left( {x\over |x|} \right)^2 =\lim_{x\to 0} 1=1存在\\ (2)\bbox[red, 2pt]{正確}: \lim_{x\to 0} f(x){x\over |x|} =\lim_{x\to 0} f(x){|x|\over x} 存在\\ (3)\bbox[red, 2pt]{不正確}: \cases{\lim_{x\to 0^+} (f(x)+1) {x\over |x|} =(L+1)\cdot 1=L+1 \\ \lim_{x\to 0^-} (f(x)+1){x\over |x|} =(-L+1)(-1)=L-1} \Rightarrow L+1\ne L-1 \\(4)\bbox[red, 2pt]{不正確}: \cases{\lim_{x\to 0^+}f(x)=L\\ \lim_{x\to 0^-}f(x)=-L} \Rightarrow L\ne -L \\(5)\bbox[red, 2pt]{正確}: \cases{\lim_{x\to 0^+}(f(x))^2=L^2 \\ \lim_{x\to 0^-}(f(x))=(-L)^2=L^2} \Rightarrow 存在$$
解答:$$對任意\varepsilon \gt 0, 取\delta =\min\{1,{\varepsilon\over 7}\} \\當 0\lt |x-3|\lt \delta時: \\ \textbf{狀況一: }\delta \le 1 \Rightarrow |x-3|\lt 1 \Rightarrow 2\lt x \lt 4 \Rightarrow 5\lt x+3\lt 7 \Rightarrow |x+3|\lt 7 \\\textbf{狀況二:}\delta\le {\varepsilon \over 7} \Rightarrow |x-3|\lt {\varepsilon \over 7} \\因此|x^2-9| =|x-3||x+3| \lt {\varepsilon \over 7} \cdot 7 =\varepsilon \Rightarrow \lim_{x\to 3}x^2=9 \;\bbox[red, 2pt]{故得證}$$
解答:$$\bbox[cyan,2pt]{學校提供}$$
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