115年海大附中特招-數學詳解

 基北區國立臺灣海洋大學附屬基隆海事高級中等學校

115 學年度高級中等學校特色招生考試

解答:$${2奈米\over 頭髮直徑} ={2\times 10^{-9} \over 6\times 10^{-5}} ={1\over 3\times 10^4} ={1\over 30000}=三萬分之一，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$新生人數是10的倍數，也是4的倍數，也是6的倍數，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$${5\over 8} \div \left( {3\over 2}-{2\over 3} \right)+ 2{1\over 3}\times(-0.75) ={5\over 8} \div \left( {5\over 6} \right)+ {7\over 3}\times(-{3\over 4}) = {6\over 8}-{7\over 4}=-1，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$《階段一》按讚數:2\xrightarrow{1小時後}2\times 4=8 \xrightarrow{1小時後}8\times 4= 32 \xrightarrow{1小時後} 32\times 4=128  \\《階段二》\xrightarrow{1小時後}128\times 2=256\xrightarrow{1小時後}256\times 2= 512\\ 共經歷了5小時，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$假設一年級平均身高為a公分\Rightarrow {1\over 11}(166\times 3+168\times 3+170\times 2+ 3a)=170 \\ \Rightarrow 1342+3a=1870 \Rightarrow a={1870-1342\over 3}=176，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$上視圖由上往下看，第一排右下兩塊是空的，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$\sqrt{60\times a} =2\sqrt{15\times a} \Rightarrow a=15，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$假設大雄購買n枝原子筆\Rightarrow 每枝原子筆的價錢=3n-7 \Rightarrow 花費(3n-7)n=180 \\ \Rightarrow 3n^2-7n-180=0 \Rightarrow (n-9)(3n+20)=0 \Rightarrow n=9 \Rightarrow 3n-7=20，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$(0,-4)代入y=-3x+a \Rightarrow -4=a \Rightarrow y=-3x-4 \Rightarrow 不通過第一象限，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$在六個間隔中插入相同數量的數字\Rightarrow 新數列有7+6n個數字\\ n=3\Rightarrow 7+6n=25，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$\cases{\overline{AF}=\overline{BE} \\ \angle AFC= \angle BED\\ \angle \overline{CF}=\overline{DE}} \Rightarrow \triangle AFC \cong \triangle BED (SAS) \Rightarrow \overline{BD} =\overline{AC}=4 \Rightarrow \overline{AD}=9-4=5 \\ ADEF周長=\overline{AF}+\overline{EF}+\overline{DE}+ \overline{AD} = \overline{BE}+ \overline{EF}+\overline{FC}+\overline{AD} =\overline{BC}+ \overline{AD}=15，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$\angle C=180^\circ-\angle A-\angle B=180^\circ-60^\circ-100^\circ=20^\circ \Rightarrow \angle DEC =\angle C=20^\circ \;(\overline{DE} =\overline{DE}) \\ \Rightarrow \angle BDE=20^\circ+20^\circ=40^\circ \Rightarrow 扇形BDE面積= \overline{BD}^2\pi\times {40^\circ\over 360^\circ} =9\pi\times {1\over 9}=\pi，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$\sin A={\sqrt 2\over 2} \Rightarrow \angle A=45^\circ, 又\overline{OB}=\overline{OA} =半徑\Rightarrow \angle A=\angle B =45^\circ \Rightarrow \angle AOB=90^\circ \\ \Rightarrow 扇形AOB=四分之一圓=4^2\pi \times {1\over 4} =4\pi，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$假設當日販售杯數為\cases{美式咖啡:5k \\拿鐵咖啡:6k \\卡布奇諾:4k } \Rightarrow 6k\times 250+4k\times 150=18.9\times 1000\\ \Rightarrow 2100k=18900 \Rightarrow k=9 \Rightarrow 美式咖啡販售5\times 9=45杯，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$\begin{array}{crr}分數& 人數& 累積人數\\\hline20-30& 13& 13\\ 30-40& 35& 48\\ 40-50& 15& 63\\ 50-60& 30& 93\\ 60-70& 32& 125\\ 70-80& 76& 201\\ 80-90& 84& 285\\ 90-100& 15& 300\\\hline \end{array} \Rightarrow 分數介於50至80的人數有30+32+76=138人 \\ \Rightarrow 機率為{138\over 300} ={23\over 50}，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$總人數:2+8+4+12+10+4=40 \Rightarrow 排名第20、21的分數位於區間70-80分，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$A骰子出現奇數的機率為5/6、出現偶數的機率為1/6; \\B骰子出現奇數的機率為2/6、出現偶數的機率為4/6; \\ 點數和為偶數的情況\cases{A,B皆為奇數\Rightarrow 機率為(5/6)\times(2/6)=10/36\\ A,B皆為偶數\Rightarrow 機率為(1/6) \times(4/6)=4/36} \Rightarrow 合計:{14\over 36}={7\over 18}\\，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$(x-1)^2-3k=6 \Rightarrow (x-1)^2=3k+6無解\Rightarrow 3k+6\lt 0 \Rightarrow k\lt -2，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:

$$作\overline{EH}\bot \overline{CD}, 如上圖\Rightarrow \overline{EH}= \overline{DH}\times \sqrt 3=3\sqrt 3 \Rightarrow \overline{BE} = \sqrt{ \overline{EH}^2+ \overline{BH}^2} =3\sqrt 7\\\angle ECD=\angle ACB=60^\circ \Rightarrow \angle ACE=60^\circ \Rightarrow \overline{FC}為\angle BCE的角平分線\Rightarrow {\overline{BF} \over \overline{FE} } ={\overline{BC} \over \overline{CE}} ={3\over 6} ={1\over 2} \\ \Rightarrow \overline{BF}={1\over 3}\overline{BE}={1\over 3}\times 3\sqrt 7=\sqrt 7，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$假設圓半徑為r \Rightarrow \triangle ABC面積={1\over 2}(\overline{AB}\cdot r+\overline{BC}\cdot r+ \overline{AC}\cdot r) ={1\over 2}(3+4+5)r=6r\\ \triangle ABC面積={1\over 2}\overline{AB}\times \overline{BC}={1\over 2}\cdot 3\cdot 4=6 =6r \Rightarrow r=1\\ 又\cases{\angle CAO={1\over 2}\angle A\\ \angle ACO={1\over 2} \angle C} \Rightarrow \angle CAO+\angle ACO={1\over 2}(\angle A+\angle C) ={1\over 2}\cdot 90^\circ=45^\circ\\ \Rightarrow \angle AOC=180^\circ-45^\circ=135^\circ \Rightarrow 鋪色面積={135^\circ\over 360^\circ} \times 圓面積={3\over 8}\times \pi，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$直角\triangle ABE: \overline{AE}= \sqrt{\overline{AB}^2-\overline{BE}^2} =\sqrt{25-16} =3 \\ 直角\triangle ADE: \overline{AD} =\sqrt{\overline{DE}^2-\overline{AE}^2} =\sqrt{27-9} =3\sqrt 2，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$假設矩形AEFL面積為1 \Rightarrow \cases{\triangle AEI面積={1\over 2}\\ 矩形BEFI面積={3\over 4}} \Rightarrow \triangle EFI={3\over 8} \\ {\triangle IKG\over   \triangle EFI}={2^2\over 3^2}={4\over 9} \Rightarrow \triangle IKG={4\over 9}\triangle EFI \Rightarrow EFGK={5\over 9} \triangle EFI ={5\over 9}\times {3\over 8}={5\over 24}\\ \Rightarrow {\triangle AEI\over EFGK} ={1/2\over 5/24}={12\over 5}，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$5x\cdot (5x-2)-(10x-4)^2 =5x\cdot (5x-2)-4(5x-2)^2 = (5x-4(5x-2))(5x-2) \\= (-15x+8)(5x-2)=0 \Rightarrow x={8\over 15},{2\over 5} \Rightarrow {8\over 15}+{2\over 5} ={14\over 15}，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$假設阿海家與彩色屋距離為\ell公里\Rightarrow \cases{去程花了\ell/12小時\\ 回程花了\ell/15小時} \\ \Rightarrow {\ell\over 12}+{\ell \over 15}\le 1.5 \Rightarrow {9\ell\over 60} \le 1.5 \Rightarrow \ell \le 10，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$每台機器要花五分鐘生產1個零件，因此100台機器要花5分鐘生產100個零件，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

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