115學年度四技二專統測--數學(A)詳解

115 學年度科技校院四年制與專科學校二年制
統 一 入 學 測 驗-數學(A)

解答:$$最多人選四季春青茶，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$\sin A={\overline{BC} \over \overline{AB}}= {5\over 13}，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$5(x+1)-3(x-1) =5x+5-3x+3=2x+8\lt 0 \Rightarrow 2x\lt -8 \Rightarrow x\lt -4，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$10^a\cdot 10^b=10^{a+b}=100=10^2 \Rightarrow a+b=2，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$(x-(-2))^2+(y-2)^2=2^2 \Rightarrow (x+2)^2+ (y-2)^2=4，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$(A) \bigcirc:|x-1|=3 \Rightarrow \cases{x-1=3\\ x-1=-3} \Rightarrow \cases{x=4\\x=-2}\\，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$f(x)=x^2+1 \Rightarrow f(2)=5 \Rightarrow 通過(2,5)，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$\overline{BC}的斜率=\overline{AB}的斜率 ={7-4\over 8-2}={3\over 6}={1\over 2}，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$${7+13\over 2}=4x+2 \Rightarrow 8x+4=20 \Rightarrow x=2，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$\cases{搭x次高鐵需要1490x元\\ 搭y次自強號需要975y元 }\Rightarrow 1490x+975y\ge 10000，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$每個數字有10種選擇，共有6個數字，總共有10\times 10\times 10\times 10\times 10\times 10=10^6 組密碼\\，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$C^7_3= {7!\over 4!3!} = 35，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$1000\times 40\%+200\times 50\%+0\times 10\%=400+100+0=500，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$\cases{L_1:x+y-4=0\\ L_2:x-2y+2=0} \Rightarrow L_1與L_2的交點為A(2,2)\\ (A)\times: x+y=0與L_1平行，無法構成一個三角形\\ (B)\times: x-2y-6=0與L_2平行，無法構成一個三角形 \\(D)\times: x+2y-6=0也經過A(2,2)，無法構成一個三角形\\，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$第二年:100\times 0.88 \Rightarrow 第三年:100\times 0.88\times 0.88 \Rightarrow \cdots \Rightarrow 第六年: 100\times 0.88^5，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$圖(三)為一等腰直角三角形 \Rightarrow 腰長={30\over \sqrt 2} \Rightarrow 離地面距離={30\over \sqrt 2}+ 筱原身高= {30\over \sqrt 2}+1.4\\={30\over 1.414}+1.4 =22.6，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$\cases{A飲料x杯需要0.36x公升的濃茶與0.12x公升的鮮奶 \\B飲料y杯需要0.16y公升的濃茶與0.32y公升的鮮奶 } \\ \Rightarrow 共需要\cases{濃茶:0.36x +0.16y公升\\ 鮮奶: 0.12x+ 0.32y公升} \Rightarrow \cases{0.36x+0.16y\le 54\\ 0.12x+ 0.32y\le 30}，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$f(x)=(x+1)P(x)+a \Rightarrow f(-1)=-8=a，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$a=\log_2 27-\log_2 6= \log_2 {27\over 6} \Rightarrow 2^a={27\over 6}={9\over 2}，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$x^2+ax+b=(x-\alpha)(x-\beta) =x^2-(\alpha+\beta)x +\alpha\beta =0 \\ 由於\alpha \beta=0 \Rightarrow b=0，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$圓C:(x-2)^2+ (y+2)^2=4 \Rightarrow \cases{圓心O(2,-2)\\ 圓半徑r=2} \\ \Rightarrow 圓心到直線距離=d(O,L)= {|6+8+1|\over \sqrt{3^2+4^2}} =3\gt r  \Rightarrow 直線與圓不相交，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$75變為150，其它數字不變\\ (A)\times: 全距:原來(75-19)變成(160-19) \\(B)\times:最大值由75變成150\\ (C)\times: 明顯變大\\ (D)\bigcirc: 序位不變，Q_1與Q_3皆不變，因此Q_3-Q_1不變，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$\cases{3件襯衫搭配3作長褲有3\times 3=9種穿搭\\ 2件運動T恤只能搭配1件運動褲有2\times 1=2種穿搭} \Rightarrow 共有9+2=11種穿搭，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$6人分兩組有C^6_3/2=10種分組法\\ 阿聰和阿明在同一組，另一組員有4種選擇，也就是兩人同一組有4種分組法\\ 因此兩人同組機率={4\over 10} ={2\over 5}，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$10\log(I/I_0) =60 \Rightarrow \log(I/I_0)=6\Rightarrow {I\over I_0}=10^6 \Rightarrow I=I_0\cdot 10^6 \\五分鐘後, 10\log(I/I_0) =69 \Rightarrow \log(I/I_0)=6.9 \Rightarrow {I\over I_0}=10^{6.9} \Rightarrow I=I_0\cdot 10^{6.9} \\ 兩者相差{I_0\cdot 10^{6.9} \over I_0\cdot 10^6} =10^{0.9} \approx 8，故選\bbox[red, 2pt]{(A)} \\  註:\log 2\approx 0.3 \Rightarrow 3\log 2= \log 2^8\approx 0.9 \Rightarrow 10^{0.9} \approx 8  $$

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