新北市公立高級中等學校 115 學年度教師聯合甄選
一、 填充題： 共 10 題，每題 7 分
解答:$$115=5\times 23 套用\text{ Euler's totient function: }\phi(115) =115\times \left( 1-{1\over 5} \right)\times \left( 1-{1\over 23} \right)=88 \\ \Rightarrow 每 115 個連續整數為一個週期，每個週期內恰有 88 個數與 115 互質\\ 由於2026 =88\times 23+2 \Rightarrow 115\times 23=2645 \Rightarrow 2645+2=\bbox[red, 2pt]{2647}$$
解答:$$2590=2\times 5\times 7\times 37 \Rightarrow 37比最大月份12還大, 37只能用在日期的差\\ 若另外一個日期是x \Rightarrow \cases{x=2 \Rightarrow 37-2=35不合\\ x=5 \Rightarrow 37-5=32不合\\ x=7 \Rightarrow 37-7=30可以} \Rightarrow 日期是30日 \\ \Rightarrow 月份是2+5=7 \Rightarrow 小明生日是\bbox[red, 2pt]{7月30日}$$
解答:$$a^a=2(\sqrt{b^b})=5(\sqrt[5]c^c) =10 \Rightarrow \cases{a^a=10\\ b^{b/2}=5\\ c^c/5 =2} \Rightarrow \cases{a\log a=\log 10=1\\ {b\over 2}\log b=\log b^{b/2} =\log 5=1-\log 2\\ {c\over 5}\log c=\log c^{c/5}=\log 2} \\ \Rightarrow (a\log a)^3+({b\over 2}\log b)^3+ ({c\over 5}\log c)^3=1^3+(1-\log 2)^3+(\log 2)^3=2-3\log 2+3(\log 2)^2\\ 3abc(\log a)(\log b)(\log c) =30 [a\log a][{b\over 2}\log ][{c\over 5}\log c] =30\cdot 1\cdot (1-\log 2)\cdot \log 2=30\log 2-30(\log 2)^2 \\ \Rightarrow 10 \left[ (a\log a)^3+({b\over 2}\log b)^3+ ({c\over 5}\log c)^3\right]+3abc(\log a)(\log b)(\log c) \\=20-30\log 2+30(\log 2)^2+30\log 2-30(\log 2)^2=\bbox[red, 2pt]{20}$$
解答:$$假設三根為\alpha,\alpha, \beta \Rightarrow \cases{2\alpha+\beta=-a\\ \alpha^2+2\alpha \beta=b\\ \alpha^2\beta =-8} \Rightarrow ab=8 =-(2\alpha+\beta)( \alpha^2+2\alpha \beta) =-(2\alpha-{8\over \alpha^2}) (\alpha^2-{16\over \alpha}) \\ \Rightarrow (\alpha^3-4)(\alpha^3-16)=-4 \alpha^3 \Rightarrow (t-4)(t-16)=-4t \;(取t=\alpha^3) \Rightarrow t^2-16t+64=0 \\ \Rightarrow (t-8)^2=0 \Rightarrow t=8 \Rightarrow \alpha=2 \Rightarrow \beta=-{8\over \alpha^2}=-2 \Rightarrow \cases{a=-2\\ b=-4} \Rightarrow a-b= \bbox[red, 2pt]2$$
解答:
$$\cases{A(2,-2)\\ B(-1,2)} \Rightarrow \overline{AB}=5, 假設P(x,k)且\triangle PAB為等腰三角形\\ \textbf{Case I }\overline{PA}=\overline{PB}: P在\overline{AB}的中垂線上，與y=k有一個交點\\ \textbf{Case II }\overline{AP}= \overline{AB}:P在以A為圓心, 半徑5的圓上。此圓最高點在y=3,最低點在y=-7\\ \textbf{Case III }\overline{BP}= \overline{BA}: P在以B為圓心, 半徑5的圓上。此圓最高點在y=7,最低點在y=-3\\ 在兩圓的重疊高度範圍內(-3 \le k \le 3)，水平線與兩圓各有 2 個交點，加上中垂線1個交點，\\通常會有 2 + 2 + 1 = 5 個交點。因此4個交點的可能情況:與圓相切或三點共線\\ \Rightarrow 可能的k值:3,2,0,-2,-3 \Rightarrow \bbox[red, 2pt]5種可能，詳細內容參閱上圖。$$
解答:$$\cases{A(-3,-2,1) \\ B(3,1,1) \\C(-1,0,2)} \Rightarrow \cases{ \overrightarrow{AB}=(6,3,0) \\ \overrightarrow{AC} =(2,2,1) \\ \overrightarrow{BC} =(-4,-1,1)} \Rightarrow \cases{c =\overline{AB}= 3\sqrt 5\\ b=\overline{AC} =3\\ a= \overline{BC} =3\sqrt 2} \\\Rightarrow \cases{\triangle ABC周長:2S= 3(1+\sqrt 2+\sqrt 5)\\ \triangle ABC面積= {1\over 2}|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| ={1 \over 2}|(3,-6,6)| ={9\over 2}} \Rightarrow 內切圓半徑r={\triangle \over S}={9/2\over 3(1+\sqrt 2+\sqrt 5)/2} \\ \Rightarrow r={3\over 1+\sqrt 2+\sqrt 5} ={9\over 2}+3\sqrt 2-{3\over 2}\sqrt 5-{3\over 2}\sqrt{10} \Rightarrow \cases{c=2\\ e=5\\ g=10} \Rightarrow c+e+g= \bbox[red, 2pt]{17}$$
解答:$$取t=x-1 \Rightarrow dt=dx \Rightarrow I=\int_0^2 f(x)\,dx = \int_{-1}^1 f(t+1)\,dt =\int_{-1}^0 f(t+1)\,dt+ \int_0^1 f(t+1)\,dt \\取t+1=1-u \Rightarrow dt =-du \Rightarrow \int_{-1}^0 f(t+1)\,dt=\int_1^0 f(1-u)(-du) =\int_0^1 f(1-u)du \\ \Rightarrow I=\int_0^1 f(1-t)\,dt+\int_0^1f(t+1)\,dt = \int_0^1 \left( f(1-t)+f(1+t) \right)\,dt=\int_0^1 |t|^{2025}\,dt \\ =\int_0^1 t^{2025}\,dt = \left. \left[ {1\over 2026}t^{2026} \right] \right|_0^1=\bbox[red, 2pt]{1\over 2026}$$
解答:$$每一次操作後，總和增加(最大值-最小值),現在\cases{最大值:2026\\最小值115} \\\Rightarrow 每次操作增加2026-115=1911 \Rightarrow 操作20次增加1911\times 20=38220，\\再加上原來的2026+115= \bbox[red, 2pt]{40361}$$
解答:$$2^{2026}=4^{1013} \equiv 1{\mod 3} \Rightarrow 2^{2026}-1是3的倍數\Rightarrow {2^{2026}-1\over 3}是整數\\ 又2^{2026}-1是奇數\Rightarrow {奇數\over 奇數}仍為奇數\Rightarrow M={2^{2026}-1\over 3}是一個奇整數\\ \Rightarrow a_1=2^{2026}\cdot M 為偶數\Rightarrow a_2=2^{2025}\cdot M \Rightarrow a_3=2^{2024}\cdot M \Rightarrow \cdots \Rightarrow a_{2027}=2^0\cdot M=M 為奇數\\ \Rightarrow a_{2028} = 3\cdot {2^{2026}-1\over 3}+1=2^{2028 }又是偶數\Rightarrow a_{2029}=2^{2027} \Rightarrow \cdots\Rightarrow a_{4054}=2^0=1 \\ \Rightarrow n=\bbox[red, 2pt]{4054}$$
解答:$$圓C: x^2+y^2=4 \Rightarrow \cases{圓心O(0,0), 半徑r=2\\P(a,b)在圓外\\ Q(2\cos \theta, 2\sin \theta)在圓上\\R(-3,4)} \\ \Rightarrow f(a,b,\theta)= \sqrt{(a-2\cos \theta)^2+ (b-2\sin \theta)^2}+ \sqrt{(a+3)^2+ (b-4)^2} =\overline{PQ}+\overline{PR} \\ 三角不等式:\overline{PQ}+ \overline{OQ}\ge \overline{OP} \Rightarrow \overline{PQ}\ge \overline{OP}-2 \Rightarrow f(a,b,\theta)\ge \overline{OP}-2+\overline{PR} \ge \overline{OR}-2 =\bbox[red, 2pt]3$$
二、 計算題： 共 2 題，每題 15 分
解答:$$\cases{x+y+z=1 \\x^3+y^3+z^3 =2026} \Rightarrow (x+y+z)^3 =x^3+y^3 +z^3+3(x+y)(y+z) (z+x) \\ \Rightarrow 1=2026+3 (x+y)(y+z) (z+x) \Rightarrow (x+y)(y+z) (z+x) =\bbox[red, 2pt]{-675}$$
解答:$$正弦定理:\cases{a= 2R\sin A=2R\sin 30^\circ=R\\ b=2R\sin B\\ c=2R\sin C} \Rightarrow {b^2-c^2\over a^2}={(2R\sin B)^2-(2R\sin C)^2\over R^2} \\=4(\sin^2 B-\sin^2C) =4(\sin B+\sin C)( \sin B-\sin C)\\=16 \sin{B+C\over 2}\cos {B-C\over 2} \sin{B-C\over 2} \cos {B+C\over 2} =4\sin(B+C) \sin(B-C) \\ =4\sin 150^\circ \sin(B-C)=2\sin(B-C) \Rightarrow 最大值\bbox[red, 2pt]2$$
解題僅供參考，其他教甄試題及詳解
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