115年身障生升四技二專-數學(A)詳解

115 學年度身心障礙學生升學大專校院甄試

甄試類(群)組別：四技二專組-數學(A)

單選題，共 20 題，每題 5 分

解答:$$(A)\times: f(x)=2x^2+3x+5 \Rightarrow 判別式:3^2-4\cdot 2\cdot 5 \lt 0\Rightarrow 無交點 \\(B)\times: f(x)=x^2-2x+1=(x-1)^2 \Rightarrow 只有一個交點\\ (C)\bigcirc: f(x)=3x^2+3x-4 =(3x+4)(x-1 ) \Rightarrow 有兩個交點x=-{4\over 3},1\\ (D)\times: f(x)=-x^2+4x+3 \Rightarrow x^2係數為負值\Rightarrow 開口向下\\，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$\cases{x+y-5\le 0\\ 2x-3y+6\ge 0\\ x\ge 0\\ y\ge 0} 所圍區域頂點\cases{A(0,2) \\B(9/5,16/5) \\C(5,0) \\D(0,0)} \\ 令f(x,y)=5x+2y \Rightarrow \cases{f(A)=4\\ f(B)=77/5\\ f(C)=25\\ f(D)=0} \Rightarrow 最大值25，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$\cases{a=\log_4 256 =\log_4 4^4=4\\ b=7^{\log_{\sqrt 7}3} =7^{2\log_7 3}= 7^{\log_7 9}=9 \\c=27^{1/2} =\sqrt{27}=3\sqrt 3} \Rightarrow b\gt c\gt a，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$\cases{\cases{x=3\\ y=200} \Rightarrow 200=a\times b^3 \cdots(1)\\ \cases{x=5\\ y=800} \Rightarrow 800=a\times b^5 \cdots(2)} \Rightarrow {(1) \over (2)} ={200\over 800} ={a\times b^3 \over a\times b^5} \Rightarrow {1\over 4}={1\over b^2} \Rightarrow b=2\\ \Rightarrow 200=a\times 2^3 \Rightarrow a={200\over 8}=25 \Rightarrow a+b=25+2=27，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$10人任取3人有C^{10}_3= 120種\\甲與乙同學同時值班:剩下1人由8人任取，有8種值班方式\\  \Rightarrow 符合條件有120-8=112種分配方式，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$每個數字10種選擇，4位數字密碼有10^4=10000種\\4位數字完全不重複:第1個數字有10種選擇、第2個數字有9種選擇、第3個數字有8種選擇\\、第4個數字有7種選擇，共有10\times 9\times 8\times 7=5040 \Rightarrow 弱密碼有10000-5040=4960，故選\bbox[red, 2pt]{(D)},\\但公布的答案是\bbox[cyan, 2pt]{(B)}$$

解答:$${2\over 50} ={x\over 1500} \Rightarrow x=2\times 30=60，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$${3\times 55+5\times 65+10\times 75+5\times 85+2\times 95\over 3+5+10+5+2} ={1855\over 25} =74.2，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$\cases{A:使用甲購物網站\\ B:使用乙購物網站} \Rightarrow A\cup B=A+B-A\cap B=35+25-20= 40 \\ \Rightarrow 甲乙都不使用:50-40=10，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$假設體重x公斤 \Rightarrow BMI={x\over 1.4} \Rightarrow 18.5\le {x\over 1.4} \lt 24 \Rightarrow 25.9\le x\lt 33.6 \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{無解}\\ 題目有誤，BMI應該是:體重/身高^2，改成這樣後，18.5\le {x\over 1.4^2} \lt 24 \\\Rightarrow 36.26\le x\lt 47.04,故選\bbox[cyan,2pt]{(D)}$$

解答:$$頂點坐標(1,5) \Rightarrow f(x)=a(x-1)^2+5 \Rightarrow f(3)=4a+5=17 \Rightarrow a=3，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$\cases{x截距是5\Rightarrow L通過(5,0) \\ y截距是20 \Rightarrow L通過(0,20)} \Rightarrow 4a+b=20，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$\cases{f(1)=8\\ f(2)=3} \Rightarrow \cases{1+2+a+b=8\\ 8+8+2a+b=3} \Rightarrow \cases{a= -18\\ b=23} \Rightarrow b-a=41，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$\sin \theta=-{5\over 13} \Rightarrow \cos\theta={12\over 13} \Rightarrow \tan \theta=-{5\over 12} \\\Rightarrow (\sin \theta+ \cos \theta)\tan \theta= \left( -{5\over 13}+{12\over 13} \right)\cdot \left( -{5\over 12} \right) =-{35\over 156} ={k\over 156} \Rightarrow k=-35，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:

$$\cases{\tan 60^\circ =h/a\\ \tan 30^\circ=h/(800+a)} \Rightarrow \cases{h=\sqrt 3a\\ h=(800+a)/\sqrt 3} \Rightarrow \sqrt 3a ={800+a\over \sqrt 3} \Rightarrow a=400 \\ \Rightarrow h=400 \sqrt 3，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$\cases{x=3\\ y=-2}代入圓方程式\Rightarrow 9+4+3d-2e+f=0 \Rightarrow 3d-2e+f=-13\cdots(1) \\ \cases{x=5\\ y=4}代入圓方程式\Rightarrow 25+16+5d+4e+f=0 \Rightarrow 5d+4e+f=-41 \cdots(2) \\ \cases{x=1\\y=2} 代入圓方程式\Rightarrow 1+4+d+2e+f=0 \Rightarrow d+2e+f=-5 \cdots(3) \\ 由(1),(2),(3) 可得\cases{d=-8\\ e=-2\\ f=7} \Rightarrow f-d-e=7+2+8=17，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$(x^2-10x+25)+(y^2-6y+9)+25=25+9 \Rightarrow (x-5)^2+ (y-3)^2=9 \\ \Rightarrow \cases{圓心P(5,3)\\ 半徑r=3} \Rightarrow \cases{P至x軸距離3=r\\ P至y軸距離5 \gt r} \Rightarrow 只有一個交點，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$x^2+y^2-2x-4y=0 \Rightarrow(x-1)^2+(y-2)^2=5 \Rightarrow 圓心(1,2)至(3,3)的斜率為{1\over 2} \\ \Rightarrow 切線斜率為-2\Rightarrow 切線方程式: y=-2(x-3)+3 =-2x+9 \Rightarrow \cases{a=-2\\ b=9} \\ \Rightarrow 4a+b=-8+9=1，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$2+8+14+20+ \cdots+ 998 (2+6\times 166) ={(998+2)\cdot 167\over 2}=83500，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$x^2+2x-3=(x+3)(x-1) \Rightarrow f(x)=4x^3-5x^2+cx-d=(x+3)(x-1)p(x)+3x-4 \\ \Rightarrow  f(1)=-1+c-d=-1   \Rightarrow c-d=0，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

===================== END ============================

解題僅供參考，身障升大學歷年試題及詳解