115學年度四技二專統測--數學(C)詳解

115 學年度科技校院四年制與專科學校二年制
統 一 入 學 測 驗-數學(C)

解答:$$\alpha,\beta為x^2-3x-3=0的兩根\Rightarrow \cases{\alpha+\beta=3\\ \alpha\beta= -3}\\ \Rightarrow  \cases{\displaystyle {\alpha\over \beta} +{\beta\over \alpha}= {\alpha^2+\beta^2\over \alpha\beta} ={(\alpha+ \beta)^2-2\alpha\beta\over \alpha\beta} ={9+6\over -3}=-5 \\\displaystyle  {\alpha\over \beta} \cdot {\beta\over \alpha} =1}\\ \Rightarrow 以{\alpha\over \beta} ,{\beta\over \alpha}為兩根的方程式:x^2+5x+1=0，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$\cases{前三項和=a_1+(a_1+d) +(a_1+2d) =3a_1+3d=24 \\ 後四項和=(a_1+d) +(a_1+2d) +(a_1+3d) +(a_1+4d) =4a_1+10d=50} \\ \Rightarrow \cases{a_1+d=8\\2a_1+5d=25} \Rightarrow \cases{a_1=5\\ d=3} \Rightarrow a_1+a_2+\cdots+a_5={(2a_1+4d)5\over 2} =(5+6)\cdot 5=55\\，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$\cases{A(-1,2,-3) \\B(2,4,-1)} \Rightarrow \overline{AB}= \sqrt{(2-(-1))^2+ (4-2)^2 +(-1-(-3))^2} = \sqrt{17}，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$54.6\le x\le 55.9 \Rightarrow -0.65\le x-55.25\le 0.65 \Rightarrow |x-55.25| \le 0.65 \Rightarrow \cases{c=55.25\\ d=0.65} \\ \Rightarrow 2c+4d= 110.5+2.6 =113.1，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$AB= \begin{bmatrix}1&-1&0\\ 1& 1& 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}0&1\\1& 1\\-1&0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-1& 0\\ 1&2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}c_{11}& c_{12} \\ c_{21}& c_{22} \end{bmatrix} \Rightarrow c_{11} c_{22}-c_{12}c_{21}=-2，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$f(x)=x^2+3 \Rightarrow f'(x)=2x \Rightarrow f'(1)=2 \\ 而\lim_{h\to 0} {((1+h)^2+3) -(1^2+3) \over h} =f'(1)=2，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$\int_1^5 f(x)\,dx =\int_1^4 f(x)\,dx +\int_4^5 f(x)\,dx = \int_1^4 f(x)\,dx -\int_5^4 f(x)\,dx =3-2=1，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$假設另一條角平分線為L_3, 則L_3垂直L \Rightarrow L_3: x-2y+k=0 \\ L_1與L_2的交點為P(3,4) \Rightarrow L_3也經過P \Rightarrow 3-8+k=0 \Rightarrow k=5 \Rightarrow L_3: x-2y+5=0\\，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$\cases{圖形為凹向下\Rightarrow a\lt 0 \\ y截距為正值\Rightarrow c\gt 0\\ 有相異兩實根\Rightarrow b^2-4ac\gt 0 \\x=-{b\over 2a} \lt 0 \Rightarrow b\lt 0} \Rightarrow \cases{abc\gt 0\\ b^2-4ac \gt 0} \Rightarrow 第一象限，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$\cases{\log_2 8=\log_2 2^3=3\\ \log_2 \sqrt 2=\log_2 2^{1/2} =1/2} \Rightarrow \log_2 x+3-(\log_2 x)\cdot {1\over 2}=2 \Rightarrow {1\over 2}\log_2 x=-1 \\ \Rightarrow \log_2 x=-2 \Rightarrow x=2^{-2} ={1\over 4}，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$N(t+2)=2026\times 2^{0.5(t+2)} =2026\times 2^{0.5t+1}= 2026\times 2^{0.5t}\times 2=N(t)\times 2 \Rightarrow {N(t+2)\over N(t)}=2\\，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$x^2-2x-2=A(x^2+x+1) +(Bx+C)(x-1) = (A+B)x^2+ (A-B+C)x+A-C \\ \Rightarrow \cases{A+B=1\\ A- B+C= -2\\ A-C=-2} \Rightarrow \cases{A=-1\\ B=2\\ C=1} \Rightarrow A+B+C=2，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$近況較好的三位選手排在第一、三、五出賽，有3!=6種排法\\ 剩下9位選手挑2位有C^9_2=36種選法，2位選手排在第二、四場出賽，有2!=2種排法\\ 因此總共有6\times 36\times 2=432種排法，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$\angle C=180^\circ-60^\circ-45^\circ =75^\circ \Rightarrow 正弦定理:{4\over \sin 45^\circ}={\overline{AB} \over \sin 75^\circ} \Rightarrow \overline{AB}={4\sin 75^\circ\over \sin 45^\circ} \\ \Rightarrow \triangle ABC面積= {1\over 2}\cdot \overline{AB}\cdot \overline{AC}\sin A={1\over 2}\cdot {4\sin 75^\circ\over \sin 45^\circ}\cdot 4\sin 60^\circ  ={\sqrt 6+\sqrt 2\over \sqrt 2}\cdot 2\sqrt 3 \\={2\sqrt{18}+2\sqrt 6\over \sqrt 2} =6+2\sqrt 3，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$當x={\pi\over 6}或{7\pi\over 6}時，其值為0，只有(D)符合此條件，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$x+y\le 2 \Rightarrow \cases{(x+y)+a=(x+y)+(x-y)=2x\le 2+a \Rightarrow x\le 1+a/2 \Rightarrow 1+{a\over 2}\ge 0 \Rightarrow a\ge -2\\ (x+y)-a=(x+y)-(x-y)=2y\ge 2-a\Rightarrow y\ge 1-{a\over 2} \ge 0 \Rightarrow a\le 2 } \\ \Rightarrow -2\le a\le 2，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$圓心(5,2)到直線x-y=1的距離={2\over \sqrt 2} =\sqrt 2\lt 5(半徑) \Rightarrow 直線與圓相交兩點，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$u=x^2-1 \Rightarrow du=2x\,dx \Rightarrow \int x(x^2-1)^{115}\,dx = \int {1\over 2}u^{115}\,du ={1\over 232}u^{116}+C \\={1\over 232}(x^2-1)^{116}+C，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$${x^2\over 25}+{y^2\over 9}=1 \Rightarrow \cases{a=5\\ b=3} \Rightarrow c=4  \Rightarrow 雷射光所走的距離= \overline{FA}+\overline{AF'}+ \overline{F'B}+\overline{FB}\\ =2a+2a=10+10=20，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$平行四邊形面積=\overline{AB} \cdot \overline{AC} \sin \angle BAC =24\sqrt 3\cdot 60\cdot {\sqrt 3\over 2}=2160平方公尺\\ \Rightarrow 體積=2160\times 40=86400 \approx 90000立方公尺，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$r=\sin \theta+ \cos \theta \Rightarrow r^2=r\sin \theta+ r\cos \theta \Rightarrow x^2+y^2=y+x \Rightarrow x^2-x+y^2-y=0 \\ \Rightarrow (x-{1\over 2})^2+(y-{1\over 2})^2={1\over 2} 為一圓，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$h=x-2 \Rightarrow x=h+2 \Rightarrow \lim_{x\to 2}{xf(2)-2f(x) \over x-2} = \lim_{h\to 0}{(h+2)f(2)-2f(h+2) \over h} \\= \lim_{h\to 0} \left( f(2)+(-2)\cdot {f(h+2)-f(2)\over h} \right) =f(2)-2f'(2) =115-2\cdot 115=-115，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$列車沿\overrightarrow{OA}=(1,2)前進 \Rightarrow 列車軌道在直線y=2x上\\ 砲彈在第2秒時位於(6,8) \Rightarrow (6,8)與y=2x的距離={|8-12|\over \sqrt{2^2+1^2}} ={4\over \sqrt{5}}，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$\cases{\begin{bmatrix}a&1&11\\ 1&b& 5 \end{bmatrix} \Rightarrow \cases{ax+y=11\\ x+by=5} \\[1ex] \begin{bmatrix}1&0&2\\ 0& 1& 3 \end{bmatrix} \Rightarrow \cases{x=2\\ y=3}} \Rightarrow \cases{2a+3= 11 \\ 2+3b=5} \Rightarrow \cases{a=4\\ b=1} \Rightarrow a+b=5，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

 

解答:$$f(\theta) =\sqrt 3\sin(\pi/3-\theta)+\cos \theta= \sqrt 3(\sin \pi/3\cos \theta-\sin \theta\cos\pi/3)+\cos \theta \\=\sqrt 3({\sqrt 3\over 2}\cos \theta-{1\over 2}\sin \theta)+\cos \theta ={5\over 2}\cos \theta-{\sqrt3\over 2} \sin \theta   \Rightarrow 最大值為\sqrt{({5\over 2})^2+({\sqrt 3\over 2})^2} =\sqrt 7\\，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

====================== END ==========================
解題僅供參考，其他統測試題及詳解