115年身障升大學-數學B詳解

115 學年度身心障礙學生升學大專校院甄試

甄試類(群)組別：大學組-數學 B

解答:$$緯度越高越接近北極，與經度無關，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$假設全班只有一人叫小明，依題意小明總分84，是非題36分，因此選擇題84-36=48分\\ \cases{是非題由每題4分改回3分，正確的得分是:36\times {3\over 4}=27分 \\選擇題由每題6分改回7分，正確的得分是:48\times {7\over 6} =56分} \Rightarrow 合計83分，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$假設\langle b_n \rangle的公差為d \Rightarrow \langle a_n \rangle 的公差為kd \Rightarrow \cases{a_1=b_5\\ a_5=b_{25}} \Rightarrow \cases{a_1=b_1+4d\\ a_1+4kd=b_1+24d} \\ 兩式相減\Rightarrow -4kd=-20d \Rightarrow k=5，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$\vec a\cdot \vec b = |\vec a||\vec b| \cos {2\pi\over 3} =12\cdot 3\cdot (-{1\over 2}) =-18 \\ (\vec a+r\vec b)與\vec b垂直\Rightarrow (\vec a+r\vec b)\cdot \vec b=0 \Rightarrow \vec a\cdot \vec b+r|\vec b|^2=-18+9r=0 \Rightarrow r=2，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$f(x)=(x^2+1)(x+a) =(x^2+x+1)(x+b)+2x+1 \\ \Rightarrow x^3=ax^2+x+a=x^3+(b+1)x^2+(b+3)x+(b+1) \Rightarrow \cases{b+1=a\\ b+3=1} \Rightarrow \cases{a=-1\\ b=-2} \\ \Rightarrow f(x)=(x^2+1)(x-1) \Rightarrow f(-1) =2\cdot (-2)=-4，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$\cases{\angle BAC=115^\circ\\ \angle ABC=45^\circ } \Rightarrow \angle ACB=180^\circ-115^\circ-45^\circ=20^\circ \\ 正弦定理: {\overline{AB} \over \sin \angle ACB} ={\overline{BC} \over \sin \angle BAC} \Rightarrow {20\over \sin 20^\circ}={\overline{BC} \over \sin 115^\circ} \Rightarrow \overline{BC}={20\sin115^\circ\over \sin20^\circ}，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:

$$\cases{O(0,0) \\A(-3,4) \\B(0,5) \\C(4,3)} \Rightarrow \cases{ \overleftrightarrow{OA}: 4x+3y=0 \\\overleftrightarrow{OC}:-3x+ 4y=0 } \Rightarrow \cases{D=\overleftrightarrow{OA} \cap (y=5) \Rightarrow D(-15/4,5) \\ E=\overleftrightarrow{OC} \cap (y=5) \Rightarrow E(20/3,5)} \Rightarrow \cases{\overline{BD}=15/4\\ \overline{BD}=20/3} \\ \Rightarrow  {\overline{BD} \over \overline{BE}} ={15/4\over 20/3} ={9\over 16}，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$A= \begin{bmatrix}a& b\\ c& d \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix}a& b\\ c& d \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&0\\0&-2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a& -2b\\ c& -2d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 &4\\-4& 6 \end{bmatrix} \Rightarrow \cases{a=2\\b=-2\\c=-4\\ d=-3} \Rightarrow A= \begin{bmatrix}2&-2\\-4& -3 \end{bmatrix} \\ \Rightarrow  \begin{bmatrix} -2&0\\ 0& 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}2 &-2\\-4& -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-4&4\\ -4&-3 \end{bmatrix}，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$\begin{array}{l}& X & Y & X^2& XY   \\\hline& 1 &12& 1& 12 \\ & 2& 17& 4& 34 \\ &3& 20& 9& 60 \\& 4& 26& 16& 104 \\& 5& 30& 25& 150 \\\hline \Sigma & 15& 105&55&360  \end{array} \Rightarrow m={n \sum XY-\sum X\sum Y\over n\sum X^2-(\sum X)^2} ={5\cdot 360-15\cdot 105\over 5\cdot 55-15^2} ={9\over 2}，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$\log (ab)=10 \Rightarrow ab=10^{10} \Rightarrow a={10^{10}\over b} \Rightarrow ab^{10} ={10^{10}\over b}\cdot b^{10} =10^{10}\cdot b^9 \\ \Rightarrow 1\lt 10^{10}\cdot b^9 \lt 10 \Rightarrow 10^{-10}\lt b^9\lt 10^{-9} \Rightarrow 10^{-10/9}\lt b\lt 10^{-1}，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$\cases{A的週期為35+5+40=80秒\\ B的週期為40+25+ 25=90秒} \Rightarrow 綠燈轉紅燈\cases{A需時80m+40+(0至40)秒\\ B需時90n+ 65+(0至25秒}\\\Rightarrow 10點0分至10點8分t秒經過了480+t秒 \Rightarrow \cases{80m+40+(0至40)=480+t\\ 90n+65 +(0至25)=480+t }\\ \Rightarrow \cases{80m+(0至40)=440+t\\ 90n +(0至25)=415+t} \Rightarrow t=45 \Rightarrow \cases{485=80\times 6+5\\460=90\times 5+10}，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:

$$假設\cases{畫家眼睛在頂點A\\ 畫家站立點B\\ 畫布頂端P\\ 畫布底部Q \\畫布中點R\\ 畫布與眼睛同高度位置D}  \Rightarrow R的高度=(170+110)/2=140 \Rightarrow \overline{DR}=160-140=20 \\ \triangle ABC \sim \triangle CDR \Rightarrow {\overline{AB} \over \overline{BC}} ={\overline{CD} \over \overline{DR}} \Rightarrow {\overline{AB} \over 160} ={50 \over 20} \Rightarrow \overline{AB}=400，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$ \left| a-{3\over 2}b\right|=\left| a-{5\over 3}b\right|=1 \Rightarrow a={1\over 2}\left( {3\over 2}b+{5\over 3}b \right) ={19\over 12}b \Rightarrow  \left| a-{3\over 2}b\right| = \left| {19\over 12}b-{3\over 2}b\right| = \left| {1\over 12}b\right|=1\\ \Rightarrow b=12 \Rightarrow  \left| a-{7\over 4}b\right| = \left| {19\over 12}b-{7\over 4}b\right| = \left| -{2\over 12}b\right| ={1\over 6}\times 12=2，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$整體而言\cases{有獎金的卡片3張，每張200元\\ 空白卡片2張} \Rightarrow 最多抽3次\\ 抽1次:中獎機率{3\over 5},獎金200 \Rightarrow 期望值={3\over 5}\times 200=120\\ 抽2次:中獎機率{2\over 5}\cdot {3\over 4}\Rightarrow 期望值={2\over 5}\cdot {3\over 4}\times 200=60\\ 抽3次:中獎機率{2\over 5}\cdot {1\over 4} \cdot {3\over3}\Rightarrow 期望值={2\over 5}\cdot {1\over 4} \cdot {3\over3}\times 200=20 \\ \Rightarrow 期望值=120+60+20=200，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$假設經過t年後，兔子數量P(t)= P_0\cdot a^t\\ 依題意\cases{P_0=24\\ P(5)=P_0a^5 =240} \Rightarrow 24\cdot a^5=240\Rightarrow a^5=10 \Rightarrow a=10^{1/5} \Rightarrow P(t)=24\cdot 10^{t/5}\\ N年後兔子數量為10萬\times 2400萬=10\times 10^4\times 2400\times 10^4=24\times 10^{11} \\ \Rightarrow P(t)=24\cdot 10^{t/5}=24\times 10^{11} \Rightarrow {t\over 5}=11\Rightarrow t=55，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$\cases{甲與乙1種關係\\ 甲與丙2種關係\\ 甲與丁2種關係\\ 乙與丙2種關係\\乙與丁2種關係\\丙與丁2種關係 } \Rightarrow 共有1\times 2^5=32種關係，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$假設\cases{圓心A\\ 切點P(4,2)在第一象限 \\ 原點O} \Rightarrow \cases{\overline{AP} \bot L \\ \overline{OP}斜率=1/2} \Rightarrow  \overline{AP}斜率\gt {1\over 2} \Rightarrow \overleftrightarrow {AP}不過第二象限\\，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$第一輪晋級情形:\cases{勝勝\\ 勝敗勝\\ 敗勝勝}\; 第二輪晋級情形:\cases{勝勝勝\\ [2勝1敗排列]勝 \Rightarrow {3!\over 2!}=3種\\ [2勝2敗排列]勝 \Rightarrow {4!\over 2!2!}=6種} \\ \Rightarrow 第一輪晋級有3種、第二輪優勝有10種，共3\times 10=30種，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$b_n= \sqrt 2\cdot (\sqrt 2)^{n-1} =2^{n/2} \Rightarrow {a_{n+1} \over a_n} =2^{n/2} \Rightarrow a_2=a_1\cdot 2^{1/2} =2^{1/2} \\ \Rightarrow a_3=a_2\cdot 2^{2/2} =2^{1/2}\cdot 2=2^{3/2} \Rightarrow a^4=a^{3/2} \cdot 2^{3/2} =2^3 \Rightarrow a_5= 2^3\cdot 2^{4/2} =2^5，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$分數等於8的情形:\cases{(5,1,1,1) 排列數:{4!\over 3!}=4\\ (1,1,x2,x2)排列數{4!\over 2!2!}=6 \\ (1,x2,x2,x2) 排列數4} \Rightarrow 排列數合計14 \\ \Rightarrow 機率={14\over 3^4} ={14\over 81}，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

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解題僅供參考，身障升大學歷年試題及詳解